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北师大（2024）版数学8年级上册
第五章 二元一次方程组
5.5三元一次方程组
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组
代入消元法、加减消元法
第 1 页：封面
标题：5.5 三元一次方程组
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：三元一次方程组\(\begin{cases}x + y + z = 6\\2x - y + z = 3\\3x + y - 2z = 1\end{cases}\) + 消元转化流程图（三元→二元→一元），突出核心逻辑
第 2 页：情境导入 —— 从二元到三元的拓展
回顾旧知：
二元一次方程组：含 2 个未知数，2 个一次方程，通过代入 / 加减消元转化为一元一次方程求解；
消元思想：减少未知数个数，化未知为已知（二元→一元）。
问题情境（购物问题拓展）：
某商店销售 A、B、C 三种文具，已知：
① 买 1 件 A、1 件 B、1 件 C 共需 6 元；
② 买 2 件 A、1 件 B、1 件 C 共需 9 元；
③ 买 3 件 A、2 件 B、1 件 C 共需 14 元。
求 A、B、C 三种文具的单价各是多少元？
思考设问：
若设 A 单价为 x 元，B 为 y 元，C 为 z 元，需列几个方程？（3 个未知数→3 个独立方程）
如何将三元一次方程组转化为熟悉的二元一次方程组？
课题引入：今天我们学习三元一次方程组的概念与解法，掌握 “三元→二元→一元” 的递进消元策略！
第 3 页：探究一：三元一次方程组的定义
一、核心概念（加粗）
三元一次方程：含有3 个未知数，且含未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫做三元一次方程（如 x + y + z = 6）。
三元一次方程组：把具有相同未知数的三个三元一次方程（或含二元 / 一元一次方程）合在一起，就组成了三元一次方程组。
方程组的解：使三元一次方程组中各个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做这个三元一次方程组的解（记作\(\begin{cases}x=a\\y=b\\z=c\end{cases}\)）。
二、定义辨析（加粗）
是三元一次方程组的有：\(\begin{cases}x + y + z = 5\\2x - y = 3\\3y + z = 4\end{cases}\)（含 3 个相同未知数，方程均为一次整式方程）
不是三元一次方程组的有：
①\(\begin{cases}x + y + z = 2\\x + y = 3\\z = 1\end{cases}\)（第二个方程未知数次数为 2）；
②\(\begin{cases}x + y = 3\\y + z = 4\\u + v = 5\end{cases}\)（未知数不同）。
三、解的特征：
三元一次方程组通常有唯一解（对应三个一次函数图象的交点）；
特殊情况：无解（无公共交点）或无数个解（三直线重合 / 共面）（类比二元方程组）。
第 4 页：探究二：三元一次方程组的解法 —— 递进消元法
一、核心原理（加粗）
延续消元思想：通过 “代入消元” 或 “加减消元”，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组；
再按二元一次方程组的解法，消去第二个未知数，转化为一元一次方程；
求解后反向回代，依次求出所有未知数的值。
二、转化流程图（直观呈现）
三、关键技巧：
优先消去 “系数最简单” 的未知数（如系数为 1 或 - 1 的项）；
消元时保持 “目标一致”：始终消去同一个未知数，避免混乱。
第 5 页：例题讲解（基础题型：逐步消元）
例 1：解方程组\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 3 \\3x + y - 2z = 1 \end{cases}\)
解：
第一步：消去 y（y 的系数为 1、-1、1，易消元）；
① + ②：(x+2x)+(y-y)+(z+z)=6+3→3x + 2z = 9 ④（消去 y）；
② + ③：(2x+3x)+(-y+y)+(z-2z)=3+1→5x - z = 4 ⑤（消去 y）；
第二步：将④、⑤组成二元一次方程组：\(\begin{cases}3x + 2z = 9 \\5x - z = 4 ¤\end{cases}\)；
消去 z（⑤×2 + ④）：10x - 2z + 3x + 2z = 8 + 9→13x = 17→x=1；
第三步：回代求 z，把 x=1 代入⑤：5×1 - z=4→z=1；
第四步：回代求 y，把 x=1、z=1 代入①：1 + y + 1=6→y=4；
第五步：检验（代入三个原方程）：
①1+4+1=6（成立）；②2×1-4+1=3（成立）；③3×1+4-2×1=1（成立）；
∴方程组的解为\(\begin{cases}x=1\\y=4\\z=1\end{cases}\)。
第 6 页：例题讲解（进阶题型：含缺失未知数的方程组）
例 2：解方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\y + z = 7 \\x + z = 6 \end{cases}\)（每个方程缺一个未知数）
解：
技巧：三式相加消元，简化计算；
第一步：① + ② + ③：2 (x + y + z)=18→x + y + z = 9 ④；
第二步：用④分别减①、②、③求未知数：
④ - ①：z=9-5=4；
④ - ②：x=9-7=2；
④ - ③：y=9-6=3；
检验：\(\begin{cases}2+3=5 \\3+4=7 \\2+4=6 \end{cases}\)；
∴方程组的解为\(\begin{cases}x=2\\y=3\\z=4\end{cases}\)。
第 7 页：例题讲解（实际应用：三量分配问题）
例 3：某工厂生产甲、乙、丙三种产品，已知生产 1 件甲需 2 吨 A 原料、1 吨 B 原料；生产 1 件乙需 1 吨 A 原料、2 吨 B 原料；生产 1 件丙需 1 吨 A 原料、1 吨 B 原料。现有 A 原料 13 吨、B 原料 11 吨，生产三种产品共 8 件，求甲、乙、丙各生产多少件？
解：
第一步：设未知数：设甲生产 x 件，乙 y 件，丙 z 件；
第二步：列等量关系：
① 产品总数：x + y + z = 8；
② A 原料总量：2x + y + z = 13；
③ B 原料总量：x + 2y + z = 11；
第三步：解方程组（消去 z）：
② - ①：x=5（直接求出 x）；
③ - ①：y=3（直接求出 y）；
回代①：5 + 3 + z=8→z=0；
检验：A 原料 2×5+3+0=13（成立），B 原料 5+2×3+0=11（成立）；
答：甲生产 5 件，乙生产 3 件，丙生产 0 件（丙可不生产）。
第 8 页：解题技巧与易错点
一、核心技巧
消元选择：
优先消去 “系数绝对值最小” 或 “出现次数少” 的未知数；
若方程组缺未知数（如例 2），可采用 “三式相加” 简化计算。
回代顺序：
先求一元一次方程的解，再回代到二元方程组求第二个未知数，最后回代到原方程求第三个未知数；
回代时优先选择 “含未知数最少” 的方程（如例 3 中用①回代求 z）。
检验要点：
必须代入所有三个原方程验证，避免单一方程成立但整体不成立的情况。
二、常见易错点
消元遗漏：消元时漏乘方程中的常数项（如例 1 中⑤×2 时，4×2=8 易漏算）；
符号错误：加减消元时未变号（如② - ①写成 2x - y + z - x + y + z=3-6）；
回代错误：将求得的未知数代入错误方程（如例 1 中用④回代求 z，而非⑤）；
忽略实际意义：实际问题中未知数需为非负整数（如例 3 中 z=0 合理，若出现负数需舍去）。
第 9 页：课堂练习
基础题：
解方程组\(\begin{cases}x + y + z = 12\\x + 2y + 5z = 22\\x = 4y\end{cases}\)（提示：先消去 x）；
提升题：
解方程组\(\begin{cases}2x + 3y - z = 4\\3x - 2y + z = 3\\x + y + z = 6\end{cases}\)（选择消去 z）；
拓展题（实际应用）：
甲、乙、丙三人共捐款 150 元，甲捐的是乙的 2 倍，乙捐的比丙少 10 元，求三人各捐款多少元？（设丙捐款 z 元，列方程组求解）
第 10 页：课堂小结
核心内容：
三元一次方程组定义：3 个相同未知数，3 个一次整式方程；
解法核心：递进消元法（三元→二元→一元），延续代入 / 加减消元技巧；
解题步骤：消元→解二元→解一元→回代→检验。
数学思想：
消元思想：逐步减少未知数个数，化繁为简；
转化思想：将三元问题转化为已学的二元、一元问题；
建模思想：实际问题→设三元→列方程组→求解。
关键收获：
掌握三元到二元的消元策略；
能解决含三个未知数的实际分配、配比问题；
深化 “化未知为已知” 的数学思维。
第 11 页：布置作业
教材习题 5.5 第 1、2、3、4 题；
实践题：
设计一个三量分配问题（如水果购买、文具分配），列出三元一次方程组并求解；
思考题：
若有四元一次方程组，解法思路是什么？（提示：延续消元思想，四元→三元→二元→一元）
1．什么是二元一次方程组？
2．求解二元一次方程组的方法有哪些？
问题导入
1.什么叫二元一次方程组？什么叫“元”，什么叫“次”？
2.解二元一次方程组有哪几种方法？
3.它们的实质是什么？
4.前面我们学习了一元一次方程，二元一次方程（组），今天我们继续学习三元一次方程（组）.
提出问题 1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
知识点 1
三元一次方程（组）及其解的概念
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设甲数、乙数、丙数分别是x、y、 z，根据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=23,x-y=1,2x+y-z=20
类似于二元一次方程组，可以得到下边的方程组：
思考 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系，又如何求解？
观察方程x+y+z=23
和2x+y-z=20
1．它们有什么共同特点？
它们都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1；
2．类比二元一次方程，你能说出这两个方程是什么方程吗？
是三元一次方程；
4．你能得出什么是三元一次方程组的解？
是三元一次方程组，类比二元一次方程组，三元一次方程组中的方程不一定每个方程都要含有3个未知数，只要是一共含有三个未知数的三个一次方程所组成一组方程，就是三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解.
3．那么方程组
应该叫做什么方程组呢？
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．
探究新知
由此，我们得出三元一次方程组及其解的定义:
1.共含有三个不相同的未知数.
2.未知数的项的次数都是1.
3.共有三个一次方程.
三元一次方程组必须满足的三个条件：
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
探究新知
例 下列是三元一次方程组的是(　　)
A.　　　　　 B.
C. 　　　　　 D.
素养考点 1
三元一次方程组的判断
D
第二个方程含有未知数的项的次数不是1
第二个方程含有未知数的项的次数不是1
第一个方程不是整式方程
三个方程都是一次方程,且该方程组中一共含有三个未知数,故是三元一次方程组
怎样解三元一次方程组呢？
①
②
③
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
知识点 2
探究新知
三元一次方程组的解法
解：由方程②得x=y+1④,把④分别代入①③得
2y+z=22 ⑤, 3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
把y=8代入④，得x=9.
所以原方程的解是
x=9,
y=8,
z=6.
探究新知
解方程组
例
类似二元一次方程组的“消元”,把“三元”化成“二元”.
①
②
③
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
探究新知
解三元一次方程组
①
②
③
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
探究新知
分析：方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一个只含x, z的方程, 与方程①组成一个二元一次方程组.
把 x＝5，z＝-2 代入②，得
因此，三元一次方程组的解为
你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.
探究新知
解三元一次方程组
①
②
③
例1 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
探究新知
素养考点 1
三元一次方程组求字母的值
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a=3，
b=-2
c=-5,
a=3，
b=-2，
c=-5.
因此
探究新知
例2 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
素养考点 2
探究新知
利用三元一次方程组解答实际问题
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
③
①
②
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
探究新知
(2)②-①×4,③-①,得
⑤
①
④
⑤+④,得
⑥
①
④
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
探究新知
知识点1 三元一次方程（组）的有关概念
1.下列方程中，三元一次方程共有( )
；；； 。
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
2.下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
知识点2 三元一次方程组的解法
3.解方程组 时，第一次消去未知数的最佳方法是
( )
C
A.加减法消去，即，
B.加减法消去，即，
C.加减法消去，即，
D.代入法消去，， 中的任何一个
返回
4.［教材随堂练习 变式］解方程组：
解：
由，可得 ，④
由，可得 ，⑤
由，可得，解得 ，
将代入④，可得 ，
解得，将， 代入②，
可得，解得，所以该方程组的解为
返回
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的应用
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