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北师大（2024）版数学8年级上册
第五章 二元一次方程组
5.4.2用二元一次方程组确定一次函数表达式
第 1 页：封面
标题：5.4.2 用二元一次方程组确定一次函数表达式
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：直角坐标系中一条直线 + 两个已知点 + 方程组\(\begin{cases}k+b=3\\2k+b=5\end{cases}\)，突出 “两点定线→方程组求系数” 的核心逻辑
第 2 页：情境导入 —— 问题引发思考
回顾旧知：
一次函数的一般形式：\(y = kx + b\)（\(k 0\)），其中 k 是斜率，b 是截距，确定了 k 和 b，就确定了唯一的一次函数；
上节课结论：一次函数图象上的点坐标，是对应二元一次方程的解（如点 (1,3) 在\(y=kx+b\)上，则\(k 1 + b = 3\)）。
问题情境：
已知一次函数的图象经过点 A (1, 3) 和 B (2, 5)，如何求出这个函数的表达式？
思考：一次函数有两个未知系数 k 和 b，需要几个条件才能确定？（两个独立条件→两个方程→方程组求解）
课题引入：今天我们学习 “待定系数法”—— 用二元一次方程组确定一次函数表达式，掌握 “由点求线” 的核心方法！
第 3 页：探究一：核心原理 —— 待定系数法
一、待定系数法的定义（加粗）
先设出一次函数的一般形式\(y = kx + b\)（k、b 为待定系数），再根据已知条件（通常是图象上的两个点坐标）列出关于 k、b 的二元一次方程组，解方程组求出 k、b 的值，进而确定一次函数表达式的方法，叫做待定系数法。
二、原理依据（加粗）
一次函数\(y = kx + b\)的图象是一条直线，两点确定一条直线；
每个点的坐标都满足函数表达式，因此两个点坐标可转化为两个关于 k、b 的方程，组成方程组即可求解。
三、直观图示
第 4 页：探究二：建模步骤（以情境问题为例）
步骤详解（加粗标注）
设：设一次函数的表达式为\(y = kx + b\)（\(k 0\)）；
代：将两个点的坐标分别代入表达式，得到关于 k、b 的二元一次方程组；
点 A (1, 3) 代入：\(k 1 + b = 3\) → \(k + b = 3\) ①；
点 B (2, 5) 代入：\(k 2 + b = 5\) → \(2k + b = 5\) ②；
解：解方程组，求出 k、b 的值；
② - ①：\(k = 2\)；
把\(k = 2\)代入①：\(2 + b = 3\) → \(b = 1\)；
写：将 k、b 的值代入一般形式，写出一次函数表达式；
表达式：\(y = 2x + 1\)；
验：验证两个点坐标是否满足表达式（可选，确保正确性）。
总结：待定系数法五步曲 —— 设、代、列、解、写
第 5 页：例题讲解（基础题型：已知两点坐标）
例 1：已知一次函数的图象经过点 P (-1, 2) 和 Q (3, -2)，求该函数的表达式。
解：
第一步：设表达式为\(y = kx + b\)（\(k 0\)）；
第二步：代入点坐标列方程组：
点 P (-1, 2)：\(-k + b = 2\) ①；
点 Q (3, -2)：\(3k + b = -2\) ②；
第三步：解方程组（加减消元法）：
② - ①：\(4k = -4\) → \(k = -1\)；
回代①：\(-(-1) + b = 2\) → \(1 + b = 2\) → \(b = 1\)；
第四步：写表达式：\(y = -x + 1\)；
检验：点 P (-1,2)→\(-(-1)+1=2\)（成立），点 Q (3,-2)→\(-3+1=-2\)（成立）；
答：该一次函数的表达式为\(y = -x + 1\)。
例 2：已知一次函数\(y = kx + b\)的图象经过点 (0, 4) 和 (2, 0)，求 k 和 b 的值，并画出函数图象。
解：
第一步：代入点坐标列方程组：
点 (0, 4)：\(0 k + b = 4\) → \(b = 4\) ①；
点 (2, 0)：\(2k + b = 0\) ②；
第二步：解方程组：
把①代入②：\(2k + 4 = 0\) → \(2k = -4\) → \(k = -2\)；
第三步：表达式：\(y = -2x + 4\)；
画图：过点 (0,4)（y 轴交点）和 (2,0)（x 轴交点）画直线；
答：\(k = -2\)，\(b = 4\)，函数表达式为\(y = -2x + 4\)。
第 6 页：例题讲解（进阶题型：结合实际情境）
例 3：某商店销售一种文具，其销量 y（件）与售价 x（元 / 件）满足一次函数关系。已知当售价为 20 元时，销量为 300 件；当售价为 25 元时，销量为 250 件。
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）当售价为 30 元时，销量为多少件？
解：
（1）设函数表达式为\(y = kx + b\)（\(k 0\)）；
代入条件列方程组：\(\begin{cases}20k + b = 300 \\25k + b = 250 \end{cases}\)；
② - ①：\(5k = -50\) → \(k = -10\)；
回代①：\(20 (-10) + b = 300\) → \(b = 500\)；
∴函数表达式为\(y = -10x + 500\)；
（2）当\(x = 30\)时，\(y = -10 30 + 500 = 200\)（件）；
答：（1）\(y = -10x + 500\)；（2）销量为 200 件。
例 4：已知一次函数的图象与直线\(y = 2x + 1\)平行，且经过点 (1, -3)，求该函数的表达式。
解：
关键知识点：两直线平行→斜率相等（\(k_1 = k_2\)）；
第一步：设表达式为\(y = kx + b\)；
由平行条件得：\(k = 2\)；
代入点 (1, -3)：\(2 1 + b = -3\) → \(b = -5\)；
表达式：\(y = 2x - 5\)；
检验：斜率为 2（与已知直线平行），过点 (1,-3)（\(2 1 -5 = -3\)，成立）；
答：该函数的表达式为\(y = 2x - 5\)。
第 7 页：解题技巧与易错点
一、核心技巧
设表达式技巧：
若函数过原点（0,0），可设\(y = kx\)（b=0，简化计算）；
若已知两直线平行，直接利用 “k 相等” 设表达式（如例 4）。
代入坐标技巧：
代入时注意符号（如点 (-1, 2) 代入得\(-k + b = 2\)，而非\(k + b = 2\)）；
优先代入坐标轴上的点（x=0 或 y=0），简化计算（如例 2 中点 (0,4) 直接得 b=4）。
检验技巧：
解出 k、b 后，务必将两个点坐标代入表达式验证，避免计算错误。
二、常见易错点
符号错误：代入负坐标时漏加负号（如点 (-2, 5) 代入得\(-2k + b = 5\)，错误写成\(2k + b = 5\)）；
平行条件误用：混淆 “平行” 与 “垂直” 的斜率关系（平行→k 相等，垂直→\(k_1 k_2 = -1\)）；
表达式书写错误：解出 k、b 后，漏写 x 或写错符号（如 k=-2，b=3，写成\(y = -2 + 3x\)）；
忽略定义域：实际情境中，x、y 需符合实际意义（如销量、售价为正数）。
第 8 页：课堂练习
基础题：
（1）已知一次函数经过点 (1, 4) 和 (3, 8)，求该函数表达式；
（2）已知一次函数\(y = kx + b\)过点 (0, -2) 和 (-1, 0)，求 k 和 b 的值。
提升题：
一次函数的图象与直线\(y = -3x + 2\)平行，且经过点 (2, -1)，求该函数表达式。
拓展题（实际应用）：
某出租车的收费标准为：起步价（3 千米内）8 元，超过 3 千米后，每千米收费 1.5 元。设行驶路程为 x 千米（x≥3），车费为 y 元，求 y 与 x 之间的函数表达式，并计算行驶 10 千米的车费。
第 9 页：课堂小结
核心方法：
待定系数法五步：设（设表达式\(y=kx+b\)）→代（代入点坐标）→列（列方程组）→解（解方程组）→写（写表达式）；
关键依据：两点确定一条直线，两个方程确定两个待定系数。
应用场景：
已知两个点坐标求函数表达式；
结合平行关系、实际情境求函数表达式。
数学思想：
建模思想（将 “求函数” 转化为 “解方程组”）；
数形结合思想（点坐标与函数表达式的对应）。
第 10 页：布置作业
教材习题 5.4 第 5、6、7、8 题；
实践题：
在平面直角坐标系中任意画一条直线，找出直线上两个点的坐标，用待定系数法求出其函数表达式，再验证直线上第三个点的坐标是否满足该表达式；
思考题：
若已知一次函数的图象与 x 轴、y 轴的交点坐标，如何快速求表达式？（提示：交点坐标为 (a,0) 和 (0,b)，直接代入\(y=kx+b\)）
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米．问经过多长时间两人将相遇？
同学们思考这个问题，你是怎么解决的呢？
复习导入
二元一次方程组与一次函数有何联系？
二元一次方程组有哪些解法？
如何利用二元一次方程组求一次函数的表达式？
视频导入
探究 A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇 说出你的方法，并与同学们交流.
1小时后
2小时后甲距A地30千米
乙距A地80千米
甲
A
乙
B
知识点
确定一次函数的表达式
图象表示
(A)
0
4
1
2
3
t/时
s/千米
120
100
80
60
40
20
(B)
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了.
小明
乙
甲
探究新知
小颖
对于乙，s是t的一次函数，可设s=kt+b.当t=0时，s=100；当t=1时s=80.将它们分别代入s=kt+b中，
可以求出k，b的值，即可以求出乙中s与t之间的函数表达式.你能求出甲的表达式吗？
探究新知
因为甲为正比例函数，设甲的关系式为s=kt,当t=2时s=30，即30=2k，k=15,所以s=15t
小亮
1小时后乙距A地80千米,即乙的速度是20千米/时
2小时后甲距A 地30千米,故甲的速度是15千米/时
设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100，
探究新知
所以
用一元一次方程的方法可以解决问题
用图象法可以解决问题
用方程组的方法可以解决问题
小明
小亮
小颖
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
在以上的解题过程中你受到什么启发？
探究新知
探究交流
某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
探究新知
例
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组
解得
答：旅客最多可免费携带30千克的行李．
所以当x>30时，y>0.
探究新知
（2）当y=0时， .解得x=30
所以
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.设：用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.
2.代：将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.
3.解：解这个二元一次方程组得k，b.
4.求：进而求出一次函数的表达式.
探究新知
在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少
解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b，
因为当x=1000时 y = 800;当x=2000时y = 700，
所以
800k + b = 1000
700k + b = 2000
｛
因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =-10x + 9000
当 y = 400时得，-10 x + 900 =400,
所以x =860.
答:当客户购买400kg,单价是860元.
巩固练习
解这个方程组得:
b =900
｛
k=-10
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
所以这个一次函数的解析式为
-k+b=3，
2k+b=-3，
把点（-1，3）与（2，-3）分别代入，得：
解方程组得
b=1.
k=-2，
y=-2x+1.
探究新知
素养考点 1
已知两点坐标确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象过点（-1，3）与（2，-3），
求这个一次函数的解析式．
例
1）设关系式；
2）找x与y的对应值；
3）代入转化成方程（组）
4）解方程（组）确定系数；
5）还原关系式.
探究新知
方法点拨
确定一次函数关系式的方法：
已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
3k+b=5，
-4k+b=-9，
把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，得：
解方程组得
b=-1.
k=2，
所以这个一次函数的解析式为
y=2x-1.
巩固练习
变式训练
知识点1 用待定系数法确定一次函数表达式
1.［教材尝试·思考变式］ 已知一次函数 的图象经过点
， ，则该一次函数的表达式为( )
A
A. B. C. D.
返回
2.已知是的一次函数，下表中列出了与的部分对应值，则 ___。
… 0 3 …
… 5 …
2
返回
3.如图，直线与轴交于点，点
关于轴的对称点为，经过点和 轴上的点
的直线对应的函数表达式设为
。
（1）求点 的坐标；
解：对于，令，则，所以 ，所以
。因为点关于轴的对称点为，所以 。
（2）确定直线 对应的函数表达式。
解：因为直线对应的函数表达式为，且，，
所以解得
所以直线对应的函数表达式为 。
返回
知识点2 借助一次函数表达式解决实际问题
4.某公司销售部营销人员的个人收入 （元）与
其每月的销售量 （万件）成一次函数关系，其
图象如图，营销人员没有销售量时的个人收入是
( )
B
A.1 000元 B.2 000元 C.3 000元 D.4 000元
返回
利用二元一次方程组确定一次函数表达式
用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b
将已知条件代入上述表达式中得关于k，b的二元一次方程组
解这个二元一次方程组得k，b
谢谢观看！

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