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北师大（2024）版数学8年级上册
第五章 二元一次方程组
5.3.3二元一次方程组的应用
--几何问题与行程问题
问题导入
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗
第 1 页：封面
标题：5.3.3 二元一次方程组的应用 —— 几何问题与行程问题
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：几何图形（长方形、三角形）与行程示意图（相向而行、同向而行）组合，突出两类核心场景
第 2 页：情境导入 —— 两类经典应用场景
几何问题情境：
一个长方形的周长为 30cm，长比宽多 5cm，求这个长方形的长和宽各是多少？
行程问题情境：
甲、乙两人从相距 120km 的两地同时出发，相向而行，2 小时后相遇；若甲比乙每小时多走 10km，求甲、乙两人的速度。
思考设问：
几何问题中，长方形的周长公式如何转化为等量关系？
行程问题中，“相向而行” 的核心数量关系是什么？
课题引入：今天我们解锁二元一次方程组在几何和行程中的应用，掌握两类场景的建模技巧！
第 3 页：第一部分：几何问题的应用
一、核心几何关系梳理（加粗）
长方形：周长 = 2×(长 + 宽)，面积 = 长 × 宽；
三角形：周长 = 三边之和，等腰三角形两腰相等；
线段：总长度 = 各段长度之和，中点分线段为等长两段。
二、建模步骤（以长方形问题为例）
设未知数：设长为 x cm，宽为 y cm；
找等量关系：
等量关系①：周长 = 30→2 (x+y)=30；
等量关系②：长 - 宽 = 5→x-y=5；
列方程组：\(\begin{cases}2(x+y)=30\\x-y=5\end{cases}\)；
求解→检验→作答。
三、例题讲解（长方形问题）
例 1：一个长方形的周长是 48cm，长与宽的比是 5:3，求这个长方形的面积。
解：
第一步：设未知数（按比例设元更简便）：设长为 5x cm，宽为 3x cm；
第二步：找等量关系：周长 = 2 (长 + 宽)=48；
第三步：列方程：2 (5x+3x)=48→16x=48→x=3；
第四步：求长和宽：长 = 5×3=15cm，宽 = 3×3=9cm；
第五步：算面积：15×9=135cm ；
检验作答：周长 = 2 (15+9)=48cm（成立），答：长方形面积为 135cm 。
四、例题讲解（图形组合问题）
例 2：用 8 块相同的长方形地砖拼成一个大长方形（如图），大长方形的宽为 60cm，求每块小长方形的长和宽。
情境分析：大长方形的宽 = 小长方形的长 + 小长方形的宽；大长方形的长 = 2× 小长方形的长 = 4× 小长方形的宽（由拼接方式可得）；
解：
设小长方形的长为 x cm，宽为 y cm；
列方程组：\(\begin{cases}x + y = 60\\2x = 4y\end{cases}\)；
求解：由第二个方程得 x=2y，代入第一个方程：2y+y=60→y=20，x=40；
检验作答：小长 40cm，宽 20cm，大宽 40+20=60cm（成立），答：小长方形长 40cm，宽 20cm。
第 4 页：第二部分：行程问题的应用
一、核心行程关系梳理（加粗）
基本公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt）；
相遇问题（相向而行）：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程；
追击问题（同向而行）：路程差 = 速度快的路程 - 速度慢的路程；
航行问题：顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 - 水流速度。
二、建模步骤（以相遇问题为例）
设未知数：设甲的速度为 x km/h，乙的速度为 y km/h；
找等量关系：
等量关系①：相遇时总路程 = 120→2x+2y=120；
等量关系②：甲速度 - 乙速度 = 10→x-y=10；
列方程组：\(\begin{cases}2x+2y=120\\x-y=10\end{cases}\)；
求解→检验→作答。
三、例题讲解（相遇问题）
例 3：甲、乙两车从相距 360km 的 A、B 两地同时出发，相向而行，4 小时后相遇。已知甲车的速度是乙车的 1.25 倍，求甲、乙两车的速度。
解：
设乙车速度为 x km/h，甲车速度为 1.25x km/h；
列方程：4 (x+1.25x)=360→4×2.25x=360→9x=360→x=40；
甲车速度 = 1.25×40=50km/h；
检验作答：4 小时甲走 200km，乙走 160km，200+160=360km（成立），答：甲车速度 50km/h，乙车速度 40km/h。
四、例题讲解（追击问题）
例 4：甲、乙两人在同一条笔直公路上跑步，甲的速度为 10m/s，乙的速度为 8m/s。若乙在甲前方 100m 处，甲出发后多久能追上乙？
解：
设甲出发 t 秒后追上乙，此时甲跑了 x 米，乙跑了 y 米；
列方程组：\(\begin{cases}x - y = 100\\x = 10t\\y = 8t\end{cases}\)；
代入求解：10t - 8t=100→2t=100→t=50；
检验作答：50 秒甲跑 500m，乙跑 400m，500-400=100m（成立），答：甲出发 50 秒后追上乙。
五、例题讲解（航行问题）
例 5：一艘船顺流航行 36km 需 3 小时，逆流航行 24km 需 3 小时，求船在静水中的速度和水流速度。
解：
设船在静水中的速度为 x km/h，水流速度为 y km/h；
顺流速度 = x+y，逆流速度 = x-y；
列方程组：\(\begin{cases}3(x+y)=36\\3(x-y)=24\end{cases}\)；
简化求解：\(\begin{cases}x+y=12\\x-y=8\end{cases}\)，两式相加得 2x=20→x=10，y=2；
检验作答：顺流速度 12km/h，3 小时 36km（成立）；逆流速度 8km/h，3 小时 24km（成立），答：静水速度 10km/h，水流速度 2km/h。
第 5 页：几何与行程问题解题技巧与易错点
一、核心技巧
几何问题：
画图辅助：根据题意画出图形，标注已知条件和未知量；
公式牢记：熟练掌握周长、面积、线段关系等公式，避免公式错误；
设元灵活：按比例设元（如例 1）、按图形关系设元（如例 2），简化计算。
行程问题：
情境分类：先判断是相遇、追击还是航行问题，再套用对应关系；
单位统一：确保速度、时间、路程的单位一致（如 km/h 对应 h 和 km）；
表格梳理：用表格记录甲、乙的速度、时间、路程，清晰呈现关系。
二、常见易错点
几何问题：
周长与面积混淆（如用面积公式列周长的等量关系）；
图形拼接时漏看隐藏关系（如例 2 中 “2 长 = 4 宽” 的隐藏条件）。
行程问题：
相遇与追击的关系颠倒（如相遇用 “路程差”，追击用 “路程和”）；
航行问题中顺流、逆流速度公式记反；
忽略 “同时出发”“不同地出发” 等关键条件，导致等量关系错误。
第 6 页：课堂练习
基础题（几何）：
一个等腰三角形的周长为 20cm，底边长比腰长短 2cm，求腰长和底边长。
基础题（行程）：
甲、乙两人骑自行车从相距 80km 的两地出发，相向而行，2 小时后相遇，甲每小时比乙多骑 10km，求两人的速度。
提升题（综合）：
一个长方形的长减少 5cm，宽增加 2cm，就变成一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求原长方形的长和宽。
拓展题（航行）：
一架飞机顺风飞行 1380km 需 2 小时，逆风飞行 1200km 需 2 小时，求飞机在无风时的速度和风速。
第 7 页：课堂小结
核心内容：
几何问题：围绕周长、面积、线段关系建模，关键是画图找等量；
行程问题：分相遇、追击、航行三类，核心是 “路程 = 速度 × 时间”；
通用步骤：设未知数→找等量关系→列方程组→求解→检验作答。
数学思想：
建模思想（几何 / 行程情境→数学方程组）；
数形结合思想（几何画图、行程示意图辅助理解）；
分类思想（行程问题按类型分类，套用对应模型）。
关键收获：
能区分不同场景的核心等量关系；
掌握几何与行程问题的设元、列方程技巧；
提升从实际情境中提炼数学关系的能力。
第 8 页：布置作业
教材习题 5.3 第 8、9、10、11 题；
实践题：
测量家中一张长方形桌子的周长，再测量长比宽多多少，用方程组求出长和宽，验证测量结果是否一致；
思考题：
若行程问题中涉及 “先出发 1 小时”“中途停留” 等复杂条件，如何调整等量关系？（为后续复杂应用铺垫）
视频导入
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
是一个两位数，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
知识点 1
列二元一次方程组解答数字问题
是一个两位数，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
10x + y
x + y = 7
（1）12:00时小明看到的数可表示为
，
根据两个数字和是7，可列出方程
.
探究新知
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字
是y，那么
是一个两位数，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
10y + x
（10y +x）- （10x +y）
（2）13:00时小明看到的数可表示为
,
12:00～13:00间摩托车行驶的路程是
.
探究新知
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字
是y，那么
是一个两位数，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
100x + y
（100x +y ）- （10y +x ）
（3）14:00时小明看到的数可表示为
,
13:00～14:00间摩托车行驶的路程是
.
探究新知
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字
是y，那么
是一个两位数，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
（4）12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？
探究新知
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字
是y，那么
是一个两位数，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，
那么根据以上分析，得方程组：
答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．
探究新知
x+y=7
(100x+y)-(10y+x)=(10y+x)-(10x+y)
解这个方程组，得
12：00是一个两位数，它的两个数字之和为7；
13：00十位与个位数字与12：00所看到的正好互换了；
14： 00比12：00时看到的两位数中间多了个0．
分析：设小明在12：00看到的数十位数字是x，个位数字是y,那么
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 表达式
12：00
13：00
14：00
x
y
10 x ＋ y
y
x
10 y ＋ x
x
0
y
100 x ＋ y
相等关系：① 12：00看到的数，两个数字之和是7
　　　　　②路程差相等
探究新知
表格分析数量关系
小结：对较复杂的问题可以通过列表格的方法疏理题中的未知量，已知量以及等量关系，使其条理清楚，将复杂问题转化为简单问题.
解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组：
解得
答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16.
探究新知
整理得
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意，得：
解这个方程组,得:
答:这两个两位数分别是45和23.
x+y=68
(100x+y)-(100y+x)=2178
x=45
y=23
探究新知
两个两位数的和为68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数; 在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178, 求这两个两位数.
例
素养考点 1
列二元一次方程组解答数字问题
一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大9，求原来的两位数．
分析: 用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系．由于十位数字和个位数字都是未知的，所以不能直接设所求的两位数．本题中两个等量关系为：十位数字＋个位数字＝11，(十位数字×10＋个位数字)＋9＝个位数字×10＋十位数字．根据这两个等量关系可列出方程组．
巩固练习
变式训练
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
知识点 2
列二元一次方程组解答复杂行程问题
探究新知
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.
平路：60 m/min
下坡路：80 m/min
上坡路：40 m/min
走平路的时间+走下坡路的时间=________，
走上坡路的时间+走平路的时间= _______．
路程=平均速度×时间
10
15
探究新知
方法一（直接设元法）
平路时间 坡路时间 总时间
上学
放学
解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以小明家到学校的距离为700m.
探究新知
方法二（间接设元法）
平路 距离 坡路距离
上学
放学
解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以小明家到学校的距离为700m.
故平路距离：60×（10-5）=300（m）
坡路距离：80×5=400（m）
探究新知
探究新知
素养考点 1
列二元一次方程组解答复杂行程问题
例 张强与李毅二人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而行.若张强比李毅早出发 30 分钟，那么在李毅出发后 2 小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么 1 小时后两人还相距 11 千米.求张强、李毅每小时各走多少千米？
思考：题目中给了哪些相关的量？
2y千米
张强2.5小时走的路程
李毅2小时走的路程
11千米
0.5x千米
2x千米
(1)
A
B
x千米
y千米
(2)
A
B
解：设张强、李毅每小时各走x, y千米，由题意得
答：张强、李毅每小时各走4, 5千米.
分析：如下图（1）、（2）所示
探究新知
方程组
知识点1 图形问题
1.如图，正方形的面积是81，该正方形被分成四个相同的长为 ，
宽为的长方形和一个面积为9的小正方形，则可列关于, 的二元一次
方程组为_ ___________。
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2.［教材 问题变式］如图是由七个完全一
样的小长方形组成的大长方形 ，
，求长方形 的周长。
解：设小长方形的长为，宽为 ，
由题图可知解得
所以长方形 的长为20，
所以长方形 的周长为
。
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知识点2 行程问题
3.小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用
时，他骑自行车的平均速度是 ，步行的平均速度是
，他家与学校的距离是 。设他骑自行车的时间为
，步行的时间为 ，则列出的二元一次方程组是( )
D
A. B.
C. D.
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4. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八
戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到
达西天取得真经修成正果的故事。现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的
数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多
少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪， 就飞跃了1 000里，
逆风返回时 走了600里，问风速是多少？则风速是( )
A
A.50里/ B.150里/ C.200里/ D.250里/
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5.甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙
地出发相向而行，又经过4小时两车相遇。已知小轿车比大客车每小时
多行20千米，问大客车每小时行多少千米？小轿车每小时行多少千米？
解：设大客车每小时行千米，小轿车每小时行 千米，由题意得
解得
故大客车每小时行76千米，小轿车每小时行96千米。
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6.长方形 中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如
图所示，则图中阴影部分的面积是____ 。
67
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1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
谢谢观看！

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