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北师大（2024）版数学8年级上册
第五章 二元一次方程组
5.4.1二元一次方程与一次函数
第 1 页：封面
标题：5.4.1 二元一次方程与一次函数
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：直角坐标系中两条相交直线 + 二元一次方程组，标注 “方程的解→图象上的点”“方程组的解→图象交点”，突出核心关联
第 2 页：情境导入 —— 旧知联结新知
回顾旧知：
二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项次数为 1 的整式方程（如 x + y = 5）；
一次函数：形如 y = kx + b（k≠0）的函数，其图象是一条直线；
上节课伏笔：方程组的解对应两直线的交点坐标（如\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}\)的解 (2,3)，是否是某两条直线的交点？）。
问题设问：
二元一次方程 x + y = 5 的解有无数个（如\(\begin{cases}x=0\\y=5\end{cases}\)、\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)），这些解在平面直角坐标系中是什么图形？
一次函数 y = -x + 5 的图象是一条直线，这条直线上的点与方程 x + y = 5 的解有什么关系？
课题引入：今天我们解锁二元一次方程与一次函数的 “隐藏关联”，用数形结合思想打通代数与几何的壁垒！
第 3 页：探究一：二元一次方程与一次函数的对应关系
一、核心转化（加粗）
任何一个二元一次方程都可以变形为一次函数的形式（y = kx + b）；
反之，任何一个一次函数 y = kx + b 都可以转化为二元一次方程的形式（kx - y + b = 0）。
示例：方程 2x + 3y = 6 → 变形为一次函数：\(y = -\frac{2}{3}x + 2\)；
函数\(y = 3x - 4\) → 转化为方程：3x - y - 4 = 0。
二、解与点的对应（加粗）
二元一次方程的每一个解（\(\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}\)），都对应一次函数图象上的一个点（a, b）；
一次函数图象上的每一个点（a, b），其坐标都是对应二元一次方程的一个解。
验证示例（方程 x + y = 5 函数 y = -x + 5）：
方程 x + y = 5 的解
对应函数图象上的点
\(\begin{cases}x=0\\y=5\end{cases}\)
(0, 5)（y 轴交点）
\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)
(2, 3)（直线上一点）
\(\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}\)
(5, 0)（x 轴交点）
结论：二元一次方程的所有解对应的点组成的图形，就是其对应的一次函数的图象（一条直线）。
第 4 页：探究二：二元一次方程组与两个一次函数的对应关系
一、方程组与函数组的转化（加粗）
二元一次方程组\(\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}\)，可变形为两个一次函数：\(\begin{cases}y = k_1x + b_1\\y = k_2x + b_2\end{cases}\)（其中\(k_1 = -\frac{a_1}{b_1}\)，\(k_2 = -\frac{a_2}{b_2}\)，\(b_1\)、\(b_2\)为常数，\(b_1\)、\(b_2\)不为 0）。
示例：方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}\) → 变形为函数组：\(\begin{cases}y = -x + 5\\y = 2x - 1\end{cases}\)。
二、方程组的解与函数图象交点的对应（加粗）
二元一次方程组的解，是两个一次函数图象交点的坐标（因为交点坐标同时满足两个函数解析式，即满足两个原方程）；
反之，两个一次函数图象交点的坐标，就是对应的二元一次方程组的解。
验证示例：
函数 y = -x + 5 与 y = 2x - 1 的图象交于点 (2, 3)；
方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)，完全对应！
结论：解二元一次方程组，本质是求两个对应一次函数图象的交点坐标（数形结合的核心）。
第 5 页：例题讲解（利用函数图象解方程组）
例 1：利用一次函数的图象，求方程组\(\begin{cases}x - y = 1\\2x + y = 5\end{cases}\)的解。
解：
第一步：将方程组变形为两个一次函数：
① x - y = 1 → y = x - 1；
② 2x + y = 5 → y = -2x + 5；
第二步：在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象：
y = x - 1：过点 (0, -1) 和 (1, 0)（两点确定一条直线）；
y = -2x + 5：过点 (0, 5) 和 (2.5, 0)；
第三步：找到图象的交点：观察图象，两直线交于点 (2, 1)；
第四步：验证作答：将 (2, 1) 代入原方程组，\(\begin{cases}2 - 1 = 1 \\2 2 + 1 = 5 \end{cases}\)；
∴方程组的解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)。
例 2：已知一次函数 y = kx + b 的图象过点 A (1, 3) 和 B (2, 5)，求该函数解析式（用方程组求解）。
解：
第一步：转化为方程组：点在函数图象上，坐标满足解析式：\(\begin{cases}k 1 + b = 3\\k 2 + b = 5\end{cases}\)，即\(\begin{cases}k + b = 3\\2k + b = 5\end{cases}\)；
第二步：解方程组（加减消元法）：
② - ①：k = 2，回代①：2 + b = 3→b = 1；
第三步：写出函数解析式：y = 2x + 1；
检验：过点 (1,3)（2×1+1=3）和 (2,5)（2×2+1=5），成立；
答：函数解析式为 y = 2x + 1。
第 6 页：例题讲解（方程组解的情况与函数图象的位置关系）
三种情况对比（加粗）
方程组解的情况
两个一次函数图象的位置关系
系数特征（\(\begin{cases}y=k_1x+b_1\\y=k_2x+b_2\end{cases}\)）
唯一解
相交（有一个交点）
\(k_1 k_2\)（斜率不同）
无数个解
重合（有无数个交点）
\(k_1=k_2\)且\(b_1=b_2\)（斜率相同，截距相同）
无解
平行（无交点）
\(k_1=k_2\)且\(b_1 b_2\)（斜率相同，截距不同）
例 3：判断下列方程组的解的情况，并说明对应的函数图象位置关系：
（1）\(\begin{cases}y = 2x + 3\\y = 2x - 1\end{cases}\)
解：\(k_1=k_2=2\)，\(b_1=3 b_2=-1\)→方程组无解，对应的两个函数图象平行；
（2）\(\begin{cases}y = -x + 4\\2x + 2y = 8\end{cases}\)
解：第二个方程变形为 y = -x + 4，与第一个方程完全相同→\(k_1=k_2=-1\)，\(b_1=b_2=4\)→方程组有无数个解，对应的两个函数图象重合；
（3）\(\begin{cases}y = 3x - 2\\y = -x + 6\end{cases}\)
解：\(k_1=3 k_2=-1\)→方程组有唯一解，对应的两个函数图象相交。
第 7 页：解题技巧与易错点
一、核心技巧
转化技巧：熟练将二元一次方程与一次函数互化（移项时注意变号，如 ax + by = c→\(y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\)）；
图象法解题：画函数图象时，优先找与坐标轴的交点（x=0 时的 y 值，y=0 时的 x 值），两点确定直线更简便；
快速判断：通过比较两个函数的 k（斜率）和 b（截距），直接判断方程组解的情况，无需画图。
二、常见易错点
转化方程时变号错误（如 2x - y = 5→y = 2x + 5，错误；正确为 y = 2x - 5）；
画图象时单位不统一（x 轴和 y 轴的单位长度不一致，导致交点坐标读取错误）；
混淆 “斜率” 和 “截距” 的作用（判断图象平行看 k，判断重合看 k 和 b，单独看 b 无法确定位置关系）；
图象法求解时，交点坐标读取误差过大（建议结合代数方法验证）。
第 8 页：课堂练习
基础题：
（1）将二元一次方程 3x - 2y = 6 变形为一次函数形式：______；
（2）利用图象求方程组\(\begin{cases}x + 2y = 4\\2x - y = 3\end{cases}\)的解（要求画出图象）；
提升题：
已知一次函数 y = ax + b 与 y = cx + d 的图象交于点 (1, -2)，则方程组\(\begin{cases}ax + b = cx + d\\ax - y = -b\end{cases}\)的解为______；
拓展题：
当 k 为何值时，方程组\(\begin{cases}y = kx + 3\\y = (2k - 1)x + 4\end{cases}\)有唯一解？无解？无数个解？
第 9 页：课堂小结
核心关联：
二元一次方程 一次函数（互化关系）；
方程的解 函数图象上的点（一一对应）；
方程组的解 两个函数图象的交点（一一对应）。
数学思想：
数形结合思想（用图象解决代数问题，用代数方法验证图象关系）；
分类思想（按 k 和 b 的特征分类讨论方程组解的情况）。
关键收获：
掌握方程与函数的互化方法；
能通过图象或系数特征判断方程组解的情况；
体会代数与几何的内在统一性。
第 10 页：布置作业
教材习题 5.4 第 1、2、3、4 题；
实践题：
选择一个二元一次方程组，分别用代数法（代入 / 加减消元）和图象法求解，对比两种方法的优劣；
思考题：
如何用一次函数图象解决三元一次方程组的问题？（为后续拓展铺垫）
1．方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个。
2．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？
3．在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？
图片导入
同学们，从不同的角度观察下面的图像，你有什么发现？
视频导入
探究一 方程x+y=5的解有多少个 写出其中的几个.
无数个
探究二 等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它变成y=kx+b的形式是_____________.
y=-x+5
知识点 1
二元一次方程与一次函数的关系
探究三 画出y=-x+5 的图象.
·
·
5
5
x 0
y=-x+5 0
y=-x+5
探究四 以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数
y=-x+5的图象上吗？
都在
探究新知
·
·
y=-x+5
探究五 在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？
都适合
探究六 以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
相同
在一次函数
y=5-x的图象上
方程x+y=5
的解
从形到数
从数到形
探究新知
讨论 一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
一次函数
y =-x+5
二元一次方程
y +x =5
二元一次方程
y =-x+5
用方程观点看
用函数观点看
　　从式子（数）角度看：
探究新知
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
二元一次方程与一次函数的关系
探究新知
6　二元一次方程与一次函数
解析：将方程 化为一次函数的形式,得 .
因为以二元一次方程的每个解为坐标的点都在相应的一次函数的图象(直线)上,所以以方程 的解为坐标的点都在直线 上.
探究新知
素养考点 1
一次函数与二元一次方程关系的应用
例 以方程 的解为坐标的点都在直线y=　　　 上.
1.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 ____的图像相同.
2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程x-2y=2的解的是（ ）
C
y=-2x+5
巩固练习
变式训练
1.解方程组
2.试着在同一直角坐标系内分别画出函数y=-x+5与y=2x-1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程的解有什么联系．
探究新知
探究
知识点 2
二元一次方程组与一次函数的关系
解：利用消元法，解方程组得
y
x
0
4
1
2
3
5
5
4
3
2
1
-1
-2
思考 方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？
(2,3)
解：
x … 0 5 …
y=-x+5 … 5 0 …
x … 0 0.5 …
y=2x-1 … -1 0 …
探究新知
方程组 的解
是两直线的交点坐标（2,3）
探究新知
讨论 观察下图中函数图象，你能解释两直线的交点坐标（20，25）就是 的解吗？
　　二元一次方程
组的解就是相应的
两个一次函数图象
的交点坐标．
A（20，25）
30
25
20
15
10
5
10
20
y =x+5
y =0.5x+15
15
5
O
x
y
　　从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
探究新知
解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,就是找这个函数图象的交点．
数
二元一次方程
组的解
两个一次函数所在直线的交点坐标
对应
形
确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
探究新知
用图象法解方程组
x
y
-2
2
-1
0
1
3
解：由
可得 ,
由 可得 .
得l1，l2的交点为P（2，2）.
x … -2 0 …
y … 0 1 …
x … 0 1 …
y … -2 0 …
在同一直角坐标系中作出图象
列表：
描点、连线：
-1
-2
1
2
3
探究新知
素养考点 1
利用一次函数的图象解二元一次方程组
例
所以原方程组的解是 .
6　二元一次方程与一次函数
如图所示,在同一直角坐标系中的两条直线分别是y=-x+1和
y=2x-5,那么方程组 的解是(　　)

巩固练习
A. B. C. D.
A
变式训练
方程组 解的情况如何？
x
3
2
1
-1
-2
y
-2
2
-1
0
1
3
探究 在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2的图象有怎样的位置关系？
探究新知
没有解
知识点 3
二元一次方程组和对应平行线的关系
1.两不重合的直线
当l1平行于l2时，k1=k2；反之也成立.
2.方程组 当
c1≠c2时，方程组无解；反之也成立.
你发
现了
什么？
探究新知
知识点1 二元一次方程与一次函数的关系
1.二元一次方程 有______个解，以它的每一个解为坐标的点
都在一次函数___________的图象上。反过来，一次函数___________的
图象上的每一个点的坐标均适合二元一次方程 。
无数
返回
2.已知点在一次函数的图象上，则方程 的
一个解为( )
B
A. B. C. D.
返回
3.［2025西安交大附中月考］以二元一次方程 的解为坐标
的点组成的图象画在坐标系中可能是( )
C
A. B. C. D.
返回
知识点2 二元一次方组与一次函数的关系
4.［教材 操作·思考变式］ 如图，在平面直角坐标
系中，直线与直线相交于点 ，
则关于，的二元一次方程组 的解是
( )
B
A. B. C. D.
返回
5.［2025陕西师大附中月考］在同一平面直角坐标系中，直线
与相交于点，则关于， 的方程组
的解为( )
C
A. B. C. D.
返回
6.小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，
在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个
方程组可能是( )
D
A. B.
C. D.
返回
二元一次方程与一次函数
二元一次方程的解与一次函数图象的关系
二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
二元一次方程组与对应两条平行线的关系
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