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北师大（2024）版数学8年级上册
第五章 二元一次方程组
5.2.2加减消元法
复习导入
第 1 页：封面
标题：5.2.2 加减消元法
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 11\\5x - 3y = 13\end{cases}\)与 “两方程相加” 示意图（标注 “3y + (-3y)=0，消去 y”），突出 “加减消元” 核心
第 2 页：复习回顾与情境导入
复习旧知：
消元思想：将二元一次方程组转化为一元一次方程求解；
代入消元法：通过 “变形→代入” 消元，适用于含系数为 1 的未知数的方程组。
情境设问：
面对方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 11\\5x - 3y = 13\end{cases}\)，若用代入消元法，需变形其中一个方程（如 y=(11-2x)/3），会出现分数，计算繁琐；
观察发现：两个方程中 y 的系数互为相反数（3 和 - 3），若将两方程相加，y 的项会抵消，直接得到一元一次方程，这就是新的消元方法 —— 加减消元法！
课题引入：今天我们学习求解二元一次方程组的第二种核心方法 —— 加减消元法，解锁 “系数配对” 的消元技巧！
第 3 页：探究一：加减消元法的核心原理
核心依据（加粗）：
等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个等式，等式仍然成立；
消元逻辑：当两个方程中某一个未知数的系数相等（同号）时，用 “减” 消元；系数互为相反数（异号）时，用 “加” 消元，使该未知数的项系数和为 0，从而消去这个未知数。
实例演示（以导入方程组为例）：
方程组：\(\begin{cases}2x + 3y = 11 \\5x - 3y = 13 \end{cases}\)
步骤 1：观察系数，y 的系数互为相反数（3 和 - 3），适合相加消元；
步骤 2：两方程相加，消去 y：
① + ②：(2x + 3y) + (5x - 3y) = 11 + 13→7x = 24？（修正：11+13=24→7x=24？不，11+13=24？实际 11+13=24，x=24/7？换更合适的例题：\(\begin{cases}2x + 3y = 13 \\5x - 3y = 11 \end{cases}\)）
修正后① + ②：(2x+5x)+(3y-3y)=13+11→7x=24？不，13+11=24→x=24/7？换简单系数：\(\begin{cases}2x + 3y = 8 \\x - 3y = 1 \end{cases}\)
① + ②：3x=9→x=3；
步骤 3：回代求 y，把 x=3 代入②：3 - 3y=1→-3y=-2→y=2/3；
步骤 4：检验：\(\begin{cases}2 3 + 3 (2/3)=8 \\3 - 3 (2/3)=1 \end{cases}\)，∴解为\(\begin{cases}x=3\\y=2/3\end{cases}\)。
第 4 页：探究二：加减消元法的一般步骤
步骤总结（加粗，结合标准例题梳理）：
例题：解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 19 \\2x - 2y = 11 \end{cases}\)
第一步：“观”—— 观察未知数系数，找可配对的未知数（系数相等或互为相反数）；
本例中 y 的系数互为相反数（2 和 - 2），选择消去 y；
第二步：“加 / 减”—— 根据系数符号，两方程相加或相减，消去一个未知数；
① + ②：(3x+2x)+(2y-2y)=19+11→5x=30→x=6；
第三步：“解”—— 解得到的一元一次方程，求出一个未知数的值；
第四步：“回”—— 把求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求另一个未知数的值；
把 x=6 代入①：3×6 + 2y=19→18+2y=19→2y=1→y=0.5；
第五步：“验”—— 检验解是否满足两个原方程，写出最终解。
检验：\(\begin{cases}3 6+2 0.5=19 \\2 6-2 0.5=11 \end{cases}\)，∴解为\(\begin{cases}x=6\\y=0.5\end{cases}\)。
关键提醒：
相加 / 减时，方程两边的所有项都要参与（包括常数项），不能漏项；
减号时要注意变号（如① - ②，需将②的各项变号后再与①相加）。
第 5 页：探究三：系数不配对时的 “化配对” 技巧
问题情境：方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 7 \\3x + 2y = 8 \end{cases}\)，未知数系数均不相等或互为相反数，如何消元？
核心技巧（加粗）：
找两个系数的最小公倍数，给方程两边同乘适当的数，使目标未知数的系数相等或互为相反数（化同系数）。
实例演示（消去 x）：
步骤 1：化同系数，x 的系数 2 和 3 的最小公倍数是 6；
①×3：6x + 9y = 21 ③；
②×2：6x + 4y = 16 ④；
步骤 2：相减消元（③ - ④，消去 x）：
(6x-6x)+(9y-4y)=21-16→5y=5→y=1；
步骤 3：回代求 x，把 y=1 代入①：2x + 3×1=7→2x=4→x=2；
检验：\(\begin{cases}2 2+3 1=7 \\3 2+2 1=8 \end{cases}\)，∴解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)。
灵活选择：可选择系数最小公倍数较小的未知数消元（如本例 x 的最小公倍数 6，y 的最小公倍数 6，任选其一）。
第 6 页：例题讲解（基础题型：系数直接配对）
例 1：解方程组\(\begin{cases}x + 2y = 5 \\3x - 2y = 7 \end{cases}\)
解：
第一步：y 的系数互为相反数（2 和 - 2），相加消元；
① + ②：4x=12→x=3；
回代 x=3 入①：3 + 2y=5→2y=2→y=1；
检验：\(\begin{cases}3+2 1=5 \\3 3-2 1=7 \end{cases}\)；
∴解为\(\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}\)。
例 2：解方程组\(\begin{cases}4x + 3y = 9 \\4x - y = 1 \end{cases}\)
解：
第一步：x 的系数相等（4 和 4），相减消元（① - ②）；
① - ②：(4x-4x)+(3y - (-y))=9-1→4y=8→y=2；
回代 y=2 入②：4x - 2=1→4x=3→x=3/4；
检验：\(\begin{cases}4 (3/4)+3 2=9 \\4 (3/4)-2=1 \end{cases}\)；
∴解为\(\begin{cases}x=3/4\\y=2\end{cases}\)。
第 7 页：例题讲解（进阶题型：需化同系数）
例 3：解方程组\(\begin{cases}3x - 2y = 5 \\5x + 4y = 1 \end{cases}\)
解：
第一步：选择消去 y（系数 - 2 和 4，最小公倍数 4）；
①×2：6x - 4y = 10 ③；
② + ③：(5x+6x)+(4y-4y)=1+10→11x=11→x=1；
回代 x=1 入①：3×1 - 2y=5→-2y=2→y=-1；
检验：\(\begin{cases}3 1-2 (-1)=5 \\5 1+4 (-1)=1 \end{cases}\)；
∴解为\(\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}\)。
例 4：用加减消元法解方程组\(\begin{cases}2x + 5y = 12 \\3x - 5y = 13 \end{cases}\)
解：
① + ②：5x=25→x=5；
回代 x=5 入①：2×5 + 5y=12→10+5y=12→5y=2→y=2/5；
∴解为\(\begin{cases}x=5\\y=2/5\end{cases}\)。
第 8 页：易错点辨析与方法对比
常见易错点：
化同系数时，漏乘常数项（如①×2 只乘含未知数的项，漏乘常数项）；
相减消元时，未变号（如① - ②写成 4x+3y -4x -y=9-1，错误；正确为 4x+3y - (4x - y)=9-1）；
选择消元的未知数不当，导致计算复杂（如优先消去系数最小公倍数小的未知数）。
代入消元法与加减消元法对比：
方法
适用场景
核心优势
代入消元法
含系数为 1 或 - 1 的未知数的方程组
步骤直接，无需乘系数
加减消元法
未知数系数相等、互为相反数或易化同
消元快捷，避免分数变形（尤其系数大时）
选择技巧：根据方程组系数特征灵活选择，复杂方程组可两种方法结合使用。
第 9 页：课堂练习
基础题：
用加减消元法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases}2x + y = 7\\x - y = 2\end{cases}\) （2）\(\begin{cases}3x + 4y = 16\\5x - 6y = 33\end{cases}\)（提示：消去 y，最小公倍数 12）
提升题：
解方程组\(\begin{cases}\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 2\\\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 3\end{cases}\)（提示：先去分母化为整数系数方程组）；
已知方程组\(\begin{cases}ax + by = 7\\bx + ay = 8\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)，用加减消元法求 a、b 的值。
第 10 页：课堂小结
核心方法：
加减消元法五步：观（找系数特征）→化（需时化同系数）→加 / 减（消元）→解（一元方程）→回代检验；
核心思想：消元思想（二元→一元）、转化思想（化不同系数为同系数）。
关键技巧：
直接配对：系数相等用 “减”，互为相反数用 “加”；
化同系数：找最小公倍数，方程两边同乘适当的数；
灵活选择：根据系数特征选消元未知数，简化计算。
数学思想：
转化思想（化未知为已知、化不同为相同）；
优化思想（选择最优消元方案，减少计算量）。
易错点提醒：
化同系数时不漏乘常数项；
相减消元时注意各项变号；
检验需代入两个原方程。
第 11 页：布置作业
教材习题 5.2 第 3、5、6、8 题
实践题：
用加减消元法求解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 10\\2x - 3y = 1\end{cases}\)，并与代入消元法对比，说明哪种方法更简便。
思考题：
若二元一次方程组的解满足 “x + y = 5” 这类附加条件，如何结合加减消元法求解？（为后续综合应用铺垫）
上节课我们学习了用代入法解二元一次方程组，请同学们回顾一下，回答下面的问题：
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2、用代入法解方程组的步骤是什么？
问题导入
视频导入
一个长方形的周长是50cm，长比宽多5cm,设长为xcm,
宽为ycm，可列出的二元一次方程组是
x – y = 5 ①
2x+ 2y = 50 ②
上面方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
怎样解下面的二元一次方程组呢？
①
②
探究新知
知识点
加减法解二元一次方程组
把②变形得：
代入①，不就消去x了！
小明
探究新知
把②变形得
可以直接代入①呀！
小亮
探究新知
（3x＋5y）+（2x－5y）＝ 21 + (－11)
3x+5y = 21
2x－5y = -11
和
互为相反数……
按小丽的思路，你能消去
一个未知数吗？
小丽
分析：
，①
. ②
①左边 + ②左边 = ①右边 + ②右边
探究新知
探究新知
把x＝2代入①，得y＝3，
的解是
所以
x＝2
3x+5y+2x－5y＝10
5x+0y＝10
5x＝10
2x-3y=7，①
2x+y=3. ②
参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？
分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，即都是2．所以把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，得到一个一元一次方程．
探究新知
解：由 ②－①得：4y＝－4
y＝－1
把y =-1代入①，得
2x－3×（-1）＝7
解得：x＝2
所以原方程组的解是
探究新知
上面这些方程组的特点是什么？
解这类方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
主要步骤：
特点：
基本思路：
写解
求解
加减
二元
一元.
加减消元：
消去一个元；
分别求出两个未知数的值；
写出原方程组的解.
同一个未知数的系数相同或互为相反数.
探究新知
解下列二元一次方程组
解：由②-①得：
解得：
把
代入①，得：
注意:要检验哦!
解得：
方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
探究新知
素养考点 1
加减法解系数相等的二元一次方程组
例1


所以方程组的解为
①
②
3x+2y=23
5x+2y=33
解方程组
解：
由②－①得:
将x=5代入①得：
15+2y=23
y=4.
所以原方程组的解是
x=5
y=4
2x=10
x=5.
与前面的代入法相比，是不是更加简单了！
巩固练习
变式训练
3x +10 y=2.8 ①
15x -10 y=8 ②
解：把 ①+②得: 18x＝10.8 x＝0.6
把x＝0.6代入①，得：
3×0.6+10y＝2.8
解得:y＝0.1
例2 解方程组
所以这个方程组的解是
x=0.6
y=0.1
探究新知
素养考点 2
加减法解系数为相反数的二元一次方程组
互为相反数
相加
同一未知数的
系数 _
时，把两个方程
的两边分别 ！
①
②
解:由①+②得:
把x＝1代入①，得：
y=-1
x=1
7x=7
解二元一次方程组:
巩固练习
变式训练
所以原方程组的解是
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法,简称加减法.
当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.
探究新知
用加减法解方程组：
①
②
解: ①×3得:
6x + 9y ＝36 ③
③ - ④得：
y ＝2
把y ＝2代入①，得：
x ＝3
所以原方程组的解是
x ＝3
y ＝2
｛
探究新知
素养考点 3
加减法解找系数最小公倍数的二元一次方程组
②×2得:
6x + 8y ＝34 ④
例3
能否使两个方程中x(或y）的系数相等（或相反）呢？
同一未知数的系数 时，利用等
式的性质，使得未知数的系数 .
不相等也不互为相反数
相等或互为相反数
找系数的最小公倍数
探究新知
知识点1 直接用加减消元法解二元一次方程组
1.在方程组中, 的系数的特点是______，所以可以直接将
两个方程相____,消去未知数___，进而求出方程组的解；在方程组
中, 的系数的特点是____________，所以可以直接将两个
方程相____,消去未知数___，进而求出方程组的解，这两个解方程组的
方法是______
消元法。
相等
减
互为相反数
加
加减
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2.在解方程组时，若用 ，所得到的一元一次方
程是_________。
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3.［教材P随堂练习T 变式］用加减消元法解下列方程组：
（1）
解：，得 ,
解得,将 代入①，
得,解得 。
所以方程组的解为
（2）
解：，得，解得 ，
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
（3）
解：,得 。
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
（4）
解：，得，解得 。
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
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知识点2 变形后用加减消元法解二元一次方程组
4.［2025西安月考］利用加减消元法解方程组 下列
做法正确的是( )
C
A.要消去，可以将
B.要消去，可以将
C.要消去，可以将
D.要消去，可以将
返回
解二元一次方程组
基本思路“消元”
加减法解二元一次方程组的一般步骤
化系数
加减
解
检验
写出解
谢谢观看！

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