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北师大（2024）版数学8年级上册
第五章 二元一次方程组
5.2.1代入消元法
解一元一次方程的步骤是什么？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
第 1 页：封面
标题：5.2.1 代入消元法
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\2x + 3y = 13\end{cases}\)与转化过程示意图（标注 “y=5-x 代入第二个方程”），突出 “二元→一元” 的转化核心
第 2 页：复习回顾与情境导入
复习旧知：
二元一次方程组的定义：含相同未知数的两个二元一次方程的组合；
方程组的解：两个方程的公共解（对应两直线交点坐标）；
一元一次方程的解法：去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
情境设问：
上节课的购物问题：\(\begin{cases}x + y = 5\\2x + 3y = 13\end{cases}\)（x = 笔记本单价，y = 钢笔单价），除了观察法，如何用已有知识求解？
关键思考：能否把 “二元” 转化为 “一元”（即消去一个未知数），用一元一次方程求解？
课题引入：今天我们学习求解二元一次方程组的第一种方法 —— 代入消元法，解锁 “消元转化” 的解题思路！
第 3 页：探究一：代入消元法的核心思想
核心原理（加粗）：
利用等式的基本性质，将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程，进而求解。
核心思想：消元思想（减少未知数个数）、转化思想（二元→一元）。
实例演示（以购物问题方程组为例）：
步骤 1：选一个方程，用含 x 的式子表示 y（或含 y 的式子表示 x）；
由方程①x + y = 5，移项得 y = 5 - x（将 y 单独放在等号左边）；
步骤 2：代入另一个方程，消去 y；
把 y = 5 - x 代入方程②2x + 3y = 13，得 2x + 3 (5 - x) = 13（此时方程只含 x，为一元一次方程）；
步骤 3：解一元一次方程，求 x 的值；
展开：2x + 15 - 3x = 13→移项合并：-x = -2→系数化为 1：x=2；
步骤 4：回代求另一个未知数 y 的值；
把 x=2 代入 y = 5 - x，得 y=5-2=3；
步骤 5：验证并写出方程组的解。
验证：\(\begin{cases}2+3=5 \\2 2+3 3=13 \end{cases}\)，∴解为\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)。
第 4 页：探究二：代入消元法的一般步骤
步骤总结（加粗，结合实例梳理）：
第一步：“变”—— 变形方程，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；
（选择系数简单的方程变形，如系数为 1 或 - 1 的未知数，减少计算量）；
第二步：“代”—— 代入消元，把变形后的式子代入另一个方程，得一元一次方程；
第三步：“解”—— 解一元一次方程，求出一个未知数的值；
第四步：“回”—— 回代求解，把求出的未知数的值代入变形后的式子，求另一个未知数的值；
第五步：“验”—— 检验作答，验证解是否满足两个方程，写出最终解。
关键提醒：
变形时要注意移项变号（如 x + y = 5→y=5 - x，而非 y=5 + x）；
代入时要代入 “另一个方程”，不能代入原变形方程（否则会得到恒等式，无法求解）。
第 5 页：例题讲解（基础题型：一方程含未知数系数为 1）
例 1：解方程组\(\begin{cases}y = 2x - 1\\3x + y = 5\end{cases}\)
解：
第一步：观察方程①，y 已用含 x 的式子表示（无需变形）；
第二步：代入消元，把①代入②：3x + (2x - 1) = 5；
第三步：解一元一次方程：3x + 2x - 1 = 5→5x = 6→x = 6/5 = 1.2；
第四步：回代求 y，把 x=1.2 代入①：y=2×1.2 - 1=2.4 - 1=1.4；
第五步：检验：\(\begin{cases}1.4=2 1.2-1 \\3 1.2+1.4=5 \end{cases}\)；
∴方程组的解为\(\begin{cases}x=6/5\\y=7/5\end{cases}\)（或写成小数形式\(\begin{cases}x=1.2\\y=1.4\end{cases}\)）。
例 2：解方程组\(\begin{cases}x - y = 3\\3x + 2y = 19\end{cases}\)
解：
第一步：变形方程①，用含 y 的式子表示 x：x = y + 3（移项，-y 变 + y）；
第二步：代入方程②：3 (y + 3) + 2y = 19；
第三步：求解：3y + 9 + 2y = 19→5y = 10→y=2；
第四步：回代求 x：x=2 + 3=5；
检验：\(\begin{cases}5-2=3 \\3 5+2 2=19 \end{cases}\)；
∴方程组的解为\(\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}\)。
第 6 页：例题讲解（进阶题型：方程未知数系数不为 1）
例 3：解方程组\(\begin{cases}2x + y = 7\\3x - 4y = 5\end{cases}\)
解：
第一步：选择系数简单的方程变形（方程①中 y 的系数为 1），用含 x 的式子表示 y：y = 7 - 2x；
第二步：代入方程②：3x - 4 (7 - 2x) = 5；
第三步：求解（注意去括号变号）：
3x - 28 + 8x = 5→11x = 33→x=3；
第四步：回代求 y：y=7 - 2×3=1；
检验：\(\begin{cases}2 3+1=7 \\3 3-4 1=5 \end{cases}\)；
∴方程组的解为\(\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}\)。
例 4：已知方程组\(\begin{cases}ax + y = 5\\x + by = 6\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)，求 a、b 的值。
解：
代入消元的逆用：把解代入方程组，得到关于 a、b 的一元一次方程；
代入 x=2，y=1：
①2a + 1 = 5→2a=4→a=2；
②2 + b×1 = 6→b=4；
答：a=2，b=4。
第 7 页：易错点辨析与技巧总结
常见易错点：
变形方程时移项不变号（如 x - y = 3→x = y - 3，错误；正确为 x = y + 3）；
代入时漏加括号（如把 y=5 - x 代入 2x + 3y，写成 2x + 3×5 - x，错误；正确为 2x + 3 (5 - x)）；
去括号时漏乘或变号错误（如 - 4 (7 - 2x) 写成 - 28 - 8x，错误；正确为 - 28 + 8x）；
回代时代入原变形方程（如例 3 中把 x=3 代入①，而非②，虽正确，但建议代入未变形方程验证）。
解题技巧：
优先变形含未知数系数为 1 或 - 1 的方程（减少分数运算）；
若两个方程未知数系数均不为 1，可选择系数绝对值较小的未知数变形（如\(\begin{cases}3x + 2y = 10\\2x - 3y = 1\end{cases}\)，可变形第一个方程的 y：y=(10-3x)/2）；
检验时需代入两个原方程，确保解的正确性。
第 8 页：课堂练习
基础题：
用代入消元法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases}y = 3x\\x + 2y = 7\end{cases}\) （2）\(\begin{cases}x - y = 4\\2x + y = 5\end{cases}\)
提升题：
解方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 19\\x - y = 4\end{cases}\)（提示：先变形第二个方程）；
已知\(\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}\)是方程组\(\begin{cases}2x - ay = 3\\bx + 3y = 1\end{cases}\)的解，求 a、b 的值。
第 9 页：课堂小结
核心方法：
代入消元法五步：变（变形表达式）→代（代入消元）→解（解一元方程）→回（回代求另一个未知数）→验（检验作答）；
核心思想：消元思想（二元→一元）、转化思想（未知→已知）。
关键要点：
变形是基础（正确用含一个未知数的式子表示另一个未知数）；
代入是核心（消去一个未知数，转化为一元方程）；
检验是保障（确保解满足两个原方程）。
数学思想：
转化思想（将新问题转化为已学的一元一次方程求解）；
消元思想（通过消元减少未知数个数，化繁为简）。
易错点提醒：
变形时移项要变号；
代入时要加括号，去括号要注意符号；
检验需代入两个原方程。
第 10 页：布置作业
教材习题 5.2 第 1、2、4 题
实践题：
用代入消元法求解上节课设计的实际问题对应的方程组\(\begin{cases}x + y = 8\\2x + y = 13\end{cases}\)，并验证解的合理性。
思考题：
若方程组中两个方程的未知数系数均不为 1，且变形后会出现分数，有没有更简便的消元方法？（为下节课 “加减消元法” 铺垫）
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
(1)如果设胜的场数是x
，则负的场数是10-x,
可得一元一次方程
；
(2)如果设胜的场数是x
,负的场数是y,
可得二元一次方程组
那么怎样解这个二元一次方程组呢？
怎么求x、y的值呢？
昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.
每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢
还记得下面这一问题吗
设他们中有x个成人，y个儿童.
回顾思考
5x+3(8-x)=34
x+y=8，
5x+3y=34
解：设去了x个成人，则去了(8-x)个儿童，根据题意，得：
解得：x=5.
将x=5代入
8-x=8-5=3.
答：去了5个成人，3个儿童.
用一元一次方程求解
解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得：
用二元一次方程组求解
观察:二元一次方程组和一元一次方程有何联系？这对你解二元一次方程组有何启示？
y=8-x
用二元一次方程组求解
由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：
5x+3(8－x)=34.
解得：x = 5.
把x = 5代入③得：y = 3.
x+y=8①
5x+3y=34②
探究新知
所以原方程组的解为：
x+y=8
5x+3y=34
5x+3(8-x)=34
第一个方程x+y=8
说明y=8-x
将第二个方程5x+3y=34的y换成8-x
解得x=5
代入y=8-x
得y=3
y= 3
x=5
思考 从
到
达到了什么目的 怎样达到的
x+y=8
5x+3y=34
5x+3(8-x)=34
探究新知
把二元一次方程转化为一元一次方程.通过减少未知数个数.
一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g？
探究新知
问题探究
+
＝200
x
y
＝
+ 10
x
y
+10
+
＝200
x
x
探究新知
x + y = 200
y = x + 10
(x+10)
x +( x +10) = 200
①
②
x = 95
y = 105
故方程组 的解是
y = x + 10
x + y = 200
x = 95，
y =105.
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想.
转化
探究新知
求方程组解的过程叫做解方程组.
解二元一次方程组的基本思路“消元”
二元一次方程组
一元一次方程
消元
转化
用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.
探究新知
将y=1代入② ，得x=4.
经检验， x=4，y=1适合原方程组
所以原方程组的解是
x=4，
y=1.
解：将②代入①，得 3(y+3)+2y=14，
3y +9+2y =14，
5y=5，
y=1.
解方程组
3x+2y=14 ①
x=y+3 ②
探究新知
检验可以口算或在草稿纸上验算，以后可以不必写出.
素养考点 1
代入消元法解能直接代入的二元一次方程组
例1
用代入法解下列方程组：
解：把①代入②，得
3x+2（ ）=_
解这个方程，得x＝ .
把x＝ 代入①，得y= __，
所以原方程组的解是 .
2x-3
8
2
2
2
1
1
巩固练习
①
②
变式训练
解方程组：
代入求解
再代求解
写解
（检 验）
变形
还能直接代入吗？
探究新知
素养考点 2
代入消元法解需要变形的二元一次方程组
例2
2x+3y=16 ①
x+4y=13 ②
解：由② ，得 x=13 - 4y ③
将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16
26 –8y +3y =16,
-5y= -10,
y=2.
将y=2代入③ ，得x=5.
所以原方程组的解是
x=5
y=2
2
-1
巩固练习
2x-5
2
2x-5
-1
解：由①，得y= … ③
把③代入②，得3x+4（ ）=
解这个方程，得x＝
把x＝ 代入③，得y=
所以原方程组的解是
2
2
用代入法解下列方程组：
变式训练
①
②
例3 解方程组：
③
①
由 得：
解得：x=20000
把x=20000代入 得：y=50000
③
解：
①
②

í
ì
=
+
=
22500000
250
500
2
5
y
x
y
x
探究新知
把 代入 得：
③
②
所以
探究新知
方法点拨
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
巩固练习
解方程组：
把 代入 得：2（y-2-1)=y+1
②
①
解得：x=5
把x=5代入①得：y=7
解：
变式训练
①
②
所以原方程组的解是：
知识点1 直接用代入消元法解二元一次方程组
1.用代入法解方程组 时，下列说法正确的是( )
A
A.直接把①代入②，消去 B.直接把①代入②，消去
C.直接把②代入①，消去 D.直接把②代入①，消去
返回
2.对于二元一次方程组将①代入②，消去 可以得到
( )
B
A. B.
C. D.
返回
3.［教材P随堂练习T 变式］ 用代入消元法解二元一次方程组：
（1）
解：将①代入②，得，解得 。
将代入①，得 。
所以原方程组的解为
（2）
解：将②代入①，得，解得 。
将代入②，得 。
所以原方程组的解为
（3）
解：将①代入②，得 。
解得。将 代入①，
得 。
所以原方程组的解为
（4）
解：将①代入②，得，解得 。
将代入①，得 。
所以原方程组的解为
返回
解二元一次方程组
基本思路“消元”
代入法解二元一次方程组的一般步骤
变形
代入
解
回代
写出解
检验
谢谢观看！

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