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(共30张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第五章 二元一次方程组
5.3.1 二元一次方程组的应用--古算问题
视频导入
第 1 页：封面
标题：5.3.1 二元一次方程组的应用 —— 古算问题
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：古代算书竹简示意图 + 经典古算问题 “鸡兔同笼” 图文，突出 “古算今解” 的核心
第 2 页：情境导入 —— 古算文化与问题激趣
古算文化渗透：
中国古代数学成就辉煌，《九章算术》《孙子算经》等典籍中记载了大量实际问题，古人通过算术方法求解，而我们可借助二元一次方程组更便捷地破解。
经典问题引入（鸡兔同笼）：
今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（出自《孙子算经》）
思考设问：
若设鸡有 x 只，兔有 y 只，如何用方程组表示 “三十五头” 和 “九十四足” 的数量关系？
古算问题的核心是找到两个等量关系，如何快速从文言描述中提炼？
课题引入：今天我们用二元一次方程组解锁古算问题，感受 “古题今解” 的智慧！
第 3 页：探究一：古算问题的建模步骤
核心思路（加粗）：
古算问题→翻译文言→找等量关系→设未知数→列方程组→求解→检验作答
步骤详解（以鸡兔同笼为例）：
第一步：翻译文言，明确题意：
鸡和兔共 35 只，脚的总数为 94 只，求鸡和兔的数量；
第二步：找等量关系（关键）：
① 鸡的数量 + 兔的数量 = 总头数（35）；
② 鸡的脚数（2x） + 兔的脚数（4y） = 总脚数（94）；
第三步：设未知数：
设鸡有 x 只，兔有 y 只；
第四步：列方程组：\(\begin{cases}x + y = 35\\2x + 4y = 94\end{cases}\)
第五步：求解（加减消元法）：
①×2：2x + 2y = 70 ③；
② - ③：2y = 24→y=12；
回代 x=35-12=23；
第六步：检验作答：
鸡 23 只（46 足），兔 12 只（48 足），共 35 头、94 足，符合题意→鸡 23 只，兔 12 只。
第 4 页：例题讲解（鸡兔同笼变式 —— 牛羊价值问题）
例 1：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？（出自《九章算术》，意为：5 头牛、2 只羊价值 10 两金；2 头牛、5 只羊价值 8 两金，求每头牛、每只羊的价值）
解：
第一步：提炼等量关系：
① 5 头牛价值 + 2 只羊价值 = 10 两；
② 2 头牛价值 + 5 只羊价值 = 8 两；
第二步：设未知数：
设每头牛直金 x 两，每只羊直金 y 两；
第三步：列方程组：\(\begin{cases}5x + 2y = 10 \\2x + 5y = 8 \end{cases}\)
第四步：求解（加减消元法，化同系数）：
①×2：10x + 4y = 20 ③；
②×5：10x + 25y = 40 ④；
④ - ③：21y = 20→y=20/21；
回代①：5x + 2×(20/21)=10→5x=10 - 40/21=170/21→x=34/21；
第五步：检验作答：
5×(34/21) + 2×(20/21)=170/21 + 40/21=210/21=10（成立）；
2×(34/21) + 5×(20/21)=68/21 + 100/21=168/21=8（成立）；
答：每头牛直金 34/21 两（约 1.62 两），每只羊直金 20/21 两（约 0.95 两）。
第 5 页：例题讲解（古算行程问题 —— 相遇问题）
例 2：今有甲乙二人，相距三百步，甲速七十步 / 分，乙速五十步 / 分，二人同时相向而行，问几何分钟后相遇？（改编自《九章算术》）
解：
第一步：提炼等量关系：
① 甲走的步数 + 乙走的步数 = 总距离（300 步）；
② 行走时间相同（设为 t 分钟）；
第二步：设未知数：
设 t 分钟后相遇，甲走 x 步，乙走 y 步；
第三步：列方程组：\(\begin{cases}x + y = 300\\x = 70t\\y = 50t\end{cases}\)（三元转化为二元，代入得\(\begin{cases}70t + 50t = 300\\x + y = 300\end{cases}\)）
第四步：简化求解：
70t + 50t = 300→120t=300→t=2.5；
则 x=70×2.5=175，y=50×2.5=125；
第五步：检验作答：
175+125=300（成立），答：2.5 分钟后相遇。
第 6 页：例题讲解（古算分配问题 —— 盈不足问题）
例 3：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？（出自《九章算术》，意为：众人合买一物，每人出 8 钱，多 3 钱；每人出 7 钱，少 4 钱，求人数和物价）
解：
第一步：提炼等量关系：
① 人数 ×8 - 物价 = 3（盈 3）；
② 物价 - 人数 ×7 = 4（不足 4）；
第二步：设未知数：
设人数为 x 人，物价为 y 钱；
第三步：列方程组：\(\begin{cases}8x - y = 3 \\y - 7x = 4 \end{cases}\)
第四步：求解（加减消元法）：
① + ②：x = 7；
回代①：8×7 - y=3→y=56-3=53；
第五步：检验作答：
7 人出 8 钱：56 钱，盈 3（56-53=3）；7 人出 7 钱：49 钱，不足 4（53-49=4），符合题意；
答：人数 7 人，物价 53 钱。
第 7 页：古算问题解题技巧与易错点
核心技巧：
文言翻译：抓住关键词（“共”“盈”“不足”“直”“几何” 等），转化为现代汉语；
等量关系：从 “数量和”“总量差”“倍数关系” 入手，古算问题常隐含两个明显等量；
未知数设定：优先设问题所求的量（直接设元），复杂问题可间接设元；
解法选择：系数简单用代入消元，系数复杂用加减消元。
常见易错点：
文言翻译错误（如 “盈” 理解为 “不足”，“直金” 理解为 “重量”）；
等量关系颠倒（如盈不足问题中，把 “8x - y=3” 写成 “y - 8x=3”）；
单位不统一（古算中 “步”“钱”“两” 等单位需保持一致，无需换算现代单位）；
检验遗漏（古算问题需验证解是否符合原始文言描述的所有条件）。
第 8 页：课堂练习
基础题（鸡兔同笼变式）：
今有鸡兔同笼，上有二十头，下有五十六足，问鸡兔各几只？（列方程组求解）
提升题（古算工程问题）：
今有筑城，甲队独筑需 10 日，乙队独筑需 15 日，两队合筑几日可成？（提示：设总工程量为 1，甲每日工作量 x，乙每日工作量 y）
拓展题（《九章算术》原题）：
今有女子善织，日自倍（每日织布量是前一日的 2 倍），五日织五尺。问每日各织几何？（设第一日织 x 尺，第二日织 y 尺，列方程组求解前两日织布量）
第 9 页：课堂小结
核心内容：
古算今解：用二元一次方程组破解经典古算问题，步骤为 “翻译→设元→列方程→求解→检验”；
数学思想：建模思想（古算情境→数学方程组）、转化思想（文言→现代文，二元→一元）；
文化渗透：感受中国古代数学的实用性与智慧，体会数学的古今传承。
关键收获：
掌握古算问题的核心是提炼等量关系；
灵活运用代入、加减消元法求解方程组；
提升文言翻译与逻辑推理能力。
第 10 页：布置作业
教材习题 5.3 第 1、3、5 题（改编为古算风格问题）；
实践题：
查阅《孙子算经》或《九章算术》，找到一道感兴趣的古算问题，用二元一次方程组求解，并写下解题思路；
思考题：
古算中的 “盈不足术” 与我们今天的方程组解法有何联系？（为后续综合应用铺垫）
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
今有鸡兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问鸡兔各几何
你有哪些方法来解决它呢？
导入新知
“鸡兔同笼”题为:
“今有雉(鸡)兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问雉兔各几何 ”
（1） “上有三十五头”的意思是什么
“下有九十四足”的意思是什么
（2）题中有哪些等量关系
（3）你能解决这个有趣的问题吗
探究讨论
35
94
足
头
总数
鸡头+兔头=35,
鸡脚+兔脚=94.
{
x+y=35，
2x+4y=94.
{
等量关系：
得到方程组：
你能根据（1）得出怎样的等量关系？你能用方程组解决这个问题吗？
x
y
4y
2x
设鸡为x只,兔为y只.则
解法一: (加减消元法)
①×2 得： 2x+2y=70 ③
②-③得：2y=24，
y=12.
把 y=12 代入①，得：x=23
所以有鸡23只，兔12只.
x+y=35 ①
2x+4y=94 ②
原方程组的解是
x=23
y=12
探究新知
解：
解法二: （代入消元法）
由①得，x =35- y ③
把③代入②，得2（35- y）+4y=94,
y=12.
把y=12代入①，得x=23
所以鸡有23只，兔子有12只．
所以原方程组的解为
x=23
y=12
探究新知
解：
设鸡为x只,兔为y 只.则
x+y=35 ①
2x+4y=94 ②
河源市正德中学
归纳：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题目中的等量关系；
设：用字母表示题目中的两个未知数；
列：根据找出的等量关系列出方程组；
解：解方程组，求得未知数的值；
验：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意义，不符合要舍去；
答：写出答案，包括单位名称.
探究新知
以绳测井.
若将绳三折测之，绳多五尺；
若将绳四折测之，绳多一尺.
绳长、井深各几何？
例1
题意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
探究新知
列二元一次方程组解答较简单问题
素养考点 1
解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
解得x = 48
将x = 48代入① 得 y = 11
答：绳长48尺，井深11尺.
探究新知
解法一
等量关系：
绳长的 — 井深 = 5
绳长的 — 井深 = 1
①
②
由①-②得
等量关系：
（井深+5）× 3 = 绳长
（井深+1）× 4 = 绳长
解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
3 (y+5) = x
4 (y+1) = x
答：绳长48尺，井深11尺.
解法二
探究新知
解得：
x = 48
y = 11
等量关系：
绳长 — 井深的3倍= 3 ×5
绳长 — 井深的4倍= 4 ×1
解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
x - 3y = 3 ×5
x - 4y = 4 ×1
答：绳长48尺，井深11尺.
探究新知
解法三
解得：
x = 48
y = 11
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20 kg，每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？
巩固练习
变式训练
分析1： 题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量:每头大牛1天需用的饲料;每头小牛1天需用的饲料.
分析2：题中有哪些等量关系？
(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;
(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.
设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg.
巩固练习
解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，
根据等量关系，列方程组：
答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入.
+ = 675,
+ = 940.
30x
15y
42x
20y
巩固练习
x= ,
y= .
20
5
解方程组：
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
请提取数学信息
探究新知
列二元一次方程组解答几何问题
转换成数学语言：
已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.
A
D
C
B
素养考点 2
例2
这里研究的实际上是什么问题？
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
方法1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
方法2
横着画，把宽分成两段，则长不变
长方形的面积分割
我们可以画出示意图来帮助分析
动手试着画一画
探究新知
目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4
问题分析
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
等量关系式有几个？
探究新知
方法1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
设AE＝xm，BE＝ym.
先求出两种作物的面积
SAEFD=100x
SEFCB=100y
再写出两种作物的总产量
甲：100x×1
乙：100y×2
则列方程为
100x:200y=3:4
总产量=
？
1 : 2
x
y
200m
100
如何设未知数呢？
则列方程为
x+y=200
单位面积产量×面积
探究新知
方法1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
根据题意列方程组为
100x:200y=3:4
x
y
200m
100m
x+y=200
解得
x=120
y=80
你觉得该如何答题比较完整呢？
甲种作物
乙种
作物
解：
过点E作EF⊥AB，交CD于点F.
设AE＝xm，BE＝ym.
答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
探究新知
方法1
解法一
横着画，把宽分成两段，则长不变
A
D
C
B
E
x
y
F
x+y=100
乙种作物
甲种作物
解：过点E作EF⊥BC，交BC于点F. 设DE＝xm，AE＝ym.
200x:400y=3:4
200y
200x
x=60
y=40
解得
根据题意列方程组为
200m
100m
答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
探究新知
方法2
解法二
8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少 （单位cm）
60
x+y=60
x=3y
解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y,
由题意,得
解此方程组得：
x =45,
y=15.
答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.
巩固练习
变式训练
知识点1 鸡兔同笼问题
1.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同
笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何。”若设有鸡 只，兔
只，则可得方程组为( )
B
A. B.
C. D.
返回
2.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马
恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦。问有
多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有 匹，那么可列方程
组为_ _______________。
返回
3. 某学校科技节展示了使用无人配送车和无人机配送货
物。已知一台无人机一次可运送4千克货物，一台无人配送车一次可运
送80千克货物。活动提供了无人机和无人配送车共20台，一次共运送货
物460千克，那么运送货物使用的无人机和无人配送车各有几台？
解：设运送货物使用的无人机和无人配送车各有台和 台，由题意，得
解得
答：运送货物使用的无人机和无人配送车分别有15台和5台。
返回
知识点2 盈余问题
4.［教材 例1变式］［2025西安交大附中月考］ 《九章算术·盈不足》
载，其文曰：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、
物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了
3钱；如果每人出7钱，就少了4钱。问一共有多少人？这个物品的价格
是多少？设共有人，物品的价格为 钱，则可列方程组为( )
B
A. B.
C. D.
返回
5.［2025西安月考］甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，
那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两
人所有的书相等。设甲原来有本书，乙原来有 本书，则可列方程组为
_ ________________________。
返回
二元一次方程组的应用
应用
步骤
简单实际问题
审题：弄清题意和题目中的
设元：用_____ 表示题目中的未知数
列方程组:根据__个等量关系列出方程组
解方程组
检验作答
数量关系
字母
2
代入法；
加减法.
几何问题
谢谢观看！

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