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北师大（2024）版数学8年级上册
第五章 二元一次方程组
5.1 认识二元一次方程组
只含有一个未知数，未知数的次数是1，且等号两边都为整式的等式
含有未知数的等式
第 1 页：封面
标题：5.1 认识二元一次方程组
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：包含实际情境示意图（如两种物品购买场景）和方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\2x + 3y = 13\end{cases}\)，突出 “问题 — 方程” 的关联
第 2 页：情境导入 —— 从实际问题到二元方程
问题情境（配图示）：
某商店售卖笔记本和钢笔，已知：①买 1 本笔记本和 1 支钢笔共需 5 元；②买 2 本笔记本和 3 支钢笔共需 13 元。求笔记本和钢笔的单价各是多少元？
思考分析：
若设笔记本单价为 x 元，钢笔单价为 y 元，能否用方程表示上述两个条件？
条件①：x + y = 5（总价关系）；条件②：2x + 3y = 13（总价关系）。
对比旧知：
这两个方程与一元一次方程（如 2x + 3 = 7）有什么不同？（含两个未知数）
课题引入：像这样含有两个未知数的方程及它们的组合，就是我们今天要学习的 —— 二元一次方程组！
第 3 页：探究一：二元一次方程的定义
观察特征（结合情境中的方程 x + y = 5、2x + 3y = 13）：
未知数个数：2 个（x 和 y）；
未知数次数：每个未知数的次数都是 1；
方程形式：整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）。
二元一次方程的定义（加粗）：
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫做二元一次方程（binary linear equation）。
关键词解读：
“项的次数”：单个未知数的次数为 1，不含未知数乘积（如 xy=2 不是二元一次方程）；
“整式方程”：排除分式方程（如\(\frac{1}{x} + y = 3\)）和根式方程（如\(\sqrt{x} + y = 2\)）。
定义辨析：
是二元一次方程的有：①x - y = 2 ②3m + n = 5 ③\(\frac{1}{2}a + b = 0\)（√）
不是二元一次方程的有：①x + y = 3（未知数次数为 2） ②xy = 4（未知数乘积） ③\(\frac{x}{y} = 1\)（分式方程）（×），说明理由。
第 4 页：探究二：二元一次方程的解
解的定义（加粗）：
使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一个解，记作\(\begin{cases}x = a\\y = b\end{cases}\)（a、b 为常数）。
实例验证（以 x + y = 5 为例）：
当 x=2，y=3 时，左边 = 2+3=5 = 右边→\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)是方程的一个解；
当 x=0，y=5 时，左边 = 0+5=5 = 右边→\(\begin{cases}x=0\\y=5\end{cases}\)是方程的一个解；
当 x=1，y=3 时，左边 = 1+3=4≠5→不是方程的解。
解的特征（加粗）：
二元一次方程有无数个解（给定一个 x 的值，可求出唯一对应的 y 值）；
解的表示：必须成对出现（不能单独说 x=2 是解，需搭配 y=3）。
即时练习：
写出二元一次方程 2x + y = 7 的 3 个解：______（如\(\begin{cases}x=0\\y=7\end{cases}\)、\(\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}\)、\(\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}\)）。
第 5 页：探究三：二元一次方程组的定义
情境延伸：
单独一个方程 x + y = 5 无法确定笔记本和钢笔的单价（解不唯一），需要结合另一个方程 2x + 3y = 13，两个方程共同约束未知数。
方程组的定义（加粗）：
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组（system of binary linear equations）。
组成条件：
未知数相同（如\(\begin{cases}x + y = 5\\2x + 3y = 13\end{cases}\)，均含 x、y）；
每个方程都是二元一次方程（或其中一个是一元一次方程，如\(\begin{cases}x + y = 5\\x = 2\end{cases}\)，仍为二元一次方程组）。
实例展示：
典型方程组：\(\begin{cases}3x - 2y = 4\\x + y = 1\end{cases}\)、\(\begin{cases}y = 2x - 1\\3x + y = 5\end{cases}\)；
非二元一次方程组：\(\begin{cases}x + y = 3\\x - y = 1\end{cases}\)（第二个方程不是二元一次方程）。
第 6 页：探究四：二元一次方程组的解
解的定义（加粗）：
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
实例验证（以情境方程组为例）：
方程组：\(\begin{cases}x + y = 5\\2x + 3y = 13\end{cases}\)
验证\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)：
代入第一个方程：2+3=5（成立）；
代入第二个方程：2×2 + 3×3=4+9=13（成立）；
∴\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)是该方程组的解（对应笔记本 2 元，钢笔 3 元，符合实际）。
解的特征（加粗）：
二元一次方程组通常有唯一解（两个直线的交点坐标）；
特殊情况：无解（两直线平行，无交点）或无数个解（两直线重合）（后续学习）。
核心关联（呼应上一章）：
二元一次方程组的解，本质是对应的两个一次函数图象的交点坐标（如\(\begin{cases}x + y = 5\\2x + 3y = 13\end{cases}\)的解 (2,3)，就是直线 y=-x+5 和 y=-\(\frac{2}{3}\)x+\(\frac{13}{3}\)的交点）。
第 7 页：例题讲解
例 1：下列方程中，哪些是二元一次方程？
（1）3x + 2y = 7；（2）x - y = 1；（3）\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\)；（4）xy = 4；（5）x + 2 = 5
解：
（1）是（两个未知数，次数 1，整式方程）；
（2）不是（x 的次数为 2）；
（3）是（整理后为 2x + 3y = 6，符合定义）；
（4）不是（未知数乘积，次数 2）；
（5）不是（只含一个未知数，一元一次方程）。
例 2：已知\(\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}\)是二元一次方程 2x + my = 4 的一个解，求 m 的值。
解：
把 x=1，y=-2 代入方程 2x + my = 4，得 2×1 + m×(-2) = 4；
化简：2 - 2m = 4→-2m=2→m=-1。
例 3：写出满足方程组\(\begin{cases}x + y = 4\\x - y = 2\end{cases}\)的解，并验证。
解：
由 x + y = 4 得 y=4 - x，代入 x - y = 2：x - (4 - x)=2→2x=6→x=3；
则 y=4 - 3=1，∴方程组的解为\(\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}\)；
验证：3+1=4（第一个方程成立），3-1=2（第二个方程成立）。
第 8 页：课堂练习
基础题：
下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A.\(\begin{cases}x + y = 3\\z + x = 5\end{cases}\) B.\(\begin{cases}x + y = 5\\xy = 6\end{cases}\) C.\(\begin{cases}x + y = 4\\\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1\end{cases}\) D.\(\begin{cases}x + y = 2\\x - 1 = \frac{1}{y}\end{cases}\)
二元一次方程 3x - y = 5 的一个解是\(\begin{cases}x=2\\y=______\end{cases}\)。
提升题：
已知方程组\(\begin{cases}2x + y = 5\\x + 2y = 7\end{cases}\)，判断\(\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}\)和\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)是否为该方程组的解。
某班为奖励优秀学生，购买了单价为 3 元的笔记本和单价为 5 元的钢笔共 10 件，总价为 38 元，设笔记本买了 x 本，钢笔买了 y 支，列出二元一次方程组。
第 9 页：课堂小结
核心概念：
二元一次方程：两个未知数、次数 1、整式方程；
二元一次方程的解：成对出现，无数个；
二元一次方程组：含相同未知数的两个二元一次方程（或其一为一元一次方程）；
二元一次方程组的解：各个方程的公共解，通常唯一。
关键关联：
方程组的解 两个一次函数图象的交点坐标（数形结合）；
实际问题 设未知数 列二元一次方程组（建模思想）。
数学思想：
建模思想（将实际问题转化为数学方程组）；
数形结合（方程与函数图象的联系）；
转化思想（后续将学习把二元一次方程组转化为一元一次方程求解）。
易错点提醒：
混淆 “项的次数” 与 “未知数的次数”（如 xy=2 不是二元一次方程）；
二元一次方程的解漏写一个未知数的值（需成对表示）；
列方程组时忽略 “相同未知数” 的条件。
第 10 页：布置作业
教材习题 5.1 第 1、2、3、5 题
实践题：
请你设计一个实际问题（如购物、分配等场景），使其能列出二元一次方程组\(\begin{cases}x + y = 8\\2x + y = 13\end{cases}\)，并写出该方程组的解。
思考题：
如何求解二元一次方程组？除了观察法，还有哪些更通用的方法？（为下节课 “代入消元法” 铺垫）
1．什么是方程？
2．什么是一元一次方程？
情境导入
小红到邮局寄信，需要邮资3元8角.小红有6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种邮票？
这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？如果设需要6角的邮票x张，8角的邮票y张，你能列出方程吗？
　累死我了！
你还累 这么大的个，才比我多驮了2个.
思考
哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！
真的 ！
思考：听完它们的对话，你能猜出它们各驮了多少包裹吗
探究新知
问题1 设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹.你能根据它们的对话列出方程吗？
老牛的包裹数比小马的多2个;
老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍.
x－y＝2
x＋1＝2(y－1)
探究新知
昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.
每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，
设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程
问题2 他们到底去了几个成人，几个儿童呢
x＋y＝8
5x＋3y＝34
探究新知
1.这四个方程是一元一次方程吗？为什么？
2.这四个方程有什么共同特点？
① 含有两个未知数；
② 含有未知数的项的次数都是1.
二元一次方程
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
3.二元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处？
不同:
相同:
含未知数个数不同
都是一次方程
探究新知
观察思考
x－y＝2
x＋1＝2(y－1)
x＋y＝8
5x＋3y＝34
只含有1个未知数（元），未知数的次数为1；
x + y = 45.
x + 15 = 60
含有2个未知数（元），未知数的次数为1.
一元一次方程
都是含未知数的等式方程
二元一次方程
探究新知
观察比较
(3)
(1) 3y-2x =z+5
(4)
(5)
(2)
(6) 3 - 2xy =1
是
不是
不是
不是
不是
不是
例1 判断下列方程是否为二元一次方程：
(7) 4x+ π =0
(8) 2x=1-3y
不是
是
探究新知
素养考点 1
二元一次方程的判断
探究新知
方法点拨
判断一个方程是否为二元一次方程的方法：
一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；
二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.
(8)4xy+5=0
(1)x+y=11
(3)x2+y=5
(2)m+1=2
(4)3x－π=11
(5) －5x=4y+2
(6)7+a=2b+11c
二元一次方程
不是二元一次方程
判断下列方程是不是二元一次方程？
巩固练习
(7)
变式训练
例2 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，
则m＋n＝________．
解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.
0
探究新知
素养考点 2
根据二元一次方程的定义求字母的值
方法小结：由方程是二元一次方程可知：
(1)未知数的系数不为0；
(2)未知数的次数都是1.
1.若x2m-1+5y3n-2m =7是二元一次方程，则m=____，n=___.
2m-1=1
1
3n-2m=1
1
巩固练习
2.如果 是二元一次方程，那么k的值是 ( )
A. 2　 B. 3　 C. 1　 D. 0
B
变式训练
x + y = 16
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部16场比赛中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少
解：设该队胜了x场，负了y场,根据题意可得方程：
2x + y = 28
等量关系:
胜的场数+负的场数=总场数
胜场积分+负场积分=总积分
探究新知
二元一次方程组的定义
知识点 2
在这两个方程中,x的含义相同吗 y呢
像这样,共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
下列哪些是二元一次方程组？
(1) x+y= 2 (2)
x-y=1 x = y
(3) x=0 (4) z=x+1
y=1 2x-y=5
(5) x-3y=8 (6) 3x=5y
xy=6 2x-y=0
(是)
(是)
(不是)
(不是)
(是)
(不是)
探究新知
通过上面问题，你认为二元一次方程组有哪些特征？
二元一次方程组的特点：
①方程组中共有2个不同未知数；
②方程组有2个一次方程；
③一般用大括号把2个方程连起来.
探究新知
x + y = 16
2x + y = 28
x + y = 2
x – y = 1
例 在方程组
程组的有 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1个　 　B. 2个　 C. 3个 　 D. 4个
D
中，是二元一次方
探究新知
素养考点 1
二元一次方程组的判断
提示：三个要素：
含有两个未知数
含有未知数的项的次数为1
整式方程
下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________
（3）
（5）
（6）
巩固练习
变式训练
x
y
探究　公园门票问题中的方程 x+y=8 ，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中.
思考1　如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 8 7 6 5 4 3 2 1 0
x,y还可取到小数,如x=0.5,y=7.5;
有无数组这样的值.
知识点 3
二元一次方程的解的定义
探究新知
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
探究新知
判断一对数值是不是二元一次方程的解,只需把这对数值分别代入方程的左右两边,若左边=右边,则这对数值是这个方程的解;若左边≠右边,则这对数值不是这个方程的解.
温馨提示:一般情况下,二元一次方程有无数组解,但若对其未知数取值附加某些条件,那么也可能只有有限个解.
巩固练习
1.判断给出的x、y的值是否是方程的解
(1) 2x-3y=6 ( ) (2) 5x+2y=8 ( )
×
√
2.在
中, 是方程x+y=22的解的有 (填序号) .
①
②
③
④
⑤
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课件制作：吴秀青
例2 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
探究新知
素养考点 2
根据实际问题列二元一次方程组
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课件制作：吴秀青
分析：第一道工序的人数＋ _______________ ＝总人数；
第一道工序的件数＝________________.
设安排第一道工序x人，第二道工序y人，用方程把这些条件表示出来：
___________.
x+y=7
900x=1200y
第二道工序的人数
第二道工序的件数
解：所以可列方程组为
探究新知
是该问题的解.
知识点1 二元一次方程（组）的概念
1.下列方程中属于二元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.下列方程组是二元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3.已知方程是关于，的二元一次方程，则 ___，
___。
2
1
返回
知识点2 二元一次方程（组）的解
4.［教材P随堂练习T 变式］ 下列4组数值中，不是二元一次方程
的解的是( )
D
A. B. C. D.
返回
5. 请写出一个解为 的二元一次方程组：
_ __________________________。
（答案不唯一）
返回
知识点3 根据实际问题列方程（组）
6.某校八年级共有学生160人，已知男生人数比女生人数的2倍少50人，
设男生、女生分别有， 人，根据题意可列方程组是( )
D
A. B.
C. D.
返回
7.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程（组）。
（1）甲数的 比乙数的2倍少7：__________________________________；
（2）摩托车的速度是货车的倍，它们的速度之和是 ：
_ _____________________________________________________________；
设甲数为,乙数为,则。
设摩托车的速度为,货车的速度为,则
（3）上衣的单价是裤子单价的1.4倍，5件裤子比3件上衣贵700元：
_ ________________________________________________________。
设上衣的单价为元，裤子的单价为元，则
返回
认识二元一次方程组
二元一次方程及二元一次方程组的定义
二元一次方程及二元一次方程组的解
根据实际问题列二元一次方程组
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