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(共30张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第四章 一次函数
4.4.3利用两个一次函数的图象解决问题
想一想一次函数具有什么性质 在一次函数 中:
当 时，y随x的增大而增大，
当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限；
当 时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限.
当 时，y随x的增大而减小，
当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、四象限；
当 时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限.
情境导入
如图， l 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：
(1)当销售量为2吨时，销售收入= _______元，销售成本= _____元；
(2)当销售量为6吨时，销售收入= _____元，销售成本= _____元；
(3)当销售量为_____时，销售收入等于销售成本；
(4)当销售量_____ 时，该公司赢利；当销售量____ 时，
该公司亏损.
(5)l 对应的函数表达式是_____；
l 对应的函数表达式是_____ .
第 1 页：封面
标题：4.4.3 利用两个一次函数的图象解决问题
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：平面直角坐标系中，两条相交的直线（标注为 l ：甲方案费用，l ：乙方案费用，交点标注 “(10,50)”，旁附情境：“两种收费方案的费用与使用时长的关系”）
第 2 页：复习回顾与情境导入
复习旧知：
单个一次函数图象的解读：坐标轴意义、特殊点（起点、交点）、k 的实际意义；
核心方法：由图象读信息，或先求表达式再计算。
情境设问：
如图是 A、B 两种健身卡的费用 y（元）与使用次数 x（次）的函数图象，从图象中你能看出哪种卡适合短期使用？哪种适合长期使用？
两条直线的交点代表什么意义？如何利用交点和图象高低解决 “选哪种更划算” 的问题？
课题引入：今天我们升级技能，学习 “利用两个一次函数的图象解决问题”，破解多方案对比、相遇追击等综合问题！
第 3 页：探究一：两个一次函数图象交点的核心意义
交点的数学本质（加粗）：
设两个一次函数分别为 y =k x+b （k ≠0）和 y =k x+b （k ≠0），它们的图象交点坐标 (x ,y )，是方程组\(\begin{cases}y=k x+b \\y=k x+b \end{cases}\)的解，即当 x=x 时，y =y =y 。
交点的实际意义（结合实例）：
实例 1（费用问题）：y =A 卡费用，y =B 卡费用，交点 (x ,y )→使用 x 次时，两种卡费用均为 y 元（费用相等的临界次数）；
实例 2（行程问题）：y = 甲车路程，y = 乙车路程，交点 (x ,y )→出发 x 小时后，两车行驶路程均为 y 千米（相遇时刻与地点）；
结论：交点是两个函数 “数值相等” 的临界状态，是后续比较决策的关键依据。
第 4 页：探究二：利用图象区间高低解决 “比较与决策” 问题
区间高低的实际意义（加粗）：
当 x < x （交点横坐标）时，若 y 图象在 y 下方→y < y （方案 1 更优）；
当 x > x 时，若 y 图象在 y 上方→y > y （方案 2 更优）；
当 x = x 时，y = y （两方案等价）。
实例演示（费用问题）：
图象：l （A 卡）过 (0,20) 和 (10,50)；l （B 卡）过 (0,0) 和 (10,50)（x：使用次数，y：费用 / 元）；
解读：
交点 (10,50)→使用 10 次时，两卡费用均为 50 元；
x < 10（短期使用）：l 在 l 下方→B 卡更便宜（如使用 5 次，A 卡 35 元，B 卡 25 元）；
x > 10（长期使用）：l 在 l 下方→A 卡更便宜（如使用 15 次，A 卡 65 元，B 卡 75 元）。
解题步骤：
第一步：找交点（确定临界值 x ）；
第二步：分区间（x x ）；
第三步：比高低（判断哪个函数值更小 / 更大，对应方案更优）。
第 5 页：探究三：分类应用 —— 行程问题（相遇、追击）
常见模型：两车同地不同时出发、同时不同地出发、相向而行、同向追击等。
核心思路：
设 x 为时间（小时），y 为路程（千米），建立两车的路程函数 y 、y ；
交点意义：相遇（路程相等时刻）；
图象高低：判断某一时刻哪辆车在前（路程更长）。
实例演示（同向追击问题）：
情境：甲车从 A 地出发，速度 40km/h；乙车晚 1 小时从 A 地出发，速度 60km/h，两车同向行驶。
函数表达式：
甲车：y =40x（x≥0）；
乙车：y =60 (x-1)（x≥1）；
图象分析：
交点求解：40x=60 (x-1)→x=3，y=120→乙车出发 2 小时后追上甲车（总时间 3 小时）；
x <3 时：y > y →甲车在前；
x > 3 时：y > y →乙车在前。
图示：坐标系中画出两条直线，标注起点、交点，注明各区间车辆位置关系。
第 6 页：探究四：分类应用 —— 费用问题（方案对比）
常见模型：两种套餐、两种购物方案、两种计费方式等。
核心思路：
设 x 为使用量（时长、数量等），y 为总费用（元），建立两方案的费用函数 y 、y ；
交点意义：费用相等的临界使用量；
图象高低：判断不同使用量下的最优方案。
实例演示（通信套餐问题）：
情境：套餐 A：月租 30 元，通话费 0.1 元 / 分钟；套餐 B：无月租，通话费 0.2 元 / 分钟。
函数表达式：
套餐 A：y =0.1x+30（x≥0）；
套餐 B：y =0.2x（x≥0）；
图象分析：
交点求解：0.1x+30=0.2x→x=300，y=60→月通话 300 分钟时，两套餐费用均为 60 元；
x < 300 分钟：y < y →套餐 B 更优；
x > 300 分钟：y < y →套餐 A 更优。
图示：标注两直线与 y 轴交点（套餐 A 起点 (0,30)，套餐 B 起点 (0,0)）、交点 (300,60)，区分区间优劣。
第 7 页：例题讲解
例 1：如图是甲、乙两车从相距 100 千米的 A、B 两地相向而行的路程 y（千米）与时间 x（小时）的函数图象，回答下列问题：
（1）甲、乙两车的速度分别是多少？
（2）出发后几小时两车相遇？相遇时距离 A 地多少千米？
（3）出发 1.5 小时后，两车相距多少千米？
解：
（1）甲车：过 (0,0) 和 (2.5,100)→速度 k =100/2.5=40km/h；
乙车：过 (0,100) 和 (2.5,0)→速度 k =(0-100)/(2.5-0)=-40km/h（负号表示方向相反），实际速度 40km/h；
（2）交点横坐标即为相遇时间，由图象得 x=1.25 小时，相遇时距离 A 地 y=50 千米（或联立方程 40x + 40x=100→x=1.25）；
（3）x=1.5 时，甲车路程 y =60km，乙车路程 y =100-60=40km，相距 60+40-100=0？（修正：相向而行，1.5 小时后已相遇，相距 | 60 - (100-60)|=20 千米）。
例 2：某公司准备购买一批办公设备，有两种租赁方案：
方案一：先付押金 500 元，每月租金 200 元；
方案二：无押金，每月租金 300 元。
（1）分别写出两种方案的费用 y（元）与租赁月数 x 的函数表达式；
（2）画出函数图象，找出费用相等的租赁月数；
（3）若租赁 10 个月，选择哪种方案更省钱？
解：
（1）方案一：y =200x+500；方案二：y =300x；
（2）图象：方案一过 (0,500) 和 (5,1500)，方案二过 (0,0) 和 (5,1500)，交点 (5,1500)→租赁 5 个月时费用相等；
（3）x=10 时，y =2500 元，y =3000 元→选方案一。
第 8 页：课堂练习
基础题：
如图是两种化肥的销售单价 y（元）与购买数量 x（千克）的函数图象（l ：甲化肥，l ：乙化肥），l 过 (0,0) 和 (5,15)，l 过 (0,8) 和 (5,15)，则：
甲化肥单价______元 / 千克，乙化肥单价______元 / 千克；
购买______千克时，两种化肥价格相等；
购买 8 千克时，选______化肥更省钱。
提升题：
甲、乙两人从同一地点出发，甲骑自行车以 12km/h 的速度匀速前进，半小时后，乙骑摩托车以 30km/h 的速度追赶甲，设 x 为甲出发后的时间（小时），y 为行驶路程（千米）。
分别写出甲、乙的路程函数表达式；
画出函数图象，求乙追上甲时甲行驶的时间和路程；
出发 1 小时后，谁在前面？相距多少千米？
第 9 页：课堂小结
核心知识点：
交点意义：数学上是方程组的解，实际中是两方案 / 两车 “相等” 的临界状态；
区间决策：根据交点分区间，通过图象高低判断最优方案或位置关系；
常见模型：行程问题（相遇、追击）、费用问题（方案对比）。
核心解题步骤：
第一步：建模型（设变量，写两个函数表达式）；
第二步：画图象（或求交点）；
第三步：分区间（按交点横坐标分类）；
第四步：作决策（结合图象高低或计算判断）。
数学思想：
数形结合（图象→交点→区间→结论）；
建模思想（实际问题→函数模型→数学求解→实际答案）；
分类讨论（按 x 与交点横坐标的大小关系分类）。
易错点提醒：
忽略自变量的取值范围（如乙车出发时间晚，x≥1）；
混淆速度、路程、时间的关系（行程问题中单位统一）；
解读图象时误将 “图象高” 当作 “费用低”（需结合实际意义判断）。
第 10 页：布置作业
教材习题 4.4 第 6、8、9 题
实践题：
调查本地两家快递公司的收费标准（如 A 快递：首重 1kg 内 10 元，续重每 kg2 元；B 快递：首重 1kg 内 12 元，续重每 kg1.5 元），设快递重量为 x（kg，x≥1），费用为 y（元），完成：
写出两家公司的费用函数表达式；
画出函数图象，找出费用相等的重量；
若快递 3kg，选择哪家更省钱？
思考题：
若两个一次函数的图象平行（k =k ），说明什么？此时是否存在交点？实际问题中代表什么情况（如两方案永远不会费用相等）？
乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事.故事梗概为:"一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水."告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解的道理.数学问题也一样哦.
10 cm
9 cm
如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口？说说你的做法！
导入新知
如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空：
（1）当销售量为2吨时，销售收入=　　元，销售成本=____元,
2000
x/ 吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
3000
l2
l1
探究新知
知识点
两个一次函数图象解答实际问题
（2）当销售量为6吨时，销售收入=　　　元，销售成本＝　　元；
6000
5000
（3）当销售量为　　时，销售收入等于销售成本；
4吨
x/ 吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l2
l1
探究新知
（4）当销售量　 　　　时，该公司盈利（收入大于成本）；当销售量　 　　时，该公司亏损（收入小于成本） ；
大于4吨
小于4吨
x/ 吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l2
l1
探究新知
（5）l1对应的函数表达式是　　　　　　　　，
　　 l2对应的函数表达式是　　　　　　　　．
探究新知
x/ 吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l2
l1
分析：这样的给图解关系式题，尤其是两个图一定分析清楚，看图知道l1的图过原点，关系式设为y=kx,解这个关系式只需要一个点的坐标.因为只有一个未知系数k.而l2的图不过原点，关系式设为y=k1x+b,解这个关系式需要两个点的坐标.因为有两个未知系数k1,b.k为什么带下标,因为同一个题出现两个.从图上可知所需点的坐标.
探究新知
x/ 吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l2
l1
（2，2000）
解：设l1关系式是y=kx由图可知，图像过（2，2000）得
2000=2k,
解得k=1000，所以表达式y=1000x.
这里不能出现k，如果出现就代错值.
探究新知
x/ 吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l2
l1
（2，3000）
（0，2000）
设l2关系式是y=k1x+b由图可知，图像过（0，2000）（2，3000）得
2000=b
3000=2k1+b
解得b=2000，k1=500所以表达式y=500x+2000.
这里不能出现k1，b两个字母，如果出现就代错值.
探究新知
（5）l1对应的函数表达式是　　　　　　　　，
　　 l2对应的函数表达式是　　　　　　　　．
y=1000x
y=500x+2000
x/ 吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l2
l1
探究新知
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
销售成本
销售收入
l1 ：y=1000x和l2 ：y=500x+2000中的k和b的实际意义各是什么？
l2
l1
k的实际意义是表示销售每吨产品可收入或增加成本的量；
b的实际意义是表示变化的起始值.
如k1表示销售每吨产
品可收入1000元,
b2表示销售成本从
2000元开始逐步增加.
b1表示收入从零到有.
如k2表示销售每吨产
品成本为500元,
探究新知
我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图）.
海
岸
公
海
B
A
探究新知
例
下图中 l1 ，l2 分别表示两船相对于海岸的距离s与追赶时间t之间的关系.根据图象回答下列问题:
（1） l1 ，l2哪条直线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？
解：观察图象，得当t＝0时，B距海岸0海里，即s＝0，故 l1 表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系.
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
B
A
探究新知
（2）A、B 哪个速度快？
解： t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5.
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
B
A
即10分钟内，A行驶了2海里，B行驶了5海里，所以B的速度快.
7
5
探究新知
解：当t＝15时，l1上对应点在l2上对应点的下方,
这表明，15分钟时 B尚未追上A.
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
B
A
12
14
（3）15分钟内B能否追上 A？
15
探究新知
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
B
A
12
14
（4）如果一直追下去，那么B能否追上 A？
　　解：如图延伸l1 、l2 相交于点P.
因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A.
P
探究新知
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
B
A
12
14
P
（5）照此速度，A逃到离海岸12海里前,B能否追上A？
解：从图中可以看出，l1与l2交点P的纵坐标小于12.
这说明在A逃到离海岸12海里前，我边防快艇 B能够追上A.
10
探究新知
解： k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2海里/分，快艇B的速度是0.5海里/分.
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
B
A
12
14
（6）l1与l2对应的两个一次函数y=k1x +b1与y=k2x+b2中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？
探究新知
解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意得1600+100a=1400+100b,
1600+300a=1400+200b,
解得a=2,b=4.
故这次越野跑的全程为1600+300×2=220米．
一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米．
2200
巩固练习
知识点 两个一次函数图象的应用
（第1题）
1.如图， 反映了某产品的销售收入与销
售量之间的关系， 反映了该产品的销售
成本与销售量之间的关系，根据图中信
息判断两个函数图象的交点表示的实际
意义为______________________。
销售收入等于销售成本
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2.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，甲、乙两卡所需费用
（元），（元）与入园次数（次）的函数关系如图所示。当 满足
________时， 。
（第2题）
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3.［教材习题 变式］ 一艘轮船和一艘快艇沿
相同路线从甲港出发到乙港，行驶路程随时间变化
的图象如图所示，下列结论错误的是( )
C
A.轮船的速度为
B.轮船比快艇先出发
C.快艇的速度为
D.快艇比轮船早到
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4.［教材 问题变式］某手工作坊生产并销售某种
食品，假设销售量与产量相等，如图所示的线段
，分别表示每天生产成本（元）、收入
（元）与产量 之间的函数关系。
（1）分别求出,关于 的函数表达式；
解：设，将代入，得，再将 代
入，易得，所以。设 ，把
代入，得，解得，所以 。
（2）若该手工作坊每天工作，每小时生产 食品，则一天可获
利润为多少元？
解：设一天可获利润为 元，
则 。由题意得
，所以 ，
所以一天可获利润为1 040元。
返回
（第5题）
5.［2024济南中考］某公司生产了， 两款新
能源电动汽车。如图，,分别表示款， 款
新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量
与汽车行驶路程 的关系。当两
款新能源电动汽车的行驶路程都是 时，
款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能
源电动汽车电池的剩余电量多____ 。
12
返回
两个一次函数的应用
两个一次函数的交点问题
实际生活中的问题
谢谢观看！

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