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北师大（2024）版数学8年级上册
第四章 一次函数
4.3.2一次函数的图象与性质
一农民带着若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题。
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）试求降价前y与x之间的关系。
（3）由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少吗？
第 1 页：封面
标题：4.3.2 一次函数的图象与性质
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：平面直角坐标系中，y=2x、y=2x+3、y=2x-2 三条平行直线（标注截距和象限，突出 “平行” 特征）
第 2 页：复习回顾与情境导入
复习旧知：
正比例函数：y=kx（k≠0），图象是过原点的直线，k 决定象限和增减性。
一次函数定义：y=kx+b（k、b 为常数，k≠0），正比例函数是 b=0 的特殊情况。
情境提问：
一次函数 y=2x+3 的图象还是直线吗？它与正比例函数 y=2x 的图象有什么关系？
b 的值会影响图象的位置吗？k 的值仍决定增减性吗？
课题引入：今天我们延续探究思路，解锁一次函数的图象与性质！
第 3 页：探究一：一次函数的图象形状与画法
类比画图（以 y=2x+3 和 y=2x-2 为例）：
步骤 1：列表（选取 x 的若干值，计算 y 值）
x
-2
-1
0
1
2
y=2x+3
-1
1
3
5
7
y=2x-2
-6
-4
-2
0
2
步骤 2：描点（分别描出两组对应点）
步骤 3：连线（用直线连接，向两端无限延伸）
观察发现（加粗）：
一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，因此也称为 “线性函数”。
画法优化：两点法（无需多取点），推荐选取：延续正比例函数的探究方法：
当 k>0 时（以 y=2x+3 为例）：
取 x =-1，y =1；x =1，y =5（x 结论：k>0 时，y 随 x 的增大而增大（图象从左到右上升）。
当 k<0 时（以 y=-x+1 为例）：
取 x =-1，y =2；x =1，y =0（x y ；
结论：k<0 时，y 随 x 的增大而减小（图象从左到右下降）。
核心性质（加粗）：
一次函数 y=kx+b（k≠0）的增减性仅由 k 的符号决定，与 b 的大小无关：
k>0 → 增函数（y 随 x 增大而增大）；
k<0 → 减函数（y 随 x 增大而减小）。
拓展：k 的绝对值影响直线倾斜程度（k≠0）：
|k | 越大，直线越靠近 y 轴（倾斜越陡）；
|k | 越小，直线越靠近 x 轴（倾斜越平缓）。
第 7 页：例题讲解
例 1：已知一次函数 y=(m-1) x+m+2 的图象经过第一、二、四象限，求 m 的取值范围。
解：
图象过第一、二、四象限 → 满足 k<0 且 b>0；
k=m-1 < 0 → m<1；
b=m+2 > 0 → m>-2；
综上：-2 < m < 1。
答：m 的取值范围是 - 2例 2：已知一次函数 y=-2x+4，回答下列问题：
（1）求图象与 x 轴、y 轴的交点坐标；
（2）判断 y 随 x 的变化趋势；
（3）画出函数图象；
（4）当 x 为何值时，y>0？
解：
（1）与 x 轴交点（令 y=0）：-2x+4=0→x=2，交点 (2,0)；与 y 轴交点（令 x=0）：y=4，交点 (0,4)；
（2）k=-2<0 → y 随 x 的增大而减小；
（3）画图：描点 (2,0) 和 (0,4)，连线（略）；
（4）y>0 → -2x+4>0→x<2。
例 3：比较一次函数 y=3x-1 和 y=-x+2 的性质，填空：
（1）y=3x-1 的 k=，b=，y 随 x 的增大而______，图象经过第______象限；
（2）y=-x+2 的 k=，b=，y 随 x 的增大而______，图象经过第______象限；
（3）当 x=2 时，两个函数的函数值分别为______和______，此时______的函数值更大。
第 8 页：课堂练习
基础题：
一次函数 y=-3x+5 的图象经过第______象限，y 随 x 的增大而______，与 y 轴的交点坐标是______。
若一次函数 y=(2k-3) x+1 的 y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是______。
提升题：
已知一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象过点 (0, -3)，且当 x=2 时，y=1，求函数关系式，并判断图象经过哪些象限。
已知一次函数 y=mx+n（m≠0），当 x =1 时 y =3，x =3 时 y =1，判断 y 随 x 的变化趋势，并求当 x=5 时的 y 值。
第 9 页：课堂小结
核心知识点（表格梳理）：
一次函数 y=kx+b（k≠0）
核心特征
性质总结
图象形状
一条直线
两点法画图（与坐标轴交点）
与正比例函数关系
k 相等则平行，b 决定截距
可由 y=kx 平移得到
象限分布
由 k、b 共同决定
先定 k（倾斜），再定 b（截距）
增减性
仅由 k 决定
k>0→y 随 x 增大而增大；k<0→y 随 x 增大而减小
数学思想：
数形结合（图象→k、b 符号→性质，反之亦然）；
类比思想（由正比例函数迁移到一次函数）；
分类讨论（k>0 与 k<0，b>0、b=0、b<0）。
易错点提醒：
混淆 k、b 的作用（增减性只与 k 有关，与 b 无关）；
画图象时未取与坐标轴的交点，导致误差；
判断象限时遗漏 k 或 b 的符号分析。
第 10 页：布置作业
教材习题 4.3 第 3、5、6、9 题
实践题：
画出一次函数 y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1 的图象，观察它们的交点特征，总结 b 相同的一次函数图象的共性。
思考题：
如何利用一次函数的图象与性质，解决 “两个一次函数图象的交点坐标” 问题？（为后续 “一次函数与方程、不等式” 铺垫）
视频导入
-3
-2
-1
5
4
3
2
1
0
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
1
y=-2x＋1
描点、
连线
一次函数的图象
是什么？
-1
列表
x –2 –1 0 1 2
y=-2x+1 5 3 1 –1 –3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画出一次函数y=-2x+1的图象.
例
解：
一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.
归纳小结
(0, b)
( , 0)
y=kx+b
由于两点确定一条直线，画一次函数图象时
我们只需描点(0，b)和点 或 (1，k+b)，连线即可.
与x轴的交点坐标
与y轴的交点坐标
画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.
x ... -1 0 ...
y=-6x ... ...
y=-6x+5 ... ...
6
0
11
5
O
2
x
y
1
2
3
-2
-1
8
6
4
10
12
列表
描点
连线
探究一
解：
观察与比较：
这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 .函数y=-6x的图象经过原点，函数
y=-6x+5的图象与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y=-6x向 平移 个单位长度得到.
比较上面两个函数图象的相同点与不同点.填出你的观察结果并与同伴交流.
一条直线
（0,5）
相同
上
5
O
2
x
y
1
2
3
-2
-1
8
6
4
10
12
2
-2
-4
-6
-2
2
x
y
O
x … -2 1 …
y=2x … -4 2 …
y=2x-3 … -7 -1 …
描点
连线
列表
画一次函数y=2x与 y =2x-3 的图象．
y =2x-3
y =2x
4
探究新知
探究二
解：
比较上面两个函数的图象回答下列问题：
（2）函数 y=2x 的图象经过 ，函数
y= 2x-3的图像与y轴交于点( )，即它可以看作由直线 y=2x向 平移 个单位长度而得到.
（1）这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 .
原点
0 ，-3
下
3
一条直线
相同
(3)在同一直角坐标系中，直线 y =2x -3与 y =2x的位置关系是 .
平行
探究新知
探究新知
归纳总结
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数y=kx的图象平移 个单位长度得到（当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移）.
下
上
O
例 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-2x-1；（2） y=0.5x+1
x 0 1
y=-2x-1
y=0.5x+1
-1
-3
1
y=-2x-1
1.5
y=0.5x+1
也可以先画直线 y=-2x与 y=0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=-2x-1与 y=0.5x+1.
素养考点 1
画一次函数的图象
探究新知
解：
在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出三个函数的图象有什么关系.
y=x-1 y=x y=x+1
解：列表：
描点并连线：
x
0
1
y=x-1
y=x
y=x+1
-1
0
0
1
1
2
巩固练习
-3
y=x-1
y=x+1
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y = x
-3
-2
2
1
1
-1
3
3
-1
变式训练
三个函数图像的关系是互相平行
画出函数y=x+1， y=-x+1， y=2x+1，
y=-2x+1的图象.
x 0 1
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+1
1
2
1
0
1
3
1
-1
O
1
x
y
1
-1
-1
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+1
探究新知
知识点 2
一次函数的性质
观察函数y=x+1， y=-x+1， y=2x+1，y=-2x+1的图象.
一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正、负对函数图象有什么影响？
当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.
O
1
x
y
1
-1
-1
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+1
探究新知
例 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象上的两点，下列判断中，正确的是( )
A.y1＞y2 C.当x1＜x2时，y1＜y2
B. y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2
D
提示：反过来也成立：y越大，x就越小．
素养考点 1
利用一次函数的性质比较大小
探究新知
1.在直线y=3x+6上，对于点A（x1,y1)和B（x2，y2)若x1>x2，则y1 y2.(填写大小关系）
2.下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
>
B
巩固练习
变式训练
k 0，b 0
>
>
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
>
>
>
<
<
<
<
<
=
=
根据一次函数的图象判断k，b的正负，并说出直线经过的象限：
知识点 3
一次函数经过象限与字母k，b的关系
探究新知
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质有什么影响？
当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大.
① b>0时，直线经过第 一、二、四象限；
② b<0时，直线经过第二、三、四象限.
① b>0时，直线经过第一、二、三象限；
② b<0时，直线经过第一、三、四象限.
探究新知
当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小.
例 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y 随x的增大而增大；
（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限；
解：(1)由题意得1-2m>0，解得
(2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即
(3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得
素养考点 1
利用一次函数的性质求字母的值
探究新知
知识点1 一次函数的图象
1.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是( )
C
A. B. C. D.
返回
2.一次函数 的图象不经过的象限是( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
3.［教材复习题 变式］ 如图，一次函数
的图象与轴负半轴交于点，与 轴正半轴
交于点 ，则下列结论正确的是( )
A
A., B.，
C.， D.，
返回
4.已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点 。
（1）在给定的直角坐标系中，画出一次函数 的图象；
解：如图所示。
（2）求， 两点的坐标。
解：因为,所以当时， ；
当时， 。
所以, 。
返回
知识点2 一次函数的性质
5.下列一次函数中，随 的增大而减小的是( )
D
A. B. C. D.
返回
6.［2025西安碑林区月考］下列关于一次函数 的说法中，
错误的是( )
D
A.图象与轴的交点坐标为 B.的值随着 的值的增大而减小
C.图象经过第一、二、四象限 D.当时，
返回
7.［2024镇江中考］点，在一次函数 的图象
上，则___（用“ ”“”或“ ”填空）。
返回
8.［2024长春中考］已知直线，是常数经过点，且
随的增大而减小，则 的值可以是_________________。（写出一个即可）
2（答案不唯一）
返回
一次函数的图象和性质
当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
与y轴的交点是（0，b），
与x轴的交点是（ ，0），
当k>0， b>0时，经过一、二、三象限；
当k>0 ，b<0时，经过一、三、四象限；
当k<0 ，b>0时，经过 一、二、四象限；
当k<0 ，b<0时，经过二、三、四象限.
图象
性质
谢谢观看！

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