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北师大（2024）版数学8年级上册
第四章 一次函数
4.4.1根据一次函数的图象确定表达式
正比例函数y＝kx的图象是什么形状？正比例函数有什么性质呢？
2. 一次函数y＝kx＋b的图象是什么形状？一次函数有什么性质呢？
是过原点的一条直线.性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小
是过点（0，b）和点 的一条直线.性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小
第 1 页：封面
标题：4.4.1 根据一次函数的图象确定表达式
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：平面直角坐标系中，一条直线（标注两个已知点坐标 (1,3)、(0,1)），旁附问号 “该直线对应的一次函数表达式是什么？”
第 2 页：复习回顾与情境导入
复习旧知：
一次函数的表达式：y=kx+b（k≠0，k、b 为常数），需确定 k 和 b 两个参数才能确定表达式。
一次函数的图象：过两点的直线，图象上任意一点的坐标 (x,y) 都满足函数表达式。
情境设问：
已知一次函数的图象是一条直线（如图），我们能通过图象上的点求出 k 和 b 的值，进而确定表达式吗？
确定 k 和 b 需要几个条件？图象上的点能提供什么关键信息？
课题引入：今天我们学习 “根据一次函数的图象确定表达式”，解锁 “由形求数” 的逆向思维！
第 3 页：探究一：确定一次函数表达式的核心方法
核心原理（加粗）：
一次函数 y=kx+b（k≠0）有两个未知参数 k 和 b，因此需要两个独立的条件（通常是图象上两个点的坐标），代入表达式建立二元一次方程组，求解即可得到 k 和 b 的值。
方法步骤（以 “已知图象过两点 A (x ,y )、B (x ,y )” 为例）：
步骤 1：设表达式：设所求一次函数的表达式为 y=kx+b（k≠0）；
步骤 2：代坐标：将两点坐标分别代入表达式，得到方程组：\(
\begin{cases}
y = kx + b \\
y = kx + b
\end{cases}
\)
步骤 3：解方程组：求解上述二元一次方程组，得到 k 和 b 的值；
步骤 4：写表达式：将 k 和 b 的值代入 y=kx+b，即为所求函数表达式。
关键提醒：
若图象过原点，则 b=0，表达式简化为 y=kx，只需一个非原点的点即可求 k（正比例函数的特殊情况）。
第 4 页：探究二：由图象上的特殊点确定表达式
特殊点类型及优势：
与坐标轴的交点（(0,b) 和 (-b/k, 0)）：其中 (0,b) 直接给出 b 的值（截距），可简化计算；
整点（横、纵坐标均为整数的点）：计算方程组时更简便，减少误差。
实例演示（图象过 (0,2) 和 (3,8)）：
步骤 1：设表达式 y=kx+b；
步骤 2：代入 (0,2)→2=k×0+b→b=2（直接得出 b 的值）；
步骤 3：代入 (3,8)→8=3k+2→3k=6→k=2；
步骤 4：表达式为 y=2x+2。
结论：优先选取图象上的特殊点（如与 y 轴交点、整点），可简化求解过程。
第 5 页：例题讲解
例 1：已知一次函数的图象经过点 A (1,3) 和 B (-2,-3)，求该函数的表达式。
解：
设一次函数表达式为 y=kx+b（k≠0）；
将 A (1,3)、B (-2,-3) 代入，得方程组：\(
\begin{cases}
3 = k + b \\
-3 = -2k + b
\end{cases}
\)
解方程组：用第一个方程减第二个方程→3 - (-3) = k + b - (-2k + b)→6=3k→k=2；
把 k=2 代入 3=k+b→b=3-2=1；
∴所求表达式为 y=2x+1。
例 2：如图，一次函数的图象与 y 轴交于点 (0,-1)，与 x 轴交于点 (2,0)，求该函数的表达式。
解：
设表达式为 y=kx+b；
由与 y 轴交点 (0,-1) 得 b=-1；
代入 x 轴交点 (2,0)→0=2k -1→k= ；
∴表达式为 y= x -1。
例 3：已知正比例函数的图象经过点 (-2,4)，求该函数的表达式。
解：
正比例函数表达式为 y=kx（k≠0，b=0）；
代入 (-2,4)→4=-2k→k=-2；
∴表达式为 y=-2x。
第 6 页：例题拓展：结合图象性质确定表达式
例 4：已知一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点 (1,2)，且 y 随 x 的增大而减小，试写出一个符合条件的函数表达式。
解：
代入点 (1,2)→2=k×1+b→b=2 - k；
由 y 随 x 增大而减小→k<0（取 k=-1，答案不唯一）；
当 k=-1 时，b=2 - (-1)=3；
∴符合条件的表达式为 y=-x+3（或 y=-2x+4 等）。
第 7 页：课堂练习
基础题：
一次函数的图象经过点 (2,5) 和 (0,1)，则该函数的表达式为______。
正比例函数的图象经过点 (3,-6)，则 k=，表达式为。
提升题：
已知一次函数的图象过点 (-1,-5) 和 (3,3)，求该函数的表达式，并判断点 (2,2) 是否在该图象上。
一次函数的图象与直线 y=2x 平行（k 相等），且经过点 (0,-3)，求其表达式。（提示：平行则 k 相同）
第 8 页：课堂小结
核心方法：
确定一次函数表达式的 “四步走”：设表达式→代坐标→解方程组→写表达式；
关键：需两个独立条件（通常是两个点的坐标），正比例函数只需一个点（b=0）。
技巧总结：
优先选取特殊点（与坐标轴交点、整点）简化计算；
结合图象性质（如增减性、与已知直线平行）可快速确定 k 的符号或值。
数学思想：
数形结合（图象上的点→坐标→代数方程→表达式）；
方程思想（通过建立方程组求解未知参数 k 和 b）。
易错点提醒：
设表达式时遗漏 k≠0 的条件（虽不影响计算，但概念需明确）；
代入坐标时混淆 x、y 的对应关系（如将 (x ,y ) 代入）；
解方程组时计算错误（建议代入原点点验证）。
第 9 页：布置作业
教材习题 4.4 第 1、2、3 题
实践题：
画出一次函数 y=3x-2 的图象，选取图象上两个点，用本节课方法反推表达式，验证是否一致。
思考题：
若只知道一次函数的图象经过一个点，且知道它与另一个一次函数的交点坐标，能否确定表达式？（为后续综合应用铺垫）
t/秒
(1)请写出 v 与 t 的关系式；
(2) v=7.5 米／秒
（２，５）
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒）
与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示：
解：(1)设v＝kt，
因为(2,5)在图象上，
所以5＝2k，
k=2.5，即v=2.5t.
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
（2，5）
探究新知
一次函数的图象过点
（2，5）与（0，0），因此这两点的坐标适合一次函数y=kx+b.
知识点 1
待定系数法求一次函数的解析式
在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
解：设y=kx+b(k≠0) 由题意得：14.5=b,16=3k+b,
解得：b=14.5 ; k=0.5.所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5,
当x=4时，y＝0.5×4+14.5=16.5（厘米）.
即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米.
例
探究新知
你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？
函数解析式
解析式中未知的系数
像这样先设出____________ ，再根据条件确定____________________ ，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.
探究新知
探究新知
归纳总结
（1）设：设一次函数的一般形式
求一次函数解析式的步骤:
y=kx+b(k≠0)
一次
（2）列：把图象上的点 ， 代入一次
函数的解析式，组成几个_________方程；
（3）解：解几个一次方程得k,b；
（4）还原：把k,b的值代入一次函数的解析式.
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点
一次函数的图象直线
画出
选取
解出
选取
从数到形
从形到数
数学的基本思想方法：
数形结合
整理归纳：从两方面说明：
探究新知
例1 一次函数图像经过点(2,0)和点(0,6)，写出函数解析式.
解得：
这个一次函数的解析式为y=-3x+6.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
把点（2，0）与（0，6）分别代入y=kx+b，得：
探究新知
素养考点 1
已知两点利用待定系数法求一次函数的解析式
已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，-4），求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
所以这个一次函数的解析式为
把点（3，5）与（0，-4）分别代入，得：
y=3x-4.
巩固练习
变式训练
解得 ,
例2 若一次函数的图象经过点 A(2,0)且与直线y=-x+3平行，求其解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
探究新知
素养考点 2
已知一点利用待定系数法求一次函数的解析式
方法点拨：两直线平行，则一次函数中x的系数相等，即k的值不变.
因为一次函数图象与直线y= -x+3平行，所以k= -1.
又因为直线过点（2，0），
所以0=-1×2+b, 解得b=2,
y=-x+2.
所以解析式为
解：设直线l为y=kx+b,
因为l与直线y= -2x平行，所以k= -2.
又因为直线过点（0，2），
所以2=-2×0+b,解得b=2,
所以直线l的解析式为y=-2x+2.
已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.
巩固练习
变式训练
例3 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式.
y
x
O
2
注意：此题有两种情况.
素养考点 3
探究新知
几何面积和待定系数法求一次函数的解析式
分析：一次函数y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是（ ，0）.由题意可列出关于k，b的方程.
解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
因为一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），
所以b=2，
因为一次函数的图象与x轴的交点是( ，0)，则
解得k=1或-1.
故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
探究新知
正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为(3，4)，并且OB=5.
(1)你能求出这两个函数的解析式吗？
(2)△AOB的面积是多少呢？
分析：由OB=5可知点B的坐标为(0,-5).y=k1x的图象过点A(3，4)，y=k2x+b的图象过点A(3，4)，B(0,-5)，代入解方程(组)即可.
巩固练习
变式训练
巩固练习
解：（1）由题意知道，B点的坐标是（0，-5）
因为一次函数y=k2x+b的图象过点（0，-5），（3,4）
代入得，
因此y=3x-5.
因为正比例函数y=k1x的图象过点（3,4），
得 ， 因此 ，
S△AOB=5×4÷2=10.
解得 ，
知识点1 确定一次函数表达式
1.已知直线过点，则直线 对应的函数表达式是
( )
D
A. B. C. D.
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2.［教材P随堂练习T变式］ 已知正比例函数 的图象经过点
。
（1）求这个函数的表达式；
解：将点的坐标代入,得 ,
解得 ,
所以这个函数的表达式为 。
（2）判断点 是否在这个函数的图象上。
解：当时，,所以点 不在这个函数
的图象上。
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3.在平面直角坐标系内，一次函数的图象经过 ，
，三点，求这个一次函数的表达式及 的值。
解：由已知条件得，,,解得 。所以这个一次函数
的表达式为 。
因为一次函数的图象过点 ，
所以。所以 。
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知识点2 借助一次函数表达式解决简单实际问题
4.游学期间，两名老师带领 名学生到展览馆参观，已知老师参观门票
每张40元，学生参观门票每张20元，设参观门票总费用为元，则与
的函数关系为( )
A
A. B. C. D.
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5.如图，用绳子围成周长为的长方形，记长方形的一边长为 ，
它的邻边长为，则关于 的函数表达式是( )
A
A. B. C. D.
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6. 某地随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧
量也随之下降，即含氧量与大气压强 成正比例函数关系。
当时， 。
（1）含氧量与大气压强 之间的关系式是________；
（2）当大气压强是时，含氧量是____ 。
87
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7. ［教材 例1变式］物理实验证实：在弹性限度内，
某弹簧长度与所挂物体质量 满足一次函数关系。如表是实
验时，该弹簧长度与所挂物体质量的部分对应关系：
所挂物体质量 0 2 5
弹簧长度 15 19 25
（1）求与 之间的函数关系式；
解：设与之间的关系式为，把， 代入
，得，再将，代入 ，易得
，所以与之间的函数关系式为 。
（2）当弹簧长度为 时，求所挂物体的质量。
解：当弹簧长度为 时，
，解得 ，
所以当弹簧长度为时，所挂物体的质量为 。
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用待定系数法求一次函数的解析式
2. 根据已知条件列出关于k，b的方程；
1. 设所求的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）；
3. 解方程，求出k，b;
4. 把求出的k，b代回解析式即可.
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