资源简介

(共33张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第四章 一次函数
4.3.1正比例函数的图象与性质
一天，小明以80米/分的速度去学校，请问小明离家的距离s(米)与小明出发的时间t(分)之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ 图中的图象能表示上面问题中的s与t的关系吗？
第 1 页：封面
标题：4.3.1 正比例函数的图象与性质
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：平面直角坐标系中，y=2x 和 y=-2x 两条直线（一、三象限和二、四象限，标注关键点）
第 2 页：复习回顾与情境导入
复习旧知：
正比例函数的定义：形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数，是特殊的一次函数。
函数图象的绘制方法：列表、描点、连线（上节课函数三种表示方法的延伸）。
情境提问：
正比例函数 y=2x 的图象是什么形状？它会经过哪些象限？
当 x 增大时，y 的值如何变化？k 的正负会影响图象的走势吗？
课题引入：今天我们通过动手画图、观察分析，探究正比例函数的图象与性质！
第 3 页：探究一：画正比例函数的图象
实例 1：画正比例函数 y=2x 的图象
步骤 1：列表（选取自变量 x 的若干值，计算对应 y 值）
x
-2
-1正比例函数的图象是经过原点 (0,0) 的一条直线，因此画正比例函数图象时，只需描出原点和另一个点，即可画出直线（两点确定一条直线）。
第 4 页：探究二：正比例函数图象的位置特征
分组画图对比（k>0 与 k<0）：
第一组（k>0）：y=x、y=3x（列表→描点→连线）
第二组（k<0）：y=-x、y=-3x（列表→描点→连线）
观察分析：
当 k>0 时，直线 y=kx 经过哪些象限？（第一、三象限）
实例：y=2x、y=x、y=3x 均经过一、三象限
当 k<0 时，直线 y=kx 经过哪些象限？（第二、四象限）
实例：y=-2x、y=-x、y=-3x 均经过二、四象限
结论（加粗）：
正比例函数 y=kx（k≠0）的图象（直线）经过的象限由 k 的符号决定：
k>0 → 直线经过第一、三象限；
k<0 → 直线经过第二、四象限。
所有正比例函数的图象都必过原点 (0,0)（因为 x=0 时，y=0）。
第 5 页：探究三：正比例函数的性质（增减性）
观察 k>0 的情况（以 y=2x 为例）：
选取 x 的两组值：x =-1，y =-2；x =1，y =2（x 对比 y 值：y =-2 < y =2 → 当 x 增大时，y 随之增大
规律：k>0 时，y 随 x 的增大而增大（图象从左到右呈上升趋势）
观察 k<0 的情况（以 y=-2x 为例）：
选取 x 的两组值：x =-1，y =2；x =1，y =-2（x 对比 y 值：y =2 > y =-2 → 当 x 增大时，y 随之减小
规律：k<0 时，y 随 x 的增大而减小（图象从左到右呈下降趋势）
结论（加粗）：
正比例函数 y=kx（k≠0）的增减性由 k 的符号决定：
k>0 → y 随 x 的增大而增大（上升直线）；
k<0 → y 随 x 的增大而减小（下降直线）。
拓展思考：k 的绝对值大小对图象有影响吗？
举例：y=2x 与 y= x（k 均 > 0），观察直线倾斜程度：k 的绝对值越大，直线越靠近 y 轴（倾斜程度越陡）。
第 6 页：例题讲解
例 1：已知正比例函数 y=(m-2) x 的图象经过第二、四象限，求 m 的取值范围。
解：
∵正比例函数图象经过第二、四象限 → k<0
这里 k=m-2，∴m-2 < 0 → m < 2
答：m 的取值范围是 m<2。
例 2：已知正比例函数 y=kx（k≠0），当 x=3 时，y=-6，求：
（1）函数关系式；（2）画出函数图象；（3）判断点 A (2,-4)、B (-1,2) 是否在图象上。
解：
（1）把 x=3，y=-6 代入 y=kx，得 - 6=3k→k=-2，∴函数关系式为 y=-2x；
（2）画图：描出原点 (0,0) 和点 (1,-2)，连接成直线（略，见图示）；
（3）验证点 A：当 x=2 时，y=-2×2=-4，与 A 点纵坐标一致→A 在图象上；
验证点 B：当 x=-1 时，y=-2×(-1)=2，与 B 点纵坐标一致→B 在图象上。
例 3：比较正比例函数 y=3x 和 y=-2x 的性质，填空：
（1）y=3x 的图象经过第______象限，y 随 x 的增大而______；
（2）y=-2x 的图象经过第______象限，y 随 x 的增大而______；
（3）当 x=1 时，y=3x 的值比 y=-2x 的值______（填 “大” 或 “小”）。
第 7 页：课堂练习
基础题：
正比例函数 y=-5x 的图象经过第______象限，y 随 x 的增大而______。
若正比例函数 y=(k+1) x 的图象经过第一、三象限，则 k 的取值范围是______。
提升题：
已知正比例函数 y=kx（k≠0），当 x=-2 时，y=4，求 k 的值，并判断当 x 增大时，y 的变化趋势。
已知点 P (3, m) 在正比例函数 y=-2x 的图象上，求 m 的值，并写出图象上另一个点的坐标（除原点外）。
第 8 页：课堂小结
核心知识点（表格梳理）：
正比例函数 y=kx（k≠0）
图象特征
性质（增减性）
k>0
经过第一、三象限，过原点
y 随 x 的增大而增大（上升）
k<0
经过第二、四象限，过原点
y 随 x 的增大而减小（下降）
关键技能：
画正比例函数图象：两点法（原点 + 任意一个非原点）；
利用性质解决问题：由 k 的符号判断象限和增减性，由象限或增减性求 k 的范围。
数学思想：
数形结合（图象→性质，性质→图象）；
分类讨论（分 k>0 和 k<0 两种情况分析）。
易错点提醒：
忽略 k≠0 的条件（正比例函数必须满足 k≠0）；
画图象时未向两端无限延伸（直线的特征）；
混淆 k>0 和 k<0 时的增减性。
第 9 页：布置作业
教材习题 4.3 第 1、2、4 题
实践题：
画出正比例函数 y= x 和 y=-3x 的图象，对比它们的倾斜程度和经过的象限，总结 k 的绝对值与直线倾斜程度的关系。
思考题：
正比例函数 y=kx（k≠0）的图象是过原点的直线，那一次函数 y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象是什么形状？它与正比例函数 y=kx 的图象有什么关系？（为下节课 “一次函数的图象与性质” 铺垫）
画出下列正比例函数的图象：
（1）y=2x， ；（2）y=-1.5x，y=-4x.
x
y
1
0
0
-1
2
-2
…
…
…
…
2
4
-2
-4
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
y=2x
②描点；
③连线.
同样可以画出
函数 的图象.
看图发现：这两个图象都是经过原点的 ．
而且都经过第 象限；
一、三
直线
画函数图像的一般步骤：
（1）列表；
（2）描点；（3）连线.
解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
y=-4x
y=-1.5x
看图发现：这两个函数图象都是经过原点和第 象限的直线.
二、四
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限
k＞0 第一、三象限
k＜0 第二、四象限
提示：函数y=kx 的图象我们也称作直线y=kx.
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-3x； （2）
怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
两点
作图法
提示：由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可.
O
x 0 1
y=-3x
0
-3
0
y=-3x
函数y=-3x， 的图象如下：
解：列表如下：
巩固练习
（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围
是________.
例 已知正比例函数y=(k-3)x.
k＞3
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k-3>0，解得k>3.
探究新知
（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.
解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k-3)·2，解得k=5.
=5
素养考点 1
利用正比例函数的图像特征求字母的值
（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_______.
已知正比例函数y=(k+5)x.
k<-5
解析：因为函数图象经过第二、四象限，所以k+5<0，解得k<-5.
（2）若函数图象经过点（3，-9），则k_____.
解析：将坐标（3，-9）带入函数解析式中，得-9=(k+5)·3，
解得k=-8.
=-8
巩固练习
变式训练
讨论 在函数y=x , y=3x, 和 y=-4x 中，随着x的增大,y的值分别如何变化
分析：对于函数y=x,当x=-1时，y= ;当x=1时，y= ;当x=2时，y= ;不难发现y的值随x的增大而 .
-1
1
2
增大
分析：对于函数y=-4x,当x=-1时，y= ;当x=1时，y= ;当x=2时，y= ;不难发现y的值随x的增大而 .
4
-4
-8
减小
知识点 2
正比例函数的性质
探究新知
数值分析
我们还可以借助函数图象分析此问题.
观察图象可以发现：①直线y=x,y=3x向右逐渐 ,
即y的值随x的增大而增大;
②直线 ,y=-4x向右逐渐 ，即y的值随x的增大而减小.
上升
下降
探究新知
图像分析
在正比例函数y=kx中：
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
探究新知
O
x
y
y=kx(k>0)
O
x
y
y=kx(k<0)
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大，y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
解： y=3x增加得更快.
y=3x的函数值的增加量大于y=x的函数值的增加量. 故y=3x增加得更快.
探究新知
想一想
探究新知
（2）类似地，正比例函数y= x和y=-4x中，随着x值的增大，y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
解：y=-4x减小得更快.
在自变量的变化情况相同的条件下y=-4x的函数值的减小量大于y= x的函数值的减小量.
故y=-4x减小得更快.
结论：
越大，直线越陡，越靠近y轴，相应的函数值上升或下降得越快.
y=3x
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6
6
-5
-6
y=x
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6
6
-5
-6
y=-4x
y=
探究新知
例 已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解: 因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,
所以4=m·m，解得m=±2.
又因为y的值随着x值的增大而减小，
所以m<0，故m=－2.
探究新知
素养考点 1
利用正比例函数的性质求字母的值
已知正比例函数y=kx的图象经过点（k，25），且y的值随着x值的增大而增大，求k的值.
解：因为正比例函数y=kx的图象经过点（k，25）,
所以25=k·k，解得k=±5.
又因为y的值随着x值的增大而增大，
所以k>0，故k=5 .
巩固练习
变式训练
1.函数y＝5x的图象经过的象限是_________．
2. 若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
一、三
连接中考
A
知识点1 正比例函数的图象
1.正比例函数 的图象是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.正比例函数 的图象经过( )
B
A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限 D.第三、四象限
返回
3.已知正比例函数 ，则下列坐标对应的点在该函数图象上的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
4.［2024天津中考］若正比例函数是常数， 的图象经过
第一、三象限，则 的值可以是_________________（写出一个即可）。
1（答案不唯一）
返回
5.［教材尝试·思考 变式］ 在如图所示的直角坐标系内画出下
列函数图象。
（1）； （2） 。
解：如图所示。
返回
知识点2 正比例函数的性质
6.关于正比例函数 ，下列结论正确的是( )
D
A. B.图象必经过点
C.图象不经过原点 D.随 的增大而减小
返回
7.已知正比例函数为常数，且的函数值随 的增大而减
小，那么这个函数图象不可能经过的点是( )
A
A.点 B.点 C.点 D.点
返回
8.［2024山西中考］已知点,都在正比例函数 的
图象上，若，则与 的大小关系是( )
B
A. B. C. D.
返回
9.已知点在正比例函数 的图象上。
（1）求 的值；
解：因为点在正比例函数 的图象上，
所以，所以 。
（2）若点在此正比例函数的图象上，求 的值；
解：由（1）知正比例函数的表达式为 。
因为点在正比例函数的图象上，所以 ，所以
。
（3）若点，， 都在此正比例函数的图象上，比较
，， 的大小。
解：因为正比例函数的表达式为，且，所以随 的增大
而减小。
因为，所以 。
返回
10.若点，在正比例函数 的图象上，且当
时，，则 的值可以是( )
D
A.2 B.1 C. D.
返回
11.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数
，，， 的图象分
别为，，， ，则下列关系中正确的是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
正比例函数的图象和性质
图象：经过原点的直线.
当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限.
性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑