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北师大（2024）版数学8年级上册
第四章 一次函数
4.2.认识一次函数
生活中，我们经常见到各种各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min；旋转两圈，表示时间过了2min,而分针每旋转一圈，表示时间过去了一小时。那么，秒针走过的圈数或分针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？
第 1 页：封面
标题：4.2 认识一次函数
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：一次函数 y=2x+3 的图象（直线）与实际场景结合（如购物总价、行程路程等示意图）
第 2 页：复习回顾与情境导入
复习旧知：
函数的定义：两个变量 x、y，x 每确定一个值，y 有唯一确定值与之对应，y 是 x 的函数。
函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法。
情境引入（3 个实例，列关系式）：
实例 1：某书店售卖教辅资料，单价 30 元 / 本，购买 x 本的总价 y（元）→ y=30x。
实例 2：汽车油箱原有油 50L，匀速行驶每小时耗油 6L，行驶 t 小时后剩余油量 Q（L）→ Q=50-6t。
实例 3：长方形的长为 5cm，宽为 x cm，面积 S（cm ）→ S=5x。
思考提问：
这些函数关系式有什么共同特征？（均为含两个变量的整式，变量次数为 1）
它们属于哪一类特殊函数？今天我们共同探究 —— 一次函数。
第 3 页：探究一：一次函数的定义
观察分析（结合导入关系式）：
关系式：y=30x、Q=50-6t、S=5x，可统一写成 “y=kx+b” 的形式（k、b 为常数）。
变量次数：x（或 t）的次数均为 1，且不含变量乘积、分式、开方等形式。
一次函数的定义（加粗）：
一般地，形如 y=kx+b（k、b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linear function）。
特别地，当 b=0 时，一次函数 y=kx（k≠0）叫做正比例函数（direct proportional function），正比例函数是特殊的一次函数。
关键词解读：
k≠0：若 k=0，关系式变为 y=b（常数），不是一次函数（是常量函数）。
变量次数：自变量 x 的次数必须为 1，且分母不含 x、根号不含 x。
定义辨析：
是一次函数的有：①y=2x+1 ②y=-x ③y= x-3（√）
不是一次函数的有：①y=x ②y=2/x ③y=√x ④y=5（×），说明理由（变量次数不符或形式不符）。
第 4 页：探究二：一次函数与正比例函数的关系
包含关系（图示）：
大椭圆：一次函数（y=kx+b，k≠0）
小椭圆（内含于大椭圆）：正比例函数（y=kx，k≠0，即 b=0）
实例对比：
正比例函数：y=5x（b=0，x=0 时 y=0，图象过原点）
一次函数（非正比例）：y=5x+3（b=3≠0，x=0 时 y=3，图象不过原点）
结论（加粗）：
正比例函数是特殊的一次函数（b=0 的情况），但一次函数不一定是正比例函数。
判断正比例函数的两个条件：①形如 y=kx（k≠0）；②图象过原点（x=0 时 y=0）。
第 5 页：探究三：一次函数中自变量的取值范围
取值范围的确定原则：
使函数关系式有意义（如分母不为 0、根号下非负，一次函数无特殊限制）；
符合实际情境（如人数、长度、时间等不能为负数或小数）。
实例分析：
实例 1：函数 y=2x+3（无实际情境）→ 自变量 x 的取值范围是全体实数。
实例 2：汽车剩余油量 Q=50-6t → 实际限制：Q≥0 且 t≥0，即 50-6t≥0→t≤50/6≈8.33，∴t 的取值范围是 0≤t≤8.33（t 为非负实数）。
实例 3：购买笔记本的总价 y=5x（x 为购买数量）→ x 的取值范围是非负整数（0,1,2,3,...）。
总结：一次函数的自变量取值范围需结合具体情境分析，无实际情境时为全体实数。
第 6 页：例题讲解
例 1：判断下列函数是否为一次函数，若是，指出 k、b 的值；若是正比例函数，说明理由。
（1）y=-3x+2；（2）y= x；（3）y=2x +1；（4）y=6-3x
解：
（1）是一次函数，k=-3，b=2（非正比例函数）；
（2）是一次函数，也是正比例函数，k= ，b=0；
（3）不是一次函数（x 的次数为 2，不符合定义）；
（4）是一次函数，整理为 y=-3x+6，k=-3，b=6（非正比例函数）。
例 2：已知 y 是 x 的正比例函数，且当 x=2 时，y=6，求函数关系式。
解：
设正比例函数关系式为 y=kx（k≠0）；
把 x=2，y=6 代入，得 6=2k→k=3；
∴函数关系式为 y=3x。
例 3：某工厂生产某种零件，每个零件的成本为 3 元，每天固定设备损耗 200 元，写出每天的生产成本 y（元）与生产零件数量 x（个）的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围。
解：
生产成本 = 固定损耗 + 单个成本 × 数量→y=3x+200；
自变量 x 的取值范围：x 为非负整数（x≥0 且 x 为整数）。
第 7 页：课堂练习
基础题：
下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A. y=3x-1 B. y=-2x C. y=2x D. y=5/x
一次函数 y=-5x+4 中，k=，b=，自变量 x 的取值范围是______。
提升题：
已知 y 是 x 的一次函数，当 x=1 时，y=3；当 x=-1 时，y=-1，求函数关系式。
某出租车的收费标准：起步价 8 元（行驶路程不超过 3km），超过 3km 后，每千米加收 2 元（不足 1km 按 1km 计费），写出车费 y（元）与行驶路程 x（km）的函数关系式（x≥0），并指出 x 的取值范围。
第 8 页：课堂小结
核心概念：
一次函数定义：y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）；
正比例函数定义：y=kx（k≠0，b=0），是特殊的一次函数；
自变量取值范围：结合关系式意义和实际情境确定。
关键区别与联系：
一次函数与正比例函数：包含与被包含关系（正比例函数 一次函数）；
一次函数与非一次函数：判断核心是 “k≠0 且 x 次数为 1”。
数学思想：
分类思想（区分一次函数与正比例函数、不同情境下的取值范围）；
模型思想（用一次函数表示实际问题中的变量关系）。
易错点提醒：
忽略 k≠0 的条件（如误将 y=5 当作一次函数）；
正比例函数需同时满足 “y=kx” 和 “b=0”；
实际问题中自变量取值范围未考虑非负、整数等限制。
第 9 页：布置作业
教材习题 4.2 第 1、3、5、8 题
实践题：
调查本地电费收费标准（如基础电费 + 超额电费），写出电费 y（元）与用电量 x（度）的一次函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围。
思考题：
一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象是什么形状？k 和 b 的取值会影响图象的位置吗？（为下节课 “一次函数的图象” 铺垫）
x/kg 1 2 3 4 5 …
y/cm …
（1）计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：
3.5
4
4.5
5
5.5
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm.
问题1
解：y与x之间的关系式为：y=3+0.5x.
分析： 它们之间的数量关系是:
弹簧长度=原长+增加的长度
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.
（1）完成下表：
0
6
12
18
24
36
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
y=0.12x
z = 60-0.12x
探究新知
问题2
研讨以下两个函数关系式:
(1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60.
它们的结构有什么特点？
解析:1．都是含有两个变量x，y的等式.
2．x和y的指数都是一次.
3．自变量x的系数都不为0.
若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b (k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是一次函数
关系式为：y=kx+b
(k,b为常数，k≠0）
函数是正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0）
定义：
思考 一次函数的结构特征有哪些？
（1）k≠0 .
（2）x 的次数是1.
（3）常数项b可以为一切实数.
一次函数
正比例函数
探究新知
答：一次函数的结构特征：
例1 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y=-x-4; (2)y＝5x2-6； (3)y=2πx; (6)y=8x2+x(1-8x);
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数；
(7)不是一次函数，也不是正比例函数.
（7）y=kx+b.
探究新知
素养考点 1
一次函数与正比例函数的判断
探究新知
方法点拨
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
答：（1）是一次函数，又是正比例函数；
（4）是一次函数.
巩固练习
变式训练
例2 已知函数y=(m-2)x+4-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数
解：（1）由题意可得m-2≠0，
解得m≠2.
即m≠2时，这个函数是一次函数.
探究新知
素养考点 2
利用一次函数的概念求字母的值
注意：利用定义求一次函数
解析式时，必须保证：
（1）k ≠ 0；
（2）自变量x的指数是“1”
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数
（2）由题意可得m-2≠0，4-m2=0，
解得m=-2.
即m=-2时，这个函数是正比例函数.
已知函数y=2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
解：（1）由题意得： 因此 m=±1.
（2）由题意得：m+1=0 , 解得m= -1.
巩固练习
变式训练
写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得y=πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
探究新知
知识点 2
一次函数与正比例函数的应用
例1
解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而y=15+5x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
探究新知
某种大米的单价是2.2元/kg，当购买x kg大米时，花费为y元，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？
探究新知
解： y=2.2x，y是x的一次函数,是正比例函数.
巩固练习
自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款=（每次收入-800）×20%……如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20%=240（元）.
（1）当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入x （元）之间的关系式；
解：当每次收入超过800元但不超过4 000元时，
y=(x-800)×20%，
即y=0.2x-160;
探究新知
例2
（2）某人某次取得劳务报酬3 500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？
解：当x=3500时，y=0.2×3500-160=540（元）；
探究新知
（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？
解： 因为(4 000-800)×20%=640（元），600<640，所以此人这次取得的劳务报酬不超过4 000元.
设此人这次取得的劳务报酬是x元，则
600=0.2x-160，
所以此人这次取得的劳务报酬是3800元.
解得x=3800.
知识点 生活中的均匀变化现象
1.［教材 操作·思考变式］水龙头关闭不严会造成漏水。下表记录了
内7个时间点的漏水量，其中表示时间， 表示漏水量。
时间 0 5 10 15 20 25 30
漏水量 0 15 30 45 60 75 90
（1）结合表中数据写出漏水量关于时间 的函数关系式:_______
（不要求写自变量的取值范围）；
（2）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约
为_______ 。
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2. 声音在空气中的传播速度与温度 的关系
如下表：
温度 0 5 10 15 20
速度 331 334 337 340 343
（1）写出速度与温度 之间的关系式；
解： 。
（2）当 时，求声音的传播速度；
解：当时， 。
（3）当声音的传播速度为 时，温度是多少？
解：当时，,所以 。
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3.一辆汽车以 的速度在公路上匀速行驶。
（1）用表格表示时间与路程之间的关系如下：
时间/ 0.5 1 1.5 2 2.5 3
路程/ 30 60 90 120 150 180
当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为_____ ；
120
（2）用关系式表示：
设汽车行驶的时间为，行驶的路程为，则_____。当
时，汽车行驶的时间___ ；
4
（3）观察图象，并回答下列问题：
①当时，_____ ；
150
②图中点 表示的意义是什么？
[答案] 当汽车行驶时间为时，行驶的路程为 。
（4）根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选
一种，说一说这种表示方式的优缺点。
解：用表格表示，可以鲜明地呈现出自变量和因变量之间的数量对应关
系，但只能给出部分数据，难以反映全部变化。
用关系式表示，简明扼要，方便计算，但不够形象，且有的函数变化难
以用关系式表示。
用图象表示，形象直观，能清晰呈现函数增减变化，但只能作出近似图
象，往往不够准确。（任选一种即可）
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一次函数与正比例函数
一次函数形式：y=kx+b（k≠0）
特别地，当b=0时，y=kx(k≠0)是正比例函数
一次函数的简单应用
谢谢观看！

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