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北师大（2024）版数学8年级上册
第四章 一次函数
4.1 函数
1．什么叫常量？
2．什么叫变量？
在变化过程中数值始终不变的量叫做常量
在变化过程中不断变化的量叫做变量
情境导入
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．如图是某地一天内的气温变化图．
从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？
第 1 页：封面
标题：4.1 函数
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：动态示意图（包含气温随时间变化曲线、路程随速度变化表格，突出 “变化” 与 “关联”）
第 2 页：情境导入 —— 生活中的 “变化与关联”
三个生活实例（配图示）：
实例 1：汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶的路程 s（km）与行驶时间 t（h）之间的关系。
实例 2：某一天的气温 T（℃）随时间 t（时）的变化情况（图示：气温变化曲线）。
实例 3：正方形的面积 S 与它的边长 a 之间的关系（图示：不同边长的正方形）。
思考提问：
每个实例中都有几个变化的量？（2 个）
当其中一个量变化时，另一个量是否随之变化？（是）
给定一个量的具体值，另一个量是否有唯一确定的值与之对应？（是）
课题引入：像这样两个变量之间的 “唯一对应” 关系，就是我们今天要学习的 —— 函数。
第 3 页：探究一：变量与常量
概念辨析：
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量（如实例 1 中的 s、t；实例 2 中的 T、t）。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量（如实例 1 中的速度 60km/h；实例 3 中正方形的面积公式里的 2 次方系数）。
即时练习：
圆的周长 C=2πr 中，变量是______（C、r），常量是______（2、π）。
购买单价为 5 元的笔记本，总价 y（元）与购买数量 x（本）的关系中，变量是______（y、x），常量是______（5）。
注意：常量不一定是具体数字，也可以是固定的字母（如 π）。
第 4 页：探究二：函数的定义
抽象概括（结合导入实例）：
核心要素：①一个变化过程；②两个变量（通常设为 x 和 y）；③对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应。
函数的定义（加粗）：
在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定一个 x 值，相应地就确定唯一的一个 y 值，那么就称 y 是 x 的函数（function），其中 x 是自变量，y 是因变量。
关键词解读：
“唯一确定”：一个 x 只能对应一个 y，多个 x 可以对应同一个 y（如 y=x ，x=2 和 x=-2 都对应 y=4），但一个 x 不能对应多个 y。
定义验证：
实例 1：s=60t，对于 t 的每一个值，s 都有唯一值对应→s 是 t 的函数。
反例：y=±√x（x≥0），对于 x=4，y 有 2 和 - 2 两个值→y 不是 x 的函数。
第 5 页：探究三：函数的三种表示方法
解析法（关系式法）：
定义：用数学式子表示函数关系（如 s=60t、C=2πr、y=5x）。
优点：简洁明了，便于计算和推理。
注意：式子要符合实际意义（如 x 表示数量时，x 为非负整数）。
列表法：
定义：用表格列出自变量 x 和因变量 y 的对应值（如下表）。
| 时间 t（h） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|------------|---|---|---|---|---|
| 路程 s（km）| 60 | 120 | 180 | 240 | 300 |
优点：直观清晰，可直接读取对应值。
图象法：
定义：在平面直角坐标系中，用描点连线的方式表示函数关系（如气温变化曲线、路程 - 时间图象）。
优点：能直观反映变量的变化趋势。
总结：三种方法可以相互转化，根据实际需求选择合适的表示方法。
第 6 页：例题讲解
例 1：判断下列关系中，y 是否为 x 的函数：
（1）y=3x-1；（2）y=x ；（3）y=|x|；（4）x=y
解：
（1）是，对于每个 x，y 有唯一值对应；
（2）是，对于每个 x，y 有唯一值对应；
（3）是，对于每个 x，y 有唯一值对应；
（4）不是，如 x=4 时，y=2 或 y=-2，对应不唯一。
例 2：已知函数 y=2x+3，求：
（1）当 x= -1 时，y 的值；（2）当 y=7 时，x 的值。
解：
（1）把 x=-1 代入 y=2x+3，得 y=2×(-1)+3=1；
（2）把 y=7 代入 y=2x+3，得 7=2x+3→2x=4→x=2。
例 3：某水果店苹果的单价为 8 元 / 千克，写出购买苹果的总价 y（元）与购买数量 x（千克）的函数关系式，并列表表示 x=1、2、3、4 时的总价。
解：
函数关系式：y=8x（x≥0）；
列表：
x（千克）
1
2
3
4
y（元）
8
16
24
32
第 7 页：课堂练习
基础题：
下列变量关系中，y 是 x 的函数的是（ ）
A. x+y=5 B. y=±x C. y=x -2x D. x=y
已知函数 y=-3x+5，当 x=2 时，y=；当 y=2 时，x=。
提升题：
等腰三角形的顶角为 x°，底角为 y°，写出 y 与 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围。（提示：三角形内角和为 180°，底角大于 0°）
第 8 页：课堂小结
核心概念：
变量与常量的区分；
函数的定义（关键：两个变量、唯一对应）；
函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）。
数学思想：
变量思想（用变化的眼光看待问题）；
对应思想（理解变量之间的唯一对应关系）；
数形结合（图象法直观反映函数变化）。
易错点提醒：
判断函数时，紧扣 “唯一对应” 原则；
写函数关系式时，要考虑自变量的实际取值范围（如人数、长度不能为负）。
第 9 页：布置作业
教材习题 4.1 第 1、3、5、7 题
实践题：
记录自己一天中不同时间点的体温（如早晨、中午、下午、晚上），用列表法表示时间与体温的关系，判断体温是否为时间的函数。
思考题：
函数 y=5 和 y=x （x≠0）是函数吗？它们的变量关系有什么特点？（提示：常量函数）
如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
由低变高，再由高变低.
故事导入
你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝水，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是(　　)
B
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
如图反映了摩天轮上一点的高度h（m）与旋转时间t（min）之间的关系.
3
13
36
47
36
13
探究新知
（1）根据右图填表：
（2）对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？
确定
探究新知
层数n 1 2 3 4 5 …
物体总数y …
1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
这个问题中的变量有几个？分别是什么？
探究新知
做一做
1
3
6
10
15
层数与物体总数
只要给定层数，就能求出物体总数.
探究新知
探究新知
2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃作为热力学温度的零度.热力学温度T（K）与摄氏温度t（℃）之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0.
（1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？
（2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？
探究新知
探究新知
（1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？
解：当t为-43℃时， T= -43+273=230（℃）;
当t为-27℃时， T= -27+273=246（℃）;
当t为0℃时， T=0+273=273（℃）;
当t为18℃时， T=18+273=291（℃）.
探究新知
解：是，因为t ≥ -273时， T≥0.
唯一一个T值
（2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？
上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③摄氏温度t 、热力学温度T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
探究新知
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
函数
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
探究新知
小结
例 下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3；
③y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
①
提示：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
探究新知
素养考点 1
利用函数的定义判断函数
②
③
（1）
（2）
（3）
下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎样改变，才能使y是x的函数？
解：（1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应.将关系式改为 或 ，都能使y是x的函数.
巩固练习
变式训练
变量x与y的对应关系如下表所示：
x 1 4 9 16 25 …
y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 …
问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函数，可以怎样改动表格？
解：y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应. 要使y是x的函数，可以将表格中y的每一个值中的“±”改为“＋”或“－”.
巩固练习
变式训练
探究新知
上述问题中，自变量能取哪些值？
注意：要根据实际问题确定自变量的取值范围.
探究新知
知识点 2
函数值及自变量的取值范围
函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．
即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值．
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值．
探究新知
例1 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子.
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x表示的意义是什么？
叫做函数的解析式
探究新知
素养考点 1
确定自变量的取值范围
（2）指出自变量x的取值范围；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　
得　0 ≤ x ≤ 500，
所以自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500.
提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
探究新知
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
解:
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
(3)当 x = 200时,函数y的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
探究新知
解:
下列函数中自变量x的取值范围是什么？
（1） ;
（2） ;
（3） ;
解:
x取全体实数;
（1）
（2）
由x+2≠0得 ;
x≠-2
（3）
由x-5≥0得 ;
变式训练
巩固练习
(4) .
使函数解析式有意义的自变量的全体.
（4）
x取全体实数.
例2 已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
把自变量x的值代入关系式中，即可求出函数的值.
解：（1）当x=2时， ;
探究新知
素养考点 2
求函数的值
当x=3时， ;
当x=-3时，y=7.
（2）令 解得 ，即当 时，y=0.
已知函数 .
(1)当x=3时,求函数y的值;
(2)当y=2时,求自变量x的值.
解:(1)当x=3时, .
(2)当y=2时,可得到 ,则4=36-2x2,即x2=16,
解得x=±4.
巩固练习
变式训练
知识点1 函数的相关概念
1.［2025陕西师大附中月考］下列图象中，表示是 的函数的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.［2025西安西咸新区期中］“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的
圆形水波不断扩大，水波的周长与半径的关系式为 ，则其中
的自变量是( )
A
A.半径 B.周长 C.2 D.
返回
3.下列四个选项中，不是 的函数的是( )
D
A. B. C. D.
返回
4.［教材习题 变式］ 下列变量之间的关系不是函数关系的是
( )
A
A.某班某同学的身高和体重
B.底边上的高一定，等腰三角形的底边长与面积
C.速度一定时，汽车行驶的路程与时间
D.正方形的周长与面积
返回
知识点2 函数的表示法
5. 一项试验的统计数据中变量与 之间的关系如表所示：
30 40 100 120
15 20 50 60
则下面能表示这种关系的式子是( )
D
A. B. C. D.
返回
6. 李老师骑车外出办事,离校不久便接到学校要他返校的紧急电话,
李老师急忙赶回学校。下面四个图象中,能描述李老师与学校的距离 随
时间 变化的图象是( )
C
A. B. C. D.
返回
7.［教材P随堂练习T 变式］
蛇的体温随外部环境温度的变化而
变化,如图表现了一条蛇在两昼夜之
间体温的变化情况。
（1）第一天,蛇的体温的变化范围是什么 它的体温从最低上升到最高
需要多少时间
解：变化范围为。需要 。
（2）若用表示时间, 表示蛇的体温，将相应数据填入下表:
4 12 20 28 32 40 48
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
35
39
39
35
36
40
36
（3）是 的函数吗？为什么？
解：是 的函数，因为随着时间的变化，每一个时刻，蛇都有唯一一个
体温与之对应，符合函数的定义，所以是 的函数。
返回
函数
概念：函数在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数.
函数值
自变量的取值范围
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
函数的关系式：三种表示方法
谢谢观看！

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