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(共32张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第四章 一次函数
4.4.2利用一个一次函数的图象解决问题
由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量 V (万米3)与干旱持续时间t (天)的关系如下图所示，回答下列问题：
(1)水库干旱前的蓄水量是多少？
(2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？
(3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？
(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
第 1 页：封面
标题：4.4.2 利用一次函数的图象解决问题
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：平面直角坐标系中，反映 “路程 - 时间” 的一次函数图象（标注起点、终点、交点，旁附实际情境描述：“甲、乙两车从 A 地出发前往 B 地，图象反映了两车行驶路程与时间的关系”）
第 2 页：复习回顾与情境导入
复习旧知：
一次函数的图象：过两点的直线，图象上点的坐标 (x,y) 对应变量的一组取值。
图象与坐标轴交点的意义：与 x 轴交点（y=0）对应自变量的某个临界值，与 y 轴交点（x=0）对应自变量为 0 时的函数值。
情境设问：
如图是某手机套餐的月费 y（元）与通话时长 x（分钟）的函数图象，从图象中你能读出哪些信息？（如套餐费、超出部分单价等）
如何利用图象解决 “通话 100 分钟的月费是多少”“月费 50 元可通话多久” 这类问题？
课题引入：今天我们学习 “利用一次函数的图象解决问题”，让图象成为解决实际问题的 “工具”！
第 3 页：探究一：解读一次函数图象的关键信息
图象的核心要素解读（结合 “月费 - 通话时长” 图象）：
坐标轴含义：明确 x 轴（自变量）、y 轴（因变量）代表的实际意义及单位；
起点（与 y 轴交点）：x=0 时的函数值（如通话 0 分钟时的月费，即套餐费）；
变化趋势：由 k 的符号判断（k>0 时，y 随 x 增大而增大，如超出套餐后，通话时长越长，月费越高）；
特殊点：与 x 轴交点（y=0 时的自变量值，如免费通话时长）、整点（便于读取具体数值）；
斜率 k 的实际意义：k 表示自变量每增加 1 个单位，函数值的变化量（如超出套餐后，每分钟的通话费用）。
实例解读：
图象：过点 (0,20) 和 (50,30) 的直线（x：通话时长 / 分钟，y：月费 / 元）；
解读结果：
套餐费 20 元（x=0 时，y=20）；
超出套餐后，每分钟收费 0.2 元（k=(30-20)/(50-0)=0.2）；
通话 50 分钟时，月费 30 元。
第 4 页：探究二：利用图象解决 “已知自变量求函数值” 或 “已知函数值求自变量” 问题
两类基础问题的解题思路：
已知 x 求 y（如 “通话 100 分钟的月费”）：
方法：在 x 轴上找到对应 x 值，作 x 轴垂线交图象于一点，该点的纵坐标即为 y 值；
已知 y 求 x（如 “月费 50 元可通话多久”）：
方法：在 y 轴上找到对应 y 值，作 y 轴垂线交图象于一点，该点的横坐标即为 x 值。
实例演示（结合 “路程 - 时间” 图象，x：时间 / 小时，y：路程 / 千米）：
问题 1：行驶 2 小时的路程是多少？
解答：x=2 时，垂线交图象于 (2,120)→路程 120 千米；
问题 2：路程达到 180 千米需要行驶多久？
解答：y=180 时，垂线交图象于 (3,180)→时间 3 小时。
关键提醒：若图象是分段函数（如套餐未超出、超出两个阶段），需先判断 x 或 y 所在的区间，再对应到相应线段上求解。
第 5 页：探究三：利用图象解决实际应用中的比较、决策问题
常见应用场景：行程问题（两车速度、相遇时间）、费用问题（不同套餐性价比）、生产问题（产量与成本）等。
解题核心：抓住图象的 “交点” 和 “区间特征”：
交点意义：两个函数图象的交点坐标，对应两个变量取值相同时的情况（如两车相遇时的时间和路程、两种套餐月费相同时的通话时长）；
区间比较：交点两侧，哪个函数的图象更高（如通话时长小于交点横坐标时，A 套餐更便宜；大于时，B 套餐更便宜）。
实例演示（行程问题）：
图象：直线 l （甲车）过 (0,0) 和 (4,200)；直线 l （乙车）过 (1,0) 和 (4,180)（x：时间 / 小时，y：路程 / 千米）；
问题 1：甲、乙两车的速度分别是多少？
解答：甲车速度 k =200/4=50km/h；乙车速度 k =180/(4-1)=60km/h；
问题 2：乙车出发后多久追上甲车？
解答：求 l 与 l 的交点，设 l ：y=50x，l ：y=60 (x-1)，联立得 50x=60x-60→x=6，乙车出发时间 = 6-1=5 小时；
问题 3：出发 3 小时后，哪辆车在前？
解答：x=3 时，l ：y=150，l ：y=60×2=120→甲车在前。
第 6 页：例题讲解
例 1：如图是某出租车的车费 y（元）与行驶路程 x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）出租车的起步价是多少元？（x=0 到 x=3 的部分）
（2）行驶 5 千米的车费是多少元？
（3）若车费为 16 元，行驶了多少千米？
解：
（1）由图象与 y 轴交点 (0,8) 可知，起步价 8 元（3 千米内收费 8 元）；
（2）图象过 (3,8) 和 (6,14)，k=(14-8)/(6-3)=2 元 / 千米，表达式为 y=2 (x-3)+8=2x+2（x≥3）；
当 x=5 时，y=2×5+2=12 元；
（3）当 y=16 时，16=2x+2→x=7 千米。
例 2：甲、乙两家超市出售同一种商品，其价格 y（元）与购买数量 x（千克）的函数图象如图所示（甲超市：直线过 (0,0) 和 (5,10)；乙超市：直线过 (0,3) 和 (5,10)），回答下列问题：
（1）甲、乙超市该商品的单价分别是多少？
（2）购买多少千克时，两家超市的价格相同？
（3）若购买 8 千克，选择哪家超市更省钱？
解：
（1）甲超市单价：k =10/5=2 元 / 千克；乙超市单价：k =(10-3)/5=1.4 元 / 千克；
（2）甲：y=2x，乙：y=1.4x+3，联立得 2x=1.4x+3→x=5 千克（与图象交点一致）；
（3）x=8 时，甲：y=16 元，乙：y=1.4×8+3=14.2 元→选乙超市。
第 7 页：课堂练习
基础题：
如图是某水库的蓄水量 y（万立方米）与来水时间 x（天）的函数图象（过 (0,100) 和 (5,300)），则：
来水前水库的蓄水量是______万立方米；
每天的来水量是______万立方米；
来水 8 天后，水库的蓄水量是______万立方米。
提升题：
某公司推出 A、B 两种办公软件的收费方案，A 方案：每月固定费 30 元，另按使用时长每小时收 2 元；B 方案：无固定费，按使用时长每小时收 5 元。
分别画出两种方案的费用 y（元）与使用时长 x（小时）的函数图象；
利用图象判断：每月使用时长超过多少小时，A 方案更划算？
第 8 页：课堂小结
核心解题步骤：
第一步：解读图象（明确坐标轴意义、特殊点、变化趋势）；
第二步：转化问题（将实际问题转化为 “求 x”“求 y”“比较大小” 等数学问题）；
第三步：图象求解（利用垂线法、交点法、区间法得出答案）；
第四步：验证回归（将数学答案转化为实际问题的结论，验证合理性）。
关键技巧：
熟练读取特殊点（起点、交点、与坐标轴交点）的实际意义；
当图象信息不足时，可先根据图象确定函数表达式，再代入计算。
数学思想：
数形结合（将实际问题→图象→数学结论→实际答案）；
建模思想（将实际情境转化为一次函数模型）。
易错点提醒：
忽略坐标轴的单位（如 x 轴是 “小时” 还是 “分钟”）；
读取数值时误差过大（建议结合表达式计算验证）；
混淆 “自变量” 和 “因变量” 的对应关系（如误将 y 轴数值当作 x 值）。
第 9 页：布置作业
教材习题 4.4 第 4、5、7 题
实践题：
调查本地两种共享单车的收费标准（如 A 车：起步价 1 元 / 15 分钟，超时后 0.5 元 / 15 分钟；B 车：2 元 / 30 分钟），画出费用 y 与骑行时间 x 的函数图象，比较骑行 40 分钟时哪种车更便宜。
思考题：
若一次函数图象是分段直线（如超过一定范围后 k 值变化），如何解决这类复杂的实际问题？（为后续分段函数应用铺垫）
视频导入
由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V(万m3)与干旱持续时间 t(天)的关系如图所示,
交流探究
0 10 20 30 40 50 t/天
V/
根据
图像
回答
下列
问题:
(2)干旱持续10天,蓄水量为多少 连续干旱23天呢
1000
(1)水库干旱前的蓄水量是多少
1200
1200
1000
800
600
400
200
(23,？)
探究新知
0 10 20 30 40 50 t/天
V/
(3)蓄水量小于400时,将发生严重的干旱警报.干旱多少天后将发出干旱警报
40天
(4)按照这个规律,预计持续干旱多少天水库将干涸
60天
1200
100
800
600
400
200
探究新知
根据
图像
回答
下列
问题:
某种摩托车加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图所示：
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
探究新知
例
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
(1)油箱最多可储油多少升？
解:当x=0时，y=10.因此，油箱最多可储油10L.
探究新知
根据
图像
回答
下列
问题:
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
解:当y=0时,x=500,因此一箱汽油可供摩托车行驶500km.
探究新知
根据
图像
回答
下列
问题:
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
(3)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油
解: x从100增加到200时,y从8减少到6,减少了2,因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油.
探究新知
根据
图像
回答
下列
问题:
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
(4)油箱中的剩余油量小于1升时将自动报警.行驶多少千米后,摩托车将自动报警
解:当y=1时,x=450,因此行驶了450千米后,摩托车将自动报警.
探究新知
根据
图像
回答
下列
问题:
1.理解横纵坐标分别表示的实际意义；
3.利用数形结合的思想：
将“数”转化为“形” 由“形”定“数”
2.分析已知条件，通过作x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值；
探究新知
归纳小结
9
6
3
12
15
18
21
24
y/cm
l
2
4
6
8
10
12
14
t/天
某植物t天后的高度为ycm,图中的l反映了y与t之间的关系，根据图象回答下列问题：
（1）植物刚栽的时候多高？
（2）3天后该植物多高？
（3）几天后该植物高度可达21cm？
9cm
12cm
12天
（3，12）
（12，21）
巩固练习
0
我们先来看下面两个问题：
（1）解方程0.5x+1=0.
（2）当自变量x为何值时函数y=0.5x+1的值为0？
思考
1.对于0.5x+1=0 和y=0.5x+1，从形式上看，有什么相同和不同？
2.从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？
探究新知
知识点 2
一次函数与一元一次方程
思考 函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0
与x轴的交点(-2,0)
即当x=-2时，函数y=0.5x+1的值为0，这说明方程0.5x+1=0的解是x=-2.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.
1
-2
0
x
y
问题(1)解方程0.5x+1=0，
得x=-2.
所对应的（ ）为何值？
实质上这可以通过解方程0.5x+1=0,得出x=-2.因此，这两个问题实际上是同一个问题.
问题(2)就是要考虑当函数y=0.5x+1的值为（ ）时
自变量x
0
作出函数y=0.5x+1的图象.
从图象上看：
探究新知
思考
由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0（a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？
探究新知
由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致.
由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值y为0时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.
探究新知
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
x为何值y= ax+b
的值为0
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
确定直线y= ax+b
与x轴交点的横坐标
从数的角度看
从形的角度看
探究新知
一次函数与一元一次方程的关系
以下的一元一次方程与一次函数问题是同一问题
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程3x－2=0 当x为何值时,
y=3x－2的值为0
2 解方程8x+3=0
3 当x为何值时,
y= -7x+2的值为0
4 解方程 3x-2=8x+3
当x为何值时,y=8x+3的值为0
解方程-7x+2=0
当x为何值时, y=-5x-5的值为0
巩固练习
例 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17,
解得 x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
探究新知
素养考点 1
利用一次函数、方程及图象解答问题
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5,
由2x+5=17 得 2x－12=0,
由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
O
x
y
6
－12
y=2x－12
探究新知
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5,
由右图可以看出当y =17时，x=6.
y=2x+5
x
y
O
6
17
5
－2.5
探究新知
1.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8.
2.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线y=ax+b的是( )
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
-2
-2
-2
-2
-2
A
B
C
D
B
x=-4；
x=-8.
巩固练习
解:
变式训练
知识点1 单个一次函数图象的应用
（第1题）
1.如图，某公司市场营销部的个人收入与其
每月的销售量成一次函数关系。由图中给出
的信息，预测营销人员销售2万件时的个人收
入是( )
B
A.3 100元 B.13 000元
C.12 900元 D.28 000元
返回
（第2题）
2.由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下
降。如图所示的是某水库蓄水量 （万立方米）
与干旱时间 （天）之间的关系图，请你根据此图
填空：
（1）水库原蓄水量是_______万立方米，持续干
旱10天后，蓄水量为_____万立方米；
1 000
800
（2）水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报，则持续
干旱____天后，将发出严重干旱预报。按此规律，持续干旱____天时，
水库的水将干涸。
30
50
返回
3. ［2024陕西中考］ 我国新能源汽车快速健康发展，续
航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从市前往 市，他驾车
从市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶了
后，从 市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶
的过程中，剩余电量与行驶路程 之间的关系如图所示。
（1）求与 之间的关系式；
解：设与之间的关系式为，将代入，得 ，再
将代入，解得，所以与 之间的关系式
为 。
（2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从 市这一高
速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少。
解：当时，， 。
答：该车的剩余电量占“满电量”的 。
返回
知识点2 一次函数与一元一次方程
4.［2025西安铁一中期中］一次函数
，为常数且 的图象如图所示，
则关于的方程 的解为( )
A
A. B. C. D.
返回
5.一元一次方程的解是,则函数的图象与 轴
的交点坐标是( )
B
A. B. C. D.
返回
6.如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与
轴、轴分别交于点， ，请根据函数图象回答下列问题：
（1）点的坐标是______，点 的坐标是______；
（2）由函数图象可知，当时， 的值是___；
2
（3）当时，求 的值。
解：当时， ,
解得 。
返回
求一元一次方程
kx+b=0的解．
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y= kx+b
中y=0时x的值．
从“函数值”看
求一元一次方程
kx+b=0的解．
求直线y= kx+b
与 x 轴交点的横
坐标．
从“函数图象”看
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