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北师大（2024）版数学8年级上册
第三章 位置与坐标
3.2.1平面直角坐标系
行列定位法、方位角及距离定位法、经纬定位法、区域定位法
两个
一、导入：从旧知到新知的跨越
同学们，我们之前已经认识了有理数，谁能回忆一下：有理数包括什么？（等待学生回应）对，有理数是整数和分数的统称，它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，比如 3=3.0、1/3=0.\(\dot{3}\)。但数学世界里，是不是所有数都能这样表示呢？
其实在公元前 5 世纪的古希腊，毕达哥拉斯学派坚信 “万物皆数”，认为所有数都能表示为整数或整数之比。直到学派成员希帕索斯发现：边长为 1 的正方形，其对角线长度既不是整数也不是分数，这个新数就是我们今天熟知的√2。这个发现动摇了学派的信仰，引发了第一次数学危机，而希帕索斯也为真理付出了沉重代价。但正是这个 “叛逆” 的发现，让我们的数系从有理数拓展到了更完整的范围 —— 实数。
二、核心概念：什么是实数？
1. 无理数的定义
像√2 这样的数，它的小数部分是无限且不循环的，我们把这类无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：
开方开不尽的数，如√3、√5、-√7；
π 及含 π 的式子，如 π、2π、π-1（π≈3.14159265… 是无限不循环小数）；
有特殊结构的小数，如 0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多一个 0）。
这里要注意两个误区：带根号的数不一定是无理数，比如√9=3 是有理数；无理数也不一定带根号，比如 π 就是无理数。
2. 实数的定义
有理数和无理数统称为实数。也就是说，实数家族包含了我们之前学过的所有数，无论是整数、分数，还是√2、π 这样的新数，都属于实数的范畴。
三、实数的分类：两种常见方式
我们可以从不同角度对实数进行分类，核心原则是 “不重不漏”：
1. 按定义分类
实数 {
有理数 { 整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）} （有限小数或无限循环小数）
无理数 { 正无理数；负无理数 } （无限不循环小数）
}
2. 按性质（符号）分类
实数 {
正实数 { 正有理数；正无理数 }
0 （既不是正数也不是负数，是实数中的中性数）
负实数 { 负有理数；负无理数 }
}
举个例子：3（正有理数）、-√2（负无理数）、0（中性数）、π（正无理数）、-1/2（负有理数），这些都是实数家族的成员。
四、数形结合：实数与数轴的关系
我们知道，每个有理数都能在数轴上找到对应的点。那无理数呢？其实无理数也能在数轴上表示出来：
方法一：以数轴上的单位长度为边长作正方形，以原点为圆心、正方形对角线为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示√2，负半轴交点表示 -√2；
方法二：将直径为 1 的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上某点到达的位置就表示 π，向左滚动则表示 -π。
由此我们可以得出一个重要结论：实数与数轴上的点是一一对应的。这句话有两层含义：第一，每一个实数都能在数轴上找到唯一的点表示；第二，数轴上的每一个点都对应着唯一的实数。
利用这个关系，我们还能比较实数的大小：数轴上右边的点表示的实数，一定大于左边的点表示的实数。比如√2≈1.414，所以在数轴上表示√2 的点在 1 和 2 之间，且大于 1、小于 2。
五、实数的性质与运算
当数系扩充到实数后，有理数的一些性质和运算法则依然适用：
相反数、倒数、绝对值：与有理数的意义完全相同。比如√2 的相反数是 -√2，绝对值是√2；π 的倒数是 1/π；0 的绝对值还是 0。
运算规则：实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，非负数还能进行开平方运算，任意实数都能进行开立方运算。有理数的运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内同样成立。
运算顺序：先乘方、开方，再乘、除，最后加、减；同级运算从左到右，有括号先算括号里的。
六、课堂小结：构建实数知识网络
今天我们通过 “回顾旧知 — 发现新知 — 分类归纳 — 数形结合” 的思路，认识了实数：
核心概念：实数 = 有理数 + 无理数，无理数是无限不循环小数；
关键关系：实数与数轴上的点一一对应；
重要性质：有理数的运算律和相关概念在实数范围内仍然适用。
实数体系的建立，让我们的数系更加完整，也为后续学习函数、几何等知识打下了基础。希望大家能准确区分有理数和无理数，灵活运用实数的性质解决问题。
1．生活中，在平面内确定物体位置的方法都有哪些？
2．在平面内，确定一个物体的位置一般需要几个数据？
同学们，你们喜欢旅游吗？ 假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？下面给出一张某市旅游景点的示意图（如图3-4,）在科技大学的小亮
如何向来访的朋友介绍该市的几个风景
点的位置呢？
问题 如何确定直线上点的位置？
在直线上规定了原点、正方向、单位长度就构成了数轴.
数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫做这个点在数轴上的坐标． 例如点A在数轴上的坐标为-3，点B在数轴上的坐标为2.反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了.
·
单位长度
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
原点


A
B
小红
小明
小强
问题 如何确定平面上点的位置？
探究新知
如何确定平面上点的位置？
0
-3
-2
-1
-4
1
2
4
3
小红
小强
小明
0
-2
-1
1
2
4
3
（-2,3）
（0,0）
（3,2）
探究新知
你能帮在科技大学的小亮给来访的朋友介绍该市几个风景点的位置吗？
↑
北
你认为用哪种方法能比较准确又简单的表示各种景点的位置呢？
↑
北
探究新知
做一做
小红的方法:
(0，0)表示科技大学的位置，
钟 楼: ；
: ； 　　　
: . 　　　
(3, 5)
(5, 2)
(3, 8)
影月湖
大成殿
1
2
0
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
↑
北
(5，7)表示中心广
场的位置.
(1) 你是怎样确定各个景点位置的？
（3，1）
（－2，1）
（－2，－1）
（－1，－3）
（－4，－4）
1.你是怎样确定各个旅游景点的位置的？
2.“大成殿”在“中心广场”的西南各多少个小格？“碑林”在广场的东北各多少格？
3.如果中心广场为（0,0）你能表示出其他景点的位置吗？
问题 小丽能根据小明的提示从左图中找出图书馆的位置吗？
周末小明和小丽约好一起去图书馆学习.小明告诉小丽，图书馆在中山北路西边50米，人民西路北边30米的位置.
中山南路
人民东路
中山北路
人民西路
北
西
中山南路
人民东路
中山北路
人民西路
北
西
4.如果小明只说在“中山北路西边50米”，或只说在“人民西路北边30米”，你能找到吗？
1.小明是怎样描述图书馆的位置的？
2.小明可以省去“西边”和“北边”这几个字吗？
3.如果小明说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”，你能找到吗？
思考
x
y
o
30
20
10
20
10
-10
-20
-30
-40
-20
-50
-10
-70
-60
-50
-40
-30
-80
（-50,
北
西
30）
人民路
中山路
若将中山路与人民路看成两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系.
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
O
y
在平面内画两条互相垂直的数轴,构成平面直角坐标系.
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
竖直的叫y轴或纵轴；
y轴取向上为正方向
水平的叫x轴或横轴；x轴取向右为正方向
x轴与y轴的交点叫平面直角坐标系的原点.
x
O
下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ ）
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
x
y
（A）
3 2 1 -1 -2 -3
x
y
（B）
O
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
（C）
O
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
y
（D）
O
D
3
2
1
-1
-2
-3
问题1 在平面直角坐标系中，能用有序数对来表示图中点A的位置吗？
由点A分别向 x轴，y轴作垂线，垂足M在 x轴上的坐标是3，垂足N在 y轴上的坐标是4，有序数对（3，4）就叫做点A的坐标，其中3是横坐标，4是纵坐标．
注意：表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开．
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
5
4
3
2
1
-1
-2
O
y
A
（3，4）
问题2 如图，在平面直角坐标系中，点B，C，D的坐标分别是什么？
答：
B（-2，3），
C（4，-3），
D（-1，-4）．
问题3 如图，在平面直角坐标系中，你能分别写出点A，B，C，D的坐标吗？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？原点的坐标是什么？
答：
A（4，0），B（-2，0），
C（0，5），D（0，-3），
① x轴上的点的纵坐标为0，一般记为（x，0）；
② y轴上的点的横坐标为0，一般记为（0，y）；
③ 原点O的坐标是（0，0）．
写出下图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标.
-1
3
-1
O
A
B
C
E
F
D
1
2
3
4
-2
1
2
-2
-3
y
x
答案:
A（-2，0）,B（0，-3）
C（3，-3）,D（4，0）
E（3，3）,F（0，3）
例
写出图中点A、B、C、D，的坐标.
答：A（4，3），
B（-2，3），
C（-4，-1），
D（2，-2）.
3
1
4
2
5
-2
-1
-3
O
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
y
·
B
·
A
·
D
·
C
在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域.
提示：坐标轴上的点不属于任何一个象限.
知识点 3
探究新知
平面直角坐标系内点的坐标性质
分别称为第一，二，三，
四象限.
观察坐标系,填写各象限内的点的坐标的特征：
点的位置 横坐标的符号 纵坐标
的符号
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
+
+
+
-
-
-
+
-
A
y
O
x
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-4
B
C
D
E
讨论 不看平面直角坐标系,你能迅速说出A(4,5) ,B(-2,3),
C(-4,-1),D(2.5,-2),E(0,-4)所在的象限吗？你的方法又是什么？
探究新知
点的位置 横坐标的符号 纵坐标的
符号
在x轴的正半轴上
在x轴的负半轴上
在y轴的正半轴上
在y轴的负半轴上
0
+
+
-
-
0
0
0
讨论 不看平面直角坐标系,你能迅速说出A(4,0),B(0,3),
C(-4,0),E(0,-4),O(0,0)所在的位置吗？你的方法又是什么？
A
y
O
x
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-4
B
C
E
观察坐标系,填写坐标轴上的点的坐标的特征：
探究新知
思考 坐标平面内的点与有序数对(坐标)是什么关系
类似数轴上的点与实数是一一对应的.我们可以得出：
①对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数对(x,y) (即点M的坐标）和它对应；
②反过来，对于任意一对有序实数对(x,y),在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x,y)的点）和它对应.
也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
探究新知
例 在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限. A(5，4)，B(-3，4)，C (-4 ，-1)，D(2，-4).
探究新知
素养考点 1
在平面直角坐标系内确定已知点
y
5
-5
-2
-4
-1
2
3
1
-6
6
4
-5
5
-3
-4
4
-2
3
-1
2
1
-6
6
x
-3
A
(5,4)
O
B
(-3,4)
C
(-4,-1)
D
(2,-4)
解：如图，先在x 轴上找到表示5的点，再在y 轴上找出表示4 的点，过这两个点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂线的交点就是点A. 类似地，其他各点的位置如图所示.点A 在第一象限，点B 在第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限.
知识点1 平面直角坐标系及相关概念
1.下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.如图所示，轴、 轴把平面直角坐标系分成四部分，则②是( )
A
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
返回
知识点2 点的坐标与平面内点的对应性
3.已知点在第一象限，并且它到轴的距离为1，到 轴的距离为2，则
点 的坐标为( )
B
A. B. C. D.
返回
4.如图，在平面直角坐标系中，有,,, 四
个点，点的坐标是______，点 的横坐标是
___，纵坐标是____，横坐标和纵坐标都是负
数的是点___，坐标是 的是点___，在
第____象限。
3
二
返回
5.下列说法正确的是( )
B
A.和 表示的位置相同
B.和 是表示不同位置的两个有序实数对
C.和 表示两个不同的位置
D.和 表示的位置一定不同
返回
6.［教材 操作·思考变式］ 在如图所示的平面直角坐标系中，把以下
各点描出来，并顺次连接点，，，，，， 。
，，，，， 。
解：如图所示。
返回
7.［教材例1变式］ 如图，给出格点三角形
（三角形的各个顶点都在格点上）。
（1）写出 各顶点的坐标；
解：，， 。
（2）求出 的面积。
解： 。
返回
平面直角坐标系及点的坐标
定义：原点、坐标轴
点的坐标
定义与符号特征
点的坐标的确定
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