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北师大（2024）版数学8年级上册
第三章 位置与坐标
3.1 确定位置
回顾一下在数轴上是如何确定点的位置的？
一、导入：从旧知到新知的跨越
同学们，我们之前已经认识了有理数，谁能回忆一下：有理数包括什么？（等待学生回应）对，有理数是整数和分数的统称，它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，比如 3=3.0、1/3=0.\(\dot{3}\)。但数学世界里，是不是所有数都能这样表示呢？
其实在公元前 5 世纪的古希腊，毕达哥拉斯学派坚信 “万物皆数”，认为所有数都能表示为整数或整数之比。直到学派成员希帕索斯发现：边长为 1 的正方形，其对角线长度既不是整数也不是分数，这个新数就是我们今天熟知的√2。这个发现动摇了学派的信仰，引发了第一次数学危机，而希帕索斯也为真理付出了沉重代价。但正是这个 “叛逆” 的发现，让我们的数系从有理数拓展到了更完整的范围 —— 实数。
二、核心概念：什么是实数？
1. 无理数的定义
像√2 这样的数，它的小数部分是无限且不循环的，我们把这类无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：
开方开不尽的数，如√3、√5、-√7；
π 及含 π 的式子，如 π、2π、π-1（π≈3.14159265… 是无限不循环小数）；
有特殊结构的小数，如 0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多一个 0）。
这里要注意两个误区：带根号的数不一定是无理数，比如√9=3 是有理数；无理数也不一定带根号，比如 π 就是无理数。
2. 实数的定义
有理数和无理数统称为实数。也就是说，实数家族包含了我们之前学过的所有数，无论是整数、分数，还是√2、π 这样的新数，都属于实数的范畴。
三、实数的分类：两种常见方式
我们可以从不同角度对实数进行分类，核心原则是 “不重不漏”：
1. 按定义分类
实数 {
有理数 { 整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）} （有限小数或无限循环小数）
无理数 { 正无理数；负无理数 } （无限不循环小数）
}
2. 按性质（符号）分类
实数 {
正实数 { 正有理数；正无理数 }
0 （既不是正数也不是负数，是实数中的中性数）
负实数 { 负有理数；负无理数 }
}
举个例子：3（正有理数）、-√2（负无理数）、0（中性数）、π（正无理数）、-1/2（负有理数），这些都是实数家族的成员。
四、数形结合：实数与数轴的关系
我们知道，每个有理数都能在数轴上找到对应的点。那无理数呢？其实无理数也能在数轴上表示出来：
方法一：以数轴上的单位长度为边长作正方形，以原点为圆心、正方形对角线为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示√2，负半轴交点表示 -√2；
方法二：将直径为 1 的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上某点到达的位置就表示 π，向左滚动则表示 -π。
由此我们可以得出一个重要结论：实数与数轴上的点是一一对应的。这句话有两层含义：第一，每一个实数都能在数轴上找到唯一的点表示；第二，数轴上的每一个点都对应着唯一的实数。
利用这个关系，我们还能比较实数的大小：数轴上右边的点表示的实数，一定大于左边的点表示的实数。比如√2≈1.414，所以在数轴上表示√2 的点在 1 和 2 之间，且大于 1、小于 2。
五、实数的性质与运算
当数系扩充到实数后，有理数的一些性质和运算法则依然适用：
相反数、倒数、绝对值：与有理数的意义完全相同。比如√2 的相反数是 -√2，绝对值是√2；π 的倒数是 1/π；0 的绝对值还是 0。
运算规则：实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，非负数还能进行开平方运算，任意实数都能进行开立方运算。有理数的运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内同样成立。
运算顺序：先乘方、开方，再乘、除，最后加、减；同级运算从左到右，有括号先算括号里的。
六、课堂小结：构建实数知识网络
今天我们通过 “回顾旧知 — 发现新知 — 分类归纳 — 数形结合” 的思路，认识了实数：
核心概念：实数 = 有理数 + 无理数，无理数是无限不循环小数；
关键关系：实数与数轴上的点一一对应；
重要性质：有理数的运算律和相关概念在实数范围内仍然适用。
实数体系的建立，让我们的数系更加完整，也为后续学习函数、几何等知识打下了基础。希望大家能准确区分有理数和无理数，灵活运用实数的性质解决问题。
在数轴上每个点都对应一个实数，实数与数轴上点的位置是一一对应的．
在电影院内如何找到电影票上指定的位置？
游戏：沙场点兵
游戏规则：给出一有序数对，该位置上的同学起立并喊“到”.
（2，4）
（4，2）
（5，8）
（1，5）
（3，6）
（1，7）
问题1 同学们都有去影剧院看电影的经历，你怎么找到自己的座位？
　　根据入场卷上的“排数”和“号数”便可以准确地“对号入座”．
追问 在只有一层的电影院内，确定一个座位一般需要几
个数据？
答:两个数据:排数和号数.
问题2 你若发现一本书某页有一处印刷错误，怎样告诉其他同学这一处的位置？
　　说明该页上“第几行”和“第几个字”，同学就可以快速找到错误的位置了．
追问 在一本书的一页内，确定一个字的位置一般需要几个数据？
答:两个数据:行数和个数.
问题3 如图是一个教室平面图，你能根据以下座位找到对应的同学参加数学问题讨论吗？
（1，3），（4，2），
（5，6），（4，5），
（6，2），（2，4）．
　　在教室里排数与列数的先后顺序没有约定的情况下，不能确定参加数学问题讨论的同学.
探究新知
追问1 假设在问题3中约定“列数在前，排数在后”，你能在图中标出参加数学问题讨论的同学的座位吗？
追问2 由上面可知，“第1列第3排”简记为（1，3）（约定列在前，排在后），那么“第3列第5排”能简记成什么？（6，7）表示的含义是什么？
答：“第3列第5排” 记为（3，5）；（6，7）表示的含义是第6列第7排．
追问3 同样约定“列数在前，排数在后”，（2，4）和（4，2）在同一个位置吗？
答：二者不在同一个位置．因为（2，4）表示第2列第4排，（4，2）表示第4列第2排．
追问4 假设在问题3中约定“排数在前，列数在后”，你能在图中标出参加数学问题讨论的同学的座位吗？
　 上面的活动是通过像“第2列第4排、第5列第6排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前边的表示列，后边的表示排，我们把这种有顺序的两个数 a与b 所组成的数对，记作（a， b）．
问题4 现在给出班里一部分同学的姓名，约定“列数在前，排数在后”，你能快速说出这些同学座位对应的有序数对吗？
追问 如果约定“排数在前，列数在后”，刚才那些同学对应的有序数对会变化吗？
我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，记做（a, b）.
数对的概念
提示:（a,b）与（ b,a）是两个不同的数据.
做一做 “怪兽吃豆豆”是一种计算机游戏，图中的●标志表示“怪兽”先后经过的几个位置，如果用(1,2)表示“怪兽”经过的第2个位置，那么你能用同样的方式表示出图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
排
列
(3,2)
(4,3)
(3,3)
(4,5)
(5,4)
(5,5)
(7,4)
(7,3)
(8,3)
(1,1)
(1,2)
在生活中,哪些娱乐、学习等用到确定物体的位置方法呢
右图：若黑马的位置用（3，7）表示，请你用有序数对表示黑马可以走到的哪几个位置.
（1，6）
（1，8）
（2，9）
（4，9）
（5，6）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
A
B
C
D
E
F
G
　（1）图中五角星五个顶点的位置如何表示？
C点是(7，10)
D点是(3，7)
E点是(4，2)
F点是(10，2)
G点是(11，7)
（2）图中(6，1)，(10，8)，位置上分别是什么物体？
分别表示足球和草莓.
答:
（1）
（2）
如图，是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图（图中1cm表示20 n mile），对我方潜艇O来说：
O
例
知识点 2
用方位角、距离确定位置

敌方
舰艇 C
敌方
舰艇 A
敌方舰艇 B
小岛
40
O
1cm
1cm
(1) 北偏东40°的方向上有哪些目标 要想确定敌舰B的位置,还需要什么数据
解:有敌方舰艇B和小岛；还需要敌方舰艇B与我方潜艇O的距离.
(2) 距离我方潜艇20 n mile的敌舰有哪几艘
解:有敌舰A和敌舰C.
解:要确定每艘敌舰的位置，各需要两个数据：距离和方位角.如，对我方潜艇O来说，敌舰A在正南方向，距离为20 n mile处；敌舰B在北偏东40°的方向，距离为28 n mile处；敌舰C在正东方向，
距离为20 n mile处.

敌方
舰艇 C
敌方
舰艇 A
敌方舰艇 B
40
O
1cm
1cm
(3) 要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据
1.4cm
如图，货轮与灯塔相距40n mile,如何用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置？反过来，如何用方向和距离描述货轮相对于灯塔的位置？
北
50°
解：(1)灯塔在货轮南偏东50°方向，且相距40n mile；
(2)货轮在灯塔北偏西50°方向，且相距40n mile.
5 可 明 喜 万 女
4 中 我 的 常 学
3 爱 数 天 唱 活
2 球 里 非 生 大
1 欢 孩 打 习 歌
A B C D E
区 域 划 分
若用C3表示“天”，请按下列顺序组成两句话：
① B4 A3 B3 E4
② B4 C2 D4 C5 A1 D3 E1
答案:
①我爱数学
②我非常喜欢唱歌
知识点 3
用区域法确定位置
5 预 明 满 万 次
4 中 活 此 成 学
3 祝 英 天 ！ 动
2 球 里 区 生 大
1 功 片 打 习 圆
A B C D E
如右图，方块中用(C,3)表示“天”那么按下列要求排列会组成一句什么话，把它读出来.
(A,5 ) (A,3) (C,4 ) (E,5 ) (B,1) (C,2) (B,4)
(E,3) (E,1) (C,5) (D,4) (A,1) (D,3)
预
祝
此
次
片
区
活
动
圆
满
成
功
！
解：
讨论 在地球上如何确定城市的位置？
在地球上有横线和竖线，连接两极点的竖线叫经线，垂直于经线的横线圈为纬线.根据经纬线可以确定地球上任何一点的正确位置.
知识点 4
用经纬法确定位置
做一做 据新华社报道，2008年5月12日 14:28，我国四川省发生里氏8.0级强烈地震，震中位于阿坝州汶川县境内，即北纬31 ，东经 103.4 .这是新中国成立以来破坏最强、波及范围最大的一次地震.你能在地图上找到震中的大致位置吗？
北京：
东经116°
北纬40°
在图上，你能指出北京的位置吗？
知识点1 行列定位法
1.［2025陕西师大附中月考］如果用 表示2街5巷的十字路口，那么
表示的十字路口是( )
B
A.3街3巷 B.6街3巷 C.3街6巷 D.6街6巷
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2.如图，的顶点用数对表示，那么顶点 用数对
（___，___）表示，顶点 用数对（___，___）表示。
5
7
5
4
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知识点2 方位角和距离定位法
3.点的位置如图所示，则下列对点 位置的描述最确切的是( )
D
（第3题）
A.距点 处
B.北偏东 方向上 处
C.在点北偏东 方向上 处
D.在点北偏东 方向上 处
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4.如图，一艘船在处遇险后向相距80海里位于 处的救生船报警。用方
向和距离描述处相对于 处的位置是______________________。
北偏东 ，80海里处
（第4题）
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知识点3 经纬度定位法
5.［教材习题变式］ 地在地球上的位置
如图所示，则 地的位置是( )
C
A.东经 ，北纬
B.东经 ，北纬
C.东经 ，北纬
D.东经 ，北纬
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知识点4 区域定位法
6.如下表，若田径场的位置可以表示为 区，则办公楼的位置可以表示
为( )
序号 1 2 3 4
田径场 喷泉 教学楼 实验楼
篮球场 办公楼 食堂 宿舍楼
A
A.区 B.区 C.区 D. 区
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7. 如图，已知字母对应的有序数对为 ，有一个
英文单词的字母依次对应的有序数对分别为，， ，
， ，这个英文单词是________。
（第7题）
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确定位置
数对法
方位法
经纬度法
区域定位法
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