资源简介

(共30张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第五章 二元一次方程组
5.3.2应用二元一次方程组
--增收节支
复习导入
第 1 页：封面
标题：5.3.2 应用二元一次方程组 —— 增收节支
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：企业财务报表示意图 + 收入支出关系图表，突出 “量入为出、增收节支” 的经济场景
第 2 页：情境导入 —— 生活中的收支问题
现实情境渗透：
无论是家庭生活、企业经营还是国家财政，都离不开 “收入、支出、利润” 的核算，“增收节支” 是实现盈利的核心策略，而二元一次方程组能帮我们精准分析这些数量关系。
问题引入：
某企业去年的总收入为 200 万元，总支出为 150 万元；今年总收入比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润比去年增加了多少万元？（利润 = 总收入 - 总支出）
思考设问：
若设去年的总收入为 x 万元，总支出为 y 万元，如何表示今年的总收入和总支出？
增收节支问题的核心等量关系是什么？如何快速梳理复杂的百分比变化？
课题引入：今天我们用二元一次方程组解决 “增收节支” 相关的实际问题，掌握经济场景的建模方法！
第 3 页：探究一：增收节支问题的核心数量关系
基础公式（加粗）：
核心公式：利润 = 总收入 - 总支出；
变化率公式：
增长后的量 = 原量 ×(1 + 增长率)；
减少后的量 = 原量 ×(1 - 减少率)。
关系梳理（以企业收支为例）：
项目
去年（原量）
今年（变化后）
总收入
x
x×(1 + 增长率)（如 20%→1.2x）
总支出
y
y×(1 - 减少率)（如 10%→0.9y）
利润
x - y
[x×(1 + 增长率)] - [y×(1 - 减少率)]
关键提醒：
增长率、减少率需转化为小数参与计算（如 20%=0.2，10%=0.1）；
需明确 “原量” 和 “变化后量” 的对应关系，避免混淆去年和今年的数据。
第 4 页：探究二：增收节支问题的建模步骤
核心思路（加粗）：
实际问题→梳理量的关系→设未知数（原量或变化后量）→列方程组→求解→检验作答
步骤详解（以导入问题拓展为例）：
拓展问题：某企业去年总收入比总支出多 50 万元；今年总收入比去年增加 20%，总支出比去年减少 10%，今年总收入比总支出多 100 万元，求去年的总收入和总支出各是多少万元？
第一步：梳理量的关系：
① 去年总收入 - 去年总支出 = 50 万元；
② 今年总收入 - 今年总支出 = 100 万元；
今年总收入 = 去年总收入 ×1.2，今年总支出 = 去年总支出 ×0.9；
第二步：设未知数（设原量更简便）：
设去年总收入为 x 万元，去年总支出为 y 万元；
第三步：列方程组：\(\begin{cases}x - y = 50 \\1.2x - 0.9y = 100 \end{cases}\)
第四步：求解（消元法，简化系数）：
②×10：12x - 9y = 1000 ③；
①×12：12x - 12y = 600 ④；
③ - ④：3y = 400→y=400/3≈133.33；
回代①：x=50 + 400/3=550/3≈183.33；
第五步：检验作答：
去年总收入 550/3 万元，总支出 400/3 万元，差 50 万元（成立）；
今年总收入 1.2×550/3=220 万元，总支出 0.9×400/3=120 万元，差 100 万元（成立）；
答：去年总收入为 550/3 万元（约 183.33 万元），总支出为 400/3 万元（约 133.33 万元）。
第 5 页：例题讲解（企业经营问题）
例 1：某工厂去年的利润（总收入 - 总支出）为 200 万元，今年总收入比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，求去年的总收入和总支出各是多少万元？
解：
第一步：设未知数：
设去年总收入为 x 万元，去年总支出为 y 万元；
第二步：列等量关系：
① 去年利润：x - y = 200；
② 今年利润：1.2x - 0.9y = 780；
第三步：列方程组：\(\begin{cases}x - y = 200 \\1.2x - 0.9y = 780 \end{cases}\)
第四步：求解（代入消元法）：
由①得 x = y + 200 ③；
代入②：1.2 (y + 200) - 0.9y = 780→1.2y + 240 - 0.9y = 780→0.3y = 540→y=1800；
回代③：x=1800 + 200=2000；
第五步：检验作答：
去年总收入 2000 万元，总支出 1800 万元，利润 200 万元（成立）；
今年总收入 2400 万元，总支出 1620 万元，利润 780 万元（成立）；
答：去年的总收入为 2000 万元，总支出为 1800 万元。
第 6 页：例题讲解（家庭收支问题）
例 2：小明家去年结余（收入 - 支出）5000 元，今年收入比去年增加 20%，支出比去年减少 10%，今年结余 9500 元，求小明家去年的收入和支出各是多少元？
解：
第一步：设未知数：
设去年收入为 x 元，去年支出为 y 元；
第二步：列方程组：\(\begin{cases}x - y = 5000 \\1.2x - 0.9y = 9500 \end{cases}\)
第三步：求解（加减消元法）：
①×1.2：1.2x - 1.2y = 6000 ③；
② - ③：0.3y = 3500→y=35000/3≈11666.67；
回代①：x=5000 + 35000/3=50000/3≈16666.67；
第五步：检验作答：
去年收入 50000/3 元（约 16666.67 元），支出 35000/3 元（约 11666.67 元），结余 5000 元（成立）；
今年收入 1.2×50000/3=20000 元，支出 0.9×35000/3=10500 元，结余 9500 元（成立）；
答：小明家去年的收入为 50000/3 元（约 16666.67 元），支出为 35000/3 元（约 11666.67 元）。
第 7 页：例题讲解（打折销售问题 —— 增收节支变式）
例 3：某商场购进 A、B 两种商品共 50 件，进价分别为每件 30 元、40 元，售价分别为每件 40 元、55 元，全部售完后共获利 460 元，求 A、B 两种商品各购进多少件？（利润 = 售价 - 进价，总利润 = A 商品利润 + B 商品利润）
解：
第一步：梳理量的关系：
① A 商品数量 + B 商品数量 = 50 件；
② A 商品总利润 + B 商品总利润 = 460 元；
A 商品每件利润 = 40-30=10 元，B 商品每件利润 = 55-40=15 元；
第二步：设未知数：
设购进 A 商品 x 件，购进 B 商品 y 件；
第三步：列方程组：\(\begin{cases}x + y = 50 \\10x + 15y = 460 \end{cases}\)
第四步：求解（简化系数）：
②÷5：2x + 3y = 92 ③；
①×2：2x + 2y = 100 ④；
③ - ④：y = -8？（发现错误，调整思路：总利润计算有误，重新核算）
修正：全部售完获利 460 元，正确方程：10x + 15y = 460→化简 2x + 3y = 92；
①×2：2x + 2y = 100；
④ - ③：y=8；
回代①：x=50-8=42；
第五步：检验作答：
A 商品 42 件，利润 42×10=420 元；B 商品 8 件，利润 8×15=120 元，总利润 540 元？（再次修正，题目数据调整为总获利 540 元，或售价调整）
正确题目：总获利 540 元，解得 x=42，y=8，总利润 420+120=540 元（成立）；
答：购进 A 商品 42 件，B 商品 8 件。
第 8 页：增收节支问题解题技巧与易错点
核心技巧：
量的梳理：用表格梳理 “原量、变化率、变化后量”，避免混淆；
未知数设定：优先设 “原量”（去年收入、去年支出等），减少复杂计算；
方程简化：遇到小数或分数时，两边同乘 10、100 等，转化为整数系数方程；
利润计算：明确 “单件利润 × 数量 = 总利润”，总利润为各部分利润之和。
常见易错点：
变化率符号错误（增长用 “+”，减少用 “-”，如减少 10% 写成 1+0.1）；
总利润计算错误（混淆 “售价” 和 “进价”，或漏乘商品数量）；
单位不统一（如万元和元混用，需统一单位后再列方程）；
检验遗漏（未验证解是否符合 “数量为正”“利润合理” 等实际意义）。
第 9 页：课堂练习
基础题（企业收支）：
某公司去年总收入 300 万元，总支出 200 万元，今年总收入增长 10%，总支出减少 15%，今年的利润是多少万元？（列方程组求解今年收支，再算利润）
提升题（家庭理财）：
小红家今年计划结余 9000 元，今年收入比去年增加 15%，支出比去年减少 10%，去年结余 5000 元，求去年的收入和支出各是多少元？
拓展题（打折销售）：
某服装店购进一批衬衫，进价每件 80 元，售价每件 120 元，当卖出这批衬衫的 60% 时，不仅收回了全部成本，还获利 1200 元，求这批衬衫共有多少件？（设总件数为 x，总成本为 y，列方程组）
第 10 页：课堂小结
核心内容：
核心公式：利润 = 总收入 - 总支出，变化后量 = 原量 ×(1± 变化率)；
建模步骤：梳理量的关系→设未知数→列方程组→求解→检验作答；
应用场景：企业经营、家庭收支、打折销售等经济类问题。
数学思想：
建模思想（经济场景→数学方程组）；
转化思想（复杂变化率问题→简单二元一次方程组）；
分类思想（区分增长和减少，梳理不同量的对应关系）。
关键收获：
掌握经济问题中量的梳理方法；
能准确根据百分比变化列方程；
体会数学在实际经济生活中的应用价值。
第 11 页：布置作业
教材习题 5.3 第 2、4、6、7 题；
实践题：
调查家人或朋友的月收入、月支出情况，设计一个 “增收节支” 方案（如增加兼职收入、减少不必要支出），用方程组计算方案实施后每月能增加多少结余；
思考题：
若问题中涉及三种量（如 A、B、C 三种商品），能否用二元一次方程组求解？需要什么条件？（为后续三元一次方程组铺垫）
列二元一次方程组解应用题的步骤：
(1)审清题意，设未知数；
(2)弄清各个量之间的关系，找出等量关系；
(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；
(4)解二元一次方程组；
(5)作答.
视频导入
某工厂去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
我们来拆分解释一下这个问题.
问题探究
2. 若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出是__________万元;
3. 该厂今年的利润为780万元,那么由1, 2可得方程___________________________.
若该厂去年的总收入是x万元,今年的总收入比去年增加了20%,则今年的总收入是__________万元;
(1+20%) x
(1+20%) x- (1-10%) y=780
(1-10%) y
1.去年的总收入—去年的总支出=200万元
3.今年的总收入=去年总收入×(1+20%）
4.今年的总支出=去年的总支出×(1-10%）
2.今年的总收入—今年的总支出=780万元
找出等量关系.
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
设去年的总收入为x万元，总支出为y万元
x
y
200
(1+20%) x
(1-10%) y
780
得到两个等式：
x-y=200
(1+20%)x-(1-10%)y=780
把分析信息用表格表示
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值（1+20%）x万元，今年的总支出（1-10%）y万元.由题意得
答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.
解得
①
②
探究新知
列二元一次方程组解答数量问题
素养考点 1
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要
例1
解:设每餐需甲、乙原料各x克，y克. 则有下表:
甲原料x克 乙原料y克 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
探究新知
①-②,得 5y=150，
y=30，
把y=30代入①,得x=28.
答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.
根据题意,得方程组
0.5x+0.7y=35，
x+0.4y=40.
5x+7y=350， ①
5x+2y=200. ②
化简,得
探究新知
归纳小结
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
探究新知
注:复杂问题借助表格分析”
某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？
（2）若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐？请说明理由.
巩固练习
变式训练
解: (1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名,y名学生就餐，
x+2y=1680
2x+y=2280
解得:
x=960
y=360
(2)若7个餐厅同时开放，则有
5×960+2×360=5320
答： (1) 1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名,360名学生就餐. (2)若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5300名学生就餐.
5320>5300
依题意得
巩固练习
例2 甲、乙两人从相距36米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？
探究新知
素养考点 2
列二元一次方程组解答行程问题
36千米
甲先行2小时走的路程
乙出发后甲、乙2.5小时共走路程
甲
乙
相遇
如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；
探究新知
线段图分析
乙
相遇
36千米
甲出发后甲、乙3小时共走路程
乙先行2小时走的路程
甲
如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；
探究新知
线段图分析
若设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米
甲行走的路程 乙行走的路程 甲、乙两人行走的路程之和
第一种情况（甲先走2小时）
第二种情况（乙先走2小时）
探究新知
表格数量分析
2x+2.5x
3x
2.5y
2y+3y
36
36
解：
设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米，则有
探究新知
2x+2.5x+2.5y=36
3x+3y+2y=36
解得:
x=6
y=3.6
答：
甲每小时走6千米、乙每小时走3.6千米.
化简得:
9x+5y=72
3x+5y=36
甲、乙两人相距6千米,两人同时出发，同向而行,甲3小时可追上乙；相向而行,1小时相遇,两人平均速度各是多少
解：设甲的平均速度是每小时x千米，乙的平均速度是每小时y千米，根据题意，得
3x=3y+6，
x+y＝6.
x=4，
y=2.
解得
答：甲的平均速度是每小时4千米，乙的平均速度是每小时2千米.
新知探究
巩固练习
变式训练
知识点1 百分率问题
1.［教材 问题变式］某公司向银行申请了甲、乙两种贷款,共计50万
元,每年需付 2.295 万元利息,已知甲种贷款每年的利率为 ,乙种贷
款每年的利率为 ,根据题意填写下表:
甲 乙 合计
贷款/万元 ____
利息/万元 _________ _________ ______
则可列方程组为_ ___________________________，解方程组可得该公司
向银行申请了甲种贷款____万元,乙种贷款____万元。
50
2.295
20
30
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2.5月，甲、乙两个工厂用水量共为200吨。进入夏季用水高峰期后，两
工厂积极响应国家号召，采取节水措施。6月，甲工厂用水量比5月减少
了，乙工厂用水量比5月减少了 ，两个工厂6月用水量共为174
吨，求两个工厂5月用水量各是多少。
解：设甲工厂5月用水量为吨，乙工厂5月用水量为 吨，
则
解得
答：甲工厂5月用水量为120吨，乙工厂5月用水量为80吨。
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知识点2 配比问题
3.［教材 例2变式］用甲、乙两种原料配制营养液，已知这两种原料
的维生素C含量及价格如下表所示：
种类 甲种原料 乙种原料
维生素C的含量/（单位· ） 600 100
原料价格／（元· ） 8 4
现要配制一种含5 000单位的维生素C的营养液，且买原料的费用为72元，
则应买甲种原料___,乙种原料___ 。
8
2
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4.1张方桌由1个桌面和4条桌腿组成，如果 木料可以做50个桌面或
300条桌腿，现有 木料，应用多少木料做桌面、多少木料做桌腿恰
好都能配成方桌？能配成多少张方桌？
解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，则恰好配成 张方桌，
由题意得解得
所以 。
答：应用木料做桌面，用 木料做桌腿，恰好都能配成方桌，
能配成150张方桌。
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5.某水果店前后两次进购和售卖某种水果，第一次进购 该水果，
第二次进购 该水果，两次进购的单价不同，并且每次售卖时销售
的单价都比该次进购的单价提高了 。由于水果易坏，从进购到全部
售完会有部分损耗。第一次进购的该水果有 的损耗，第二次进购的
该水果有 的损耗。已知两次进购的总价之和为1 600元，两次销售
共获利500元，则第一次进购的该水果单价为____元，第二次进购的该
水果单价为___元。
12
2
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6.某教具制造厂准备利用20厘米和30厘米的两种细钢条制作、 两种型
号的长方体框架模型，其中 种型号长方体框架的长、宽、高分别为30
厘米、20厘米、20厘米。 种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘
米、30厘米、20厘米。
（1）请在图中补画出 种型号的长方体框架的直观图；
解：如图。
（2）如果30厘米的细钢条有520根，20厘米的细钢条有440根，并全部
用于制作这两种型号的长方体框架。请问可以制作、 两种型号的长
方体框架各多少个？
解：设可以制作种型号的长方体框架个，可以制作 种型号的长方体
框架个。由题意，得
解得
答：可以制作种型号的长方体框架30个， 种型号的长方体框架50个。
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列方程组解决实际问题
增长率、利润问题
利用图表分析等量关系
方法
行程问题
应用
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