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北师大（2024）版数学8年级上册
第二章 实数
2.3.6 二次根式的加减
1．二次根式的定义是什么？
2．最简二次根式的定义是什么？
一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式
一、导入：从旧知到新知的跨越
同学们，我们之前已经认识了有理数，谁能回忆一下：有理数包括什么？（等待学生回应）对，有理数是整数和分数的统称，它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，比如 3=3.0、1/3=0.\(\dot{3}\)。但数学世界里，是不是所有数都能这样表示呢？
其实在公元前 5 世纪的古希腊，毕达哥拉斯学派坚信 “万物皆数”，认为所有数都能表示为整数或整数之比。直到学派成员希帕索斯发现：边长为 1 的正方形，其对角线长度既不是整数也不是分数，这个新数就是我们今天熟知的√2。这个发现动摇了学派的信仰，引发了第一次数学危机，而希帕索斯也为真理付出了沉重代价。但正是这个 “叛逆” 的发现，让我们的数系从有理数拓展到了更完整的范围 —— 实数。
二、核心概念：什么是实数？
1. 无理数的定义
像√2 这样的数，它的小数部分是无限且不循环的，我们把这类无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：
开方开不尽的数，如√3、√5、-√7；
π 及含 π 的式子，如 π、2π、π-1（π≈3.14159265… 是无限不循环小数）；
有特殊结构的小数，如 0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多一个 0）。
这里要注意两个误区：带根号的数不一定是无理数，比如√9=3 是有理数；无理数也不一定带根号，比如 π 就是无理数。
2. 实数的定义
有理数和无理数统称为实数。也就是说，实数家族包含了我们之前学过的所有数，无论是整数、分数，还是√2、π 这样的新数，都属于实数的范畴。
三、实数的分类：两种常见方式
我们可以从不同角度对实数进行分类，核心原则是 “不重不漏”：
1. 按定义分类
实数 {
有理数 { 整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）} （有限小数或无限循环小数）
无理数 { 正无理数；负无理数 } （无限不循环小数）
}
2. 按性质（符号）分类
实数 {
正实数 { 正有理数；正无理数 }
0 （既不是正数也不是负数，是实数中的中性数）
负实数 { 负有理数；负无理数 }
}
举个例子：3（正有理数）、-√2（负无理数）、0（中性数）、π（正无理数）、-1/2（负有理数），这些都是实数家族的成员。
四、数形结合：实数与数轴的关系
我们知道，每个有理数都能在数轴上找到对应的点。那无理数呢？其实无理数也能在数轴上表示出来：
方法一：以数轴上的单位长度为边长作正方形，以原点为圆心、正方形对角线为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示√2，负半轴交点表示 -√2；
方法二：将直径为 1 的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上某点到达的位置就表示 π，向左滚动则表示 -π。
由此我们可以得出一个重要结论：实数与数轴上的点是一一对应的。这句话有两层含义：第一，每一个实数都能在数轴上找到唯一的点表示；第二，数轴上的每一个点都对应着唯一的实数。
利用这个关系，我们还能比较实数的大小：数轴上右边的点表示的实数，一定大于左边的点表示的实数。比如√2≈1.414，所以在数轴上表示√2 的点在 1 和 2 之间，且大于 1、小于 2。
五、实数的性质与运算
当数系扩充到实数后，有理数的一些性质和运算法则依然适用：
相反数、倒数、绝对值：与有理数的意义完全相同。比如√2 的相反数是 -√2，绝对值是√2；π 的倒数是 1/π；0 的绝对值还是 0。
运算规则：实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，非负数还能进行开平方运算，任意实数都能进行开立方运算。有理数的运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内同样成立。
运算顺序：先乘方、开方，再乘、除，最后加、减；同级运算从左到右，有括号先算括号里的。
六、课堂小结：构建实数知识网络
今天我们通过 “回顾旧知 — 发现新知 — 分类归纳 — 数形结合” 的思路，认识了实数：
核心概念：实数 = 有理数 + 无理数，无理数是无限不循环小数；
关键关系：实数与数轴上的点一一对应；
重要性质：有理数的运算律和相关概念在实数范围内仍然适用。
实数体系的建立，让我们的数系更加完整，也为后续学习函数、几何等知识打下了基础。希望大家能准确区分有理数和无理数，灵活运用实数的性质解决问题。
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式
如图，学校要砌一个正方形花坛，已知外边的正方形边长为2cm，里面的正方形的边长为 cm，两个正方形的周长和为多少？
两个正方形的周长和为：
（2）x2+2x2+4y= ;
1.（1）3x2+2x2= ;
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
解：
答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并.
5x2
3x2+4y
3. 能不能再进行计算 为什么
解：(1)原式=
计算:
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
例1
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
=13-9=4
=6-5=1
解：(5)原式=
(6)原式=
（5）
（6）
=2+3=5
=6-1=5
下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
B
计算：
解:
（1）原式
（2）原式
（3）原式
例2
完成下列计算.
解：
（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
二次根式的加减法法则
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.
2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.
提示
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
二次根
式性质
分配律
整式加
减法则
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
1. ＝（　　）
A． B．4 C． D．
2. 一个长方形的长和宽分别为 和 ，则这个长方形的面积为_________．
B
1.化简 的结果是（　　）
A．9 B．3 C． D．
A. B.
C. D.
B
2.下面计算结果正确的是 ( )
D
3. 计算：
（4） =______
5
（5） =______
（6） =______
-1
（1） =______
（3） =______
（2） =______
4. 计算：
解：
（1）
（2）
5.计算：
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
知识点1 二次根式的性质
1.计算：
（1）____×____ ____；
16
（2） 。
25
9
4
3
12
64
5
8
返回
2.下列式子正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
3.化简：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式 。
返回
知识点2 最简二次根式
4.［2025咸阳月考］下列是最简二次根式的是( )
C
A. B. C. D.
返回
5. 若是最简二次根式，则 的值可以是________
_______________。
5
（答案不唯一）
返回
6.把下列二次根式化成最简二次根式：
（1） ；
解：原式 。
（2） ;
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） ；
解：原式 。
（5） ；
解：原式 。
（6） 。
解：原式 。
返回
知识点3 二次根式的加减
7.计算：
（1）（______） _____；
3
2
（2）____-____（________） ____。
3
2
3
返回
8.下列二次根式中，能与 加减合并的二次根式是( )
B
A. B. C. D.
返回
二次根式的运算
乘法法则
加减法则
乘法公式
除法法则
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.
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