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北师大（2024）版数学8年级上册
第二章 实数
2.3.5 二次根式的乘除
1．什么是平方根？
2．什么是算术平方根？
3．算术平方根的性质是什么？
平方根又叫二次方根，表示为±
其中属于非负数的平方根称之为算术平方根
双重非负性： ≥0(a≥0)．互逆性： ＝|a|＝
( )2＝a(a≥0)
(1)如图①的海报为正方形，若面积为2 m2,则边长为_____m;若面积为S m2，则边长为______ m.
(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6 m2，则它的宽为______m.
一、导入：从旧知到新知的跨越
同学们，我们之前已经认识了有理数，谁能回忆一下：有理数包括什么？（等待学生回应）对，有理数是整数和分数的统称，它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，比如 3=3.0、1/3=0.\(\dot{3}\)。但数学世界里，是不是所有数都能这样表示呢？
其实在公元前 5 世纪的古希腊，毕达哥拉斯学派坚信 “万物皆数”，认为所有数都能表示为整数或整数之比。直到学派成员希帕索斯发现：边长为 1 的正方形，其对角线长度既不是整数也不是分数，这个新数就是我们今天熟知的√2。这个发现动摇了学派的信仰，引发了第一次数学危机，而希帕索斯也为真理付出了沉重代价。但正是这个 “叛逆” 的发现，让我们的数系从有理数拓展到了更完整的范围 —— 实数。
二、核心概念：什么是实数？
1. 无理数的定义
像√2 这样的数，它的小数部分是无限且不循环的，我们把这类无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：
开方开不尽的数，如√3、√5、-√7；
π 及含 π 的式子，如 π、2π、π-1（π≈3.14159265… 是无限不循环小数）；
有特殊结构的小数，如 0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多一个 0）。
这里要注意两个误区：带根号的数不一定是无理数，比如√9=3 是有理数；无理数也不一定带根号，比如 π 就是无理数。
2. 实数的定义
有理数和无理数统称为实数。也就是说，实数家族包含了我们之前学过的所有数，无论是整数、分数，还是√2、π 这样的新数，都属于实数的范畴。
三、实数的分类：两种常见方式
我们可以从不同角度对实数进行分类，核心原则是 “不重不漏”：
1. 按定义分类
实数 {
有理数 { 整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）} （有限小数或无限循环小数）
无理数 { 正无理数；负无理数 } （无限不循环小数）
}
2. 按性质（符号）分类
实数 {
正实数 { 正有理数；正无理数 }
0 （既不是正数也不是负数，是实数中的中性数）
负实数 { 负有理数；负无理数 }
}
举个例子：3（正有理数）、-√2（负无理数）、0（中性数）、π（正无理数）、-1/2（负有理数），这些都是实数家族的成员。
四、数形结合：实数与数轴的关系
我们知道，每个有理数都能在数轴上找到对应的点。那无理数呢？其实无理数也能在数轴上表示出来：
方法一：以数轴上的单位长度为边长作正方形，以原点为圆心、正方形对角线为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示√2，负半轴交点表示 -√2；
方法二：将直径为 1 的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上某点到达的位置就表示 π，向左滚动则表示 -π。
由此我们可以得出一个重要结论：实数与数轴上的点是一一对应的。这句话有两层含义：第一，每一个实数都能在数轴上找到唯一的点表示；第二，数轴上的每一个点都对应着唯一的实数。
利用这个关系，我们还能比较实数的大小：数轴上右边的点表示的实数，一定大于左边的点表示的实数。比如√2≈1.414，所以在数轴上表示√2 的点在 1 和 2 之间，且大于 1、小于 2。
五、实数的性质与运算
当数系扩充到实数后，有理数的一些性质和运算法则依然适用：
相反数、倒数、绝对值：与有理数的意义完全相同。比如√2 的相反数是 -√2，绝对值是√2；π 的倒数是 1/π；0 的绝对值还是 0。
运算规则：实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，非负数还能进行开平方运算，任意实数都能进行开立方运算。有理数的运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内同样成立。
运算顺序：先乘方、开方，再乘、除，最后加、减；同级运算从左到右，有括号先算括号里的。
六、课堂小结：构建实数知识网络
今天我们通过 “回顾旧知 — 发现新知 — 分类归纳 — 数形结合” 的思路，认识了实数：
核心概念：实数 = 有理数 + 无理数，无理数是无限不循环小数；
关键关系：实数与数轴上的点一一对应；
重要性质：有理数的运算律和相关概念在实数范围内仍然适用。
实数体系的建立，让我们的数系更加完整，也为后续学习函数、几何等知识打下了基础。希望大家能准确区分有理数和无理数，灵活运用实数的性质解决问题。
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为________。
问题1这些式子分别表示什么意义
问题2 这些式子有什么共同特征
①根的指数都为2.②被开方数为非负数
分别表示2，S，3，的算术平方根
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
这些式子有什么共同特征？
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
提示：a可以是数，也可以是式.
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
素养考点 1
利用二次根式的定义识别二次根式
（1） ； （2）81； （3） ；（4）
（5） （6） ；（7）
下列各式是二次根式吗
是
是
是
是
是
（1）
（2）
（3）
（4）
（6）
（5）
（7）
（8）
（9）
（10）
不是
不是
不是
不是
不是
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
思考 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得x-1＞0，
所以x＞1.
（1）
解：因为被开方数需大于或等于零，
所以x+3≥0，即x≥-3.
因为分母不能等于零，
所以x-1≠0，即x≠1.
所以x≥-3 且x≠1.
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
（2）
x取何值时,下列二次根式有意义
（1）
（2）
x≥1
x≤0
（3）
（4）
x为全体实数
x>0
（5）
（6）
x≥0
x≠0
x≥-1且x≠2
(7)
（9）
x>0
x为全体实数
(8)
（1）
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ．
6
6
20
20
你发现了什么？
知识点 2
二次根式的运算法则
做一做
＝ ，
6.480
＝　 　；
（2）用计算器计算：
＝ ，
＝　 　 ．
6.480
0.9255
0.9255
你有何发现？
（a≥0，b≥0）
，
（a≥0， b＞0）．
商的算术平方根等于算术平方根的商.
积的算术平方根等于算术平方根的积.
归纳小结
化简:
解：(1)
(2)
(3)
（1） ； （2） ；（3） .
素养考点 1
利用二次根式的积的算术平方根进行计算
例1
化简:
提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来.
（1）
（2）
（3）
解:
（1）
（2）
（3）
解:
化简：（1） （2） （3）
例2
（1）
（2）
（3）
化简：
（7）
解：
（2）
（3）
（1）
特点：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式.
最简二次根式：
　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
讨论
右边一组数有哪些特点？
最简二次根式的条件：
①是二次根式；
②被开方数中不含分母；
③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
条件总结
知识点1 二次根式的定义及其有意义的条件
1.下列各式中，是二次根式的是( )
A
A. B. C.2 D.
返回
2.［2024常州中考］若二次根式有意义，则 可取的值是( )
D
A. B.0 C.1 D.2
返回
知识点2 二次根式的乘法
3.对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ，该运算法则成
立的条件是( )
D
A.， B.， C.， D.，
返回
4.［2024湖南中考］计算 的结果是( )
D
A. B. C.14 D.
返回
5.［2024南通中考］计算 的结果是( )
B
A.9 B.3 C. D.
返回
6.下列计算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
7.［2024天津中考］计算 的结果为____。
10
返回
8.［教材P随堂练习T 变式］ 计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） ；
解：原式 。
（5） 。
解：原式 。
返回
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
积的算术平方根
最简二次根式
商的算术平方根
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