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(共26张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第二章 实数
2.3.2 估算
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2.
(1)公园的宽大约是多少？它有1 000m吗？
解:
1000
2000
S=400000
2000×1000=2000000
>400000
公园的宽没有1 000m.
第 1 页：封面
标题：2.3.2 估算
副标题：无理数的近似求解与应用
配图：数轴上标注无理数近似点（如√2≈1.414、 10≈2.154）+ 测量工具示意图（直尺、量角器）
第 2 页：情境导入 —— 为什么需要估算？
生活疑问：
问题 1：要做一个面积为 10 平方米的正方形桌面，边长大约是多少米？（无法用整数 / 分数表示，需估算√10）
问题 2：正方体集装箱体积为 50 立方米，棱长大约是多少？（需估算 50）
问题 3：比较√7 与 2.6 的大小，不用计算器如何快速判断？
核心需求：
无理数是无限不循环小数，无法写出精确值，需通过估算得到近似值；
生活中很多场景无需绝对精确，估算可快速解决实际问题。
学习目标：
掌握用 “夹逼法” 估算平方根、立方根的近似值；
能根据实际需求选择合适的精确度；
会用估算比较无理数大小、解决实际问题。
第 3 页：探究活动 1—— 估算的核心方法：夹逼法
一、方法定义
夹逼法（逼近法）：通过找到无理数所在的两个相邻有理数（或完全平方数 / 立方数），逐步缩小范围，最终得到近似值的方法。
二、步骤拆解（以估算√13 为例，精确到 0.1）
找范围：找到与 13 相邻的两个完全平方数
∵ 3 =9，4 =16 → 3 < √13 < 4（确定整数部分为 3）；
缩精度：在 3 和 4 之间细分，计算小数点后一位的平方
∵ 3.6 =12.96，3.7 =13.69 → 3.6 < √13 < 3.7；
定近似值：根据要求精确到 0.1，√13≈3.6（因 13 更接近 12.96）。
三、关键原则
估算平方根：围绕 “相邻完全平方数” 缩小范围；
估算立方根：围绕 “相邻完全立方数” 缩小范围；
精确度：精确到 0.1 需算到小数点后一位，精确到 0.01 需算到小数点后两位（多算一位判断取舍）。
第 4 页：分类应用 1—— 平方根的估算
例 1：估算√5 的近似值（精确到 0.01）
步骤：
找范围：2 =4，3 =9 → 2 < √5 < 3；
缩精度：2.2 =4.84，2.3 =5.29 → 2.2 < √5 < 2.3；
再缩小：2.23 =4.9729，2.24 =5.0176 → 2.23 < √5 < 2.24；
定结果：√5≈2.23（精确到 0.01）。
例 2：估算√7 - 2 的取值范围（精确到 0.1）
解：
∵ 2.6 =6.76，2.7 =7.29 → 2.6 < √7 < 2.7；
∴ 2.6 - 2 < √7 - 2 < 2.7 - 2 → 0.6 < √7 - 2 < 0.7；
即√7 - 2≈0.6 或 0.7（根据需求选择）。
课堂实操：估算√17（精确到 0.1），小组展示步骤。
第 5 页：分类应用 2—— 立方根的估算
例 3：估算 28 的近似值（精确到 0.1）
步骤：
找范围：3 =27，4 =64 → 3 < 28 < 4（整数部分为 3）；
缩精度：3.04 ≈28.08，3.03 ≈27.81 → 3.03 < 28 < 3.04；
定结果： 28≈3.0（精确到 0.1）。
例 4：估算 (-40) 的近似值（精确到 0.1）
解：
利用性质 (-a)=- a，先估算 40；
∵ 3 =27，4 =64 → 3 < 40 < 4；
3.4 =39.304，3.5 =42.875 → 3.4 < 40 < 3.5；
∴ (-40)=- 40≈-3.4（精确到 0.1）。
方法对比：平方根与立方根估算核心差异
类型
核心依据
符号处理
示例
平方根估算
相邻完全平方数（a ≤x仅非负数有平方根
√13≈3.6
立方根估算
相邻完全立方数（a ≤x正负均可（ (-x)=- x）
(-40)≈-3.4
第 6 页：实际应用 —— 估算的生活场景
场景 1：测量与裁剪
例 5：一块长方形布料长 8 米，宽 5 米，要裁出一个面积为 30 平方米的正方形桌布，桌布边长大约是多少？能否从布料中裁出？
解：设边长为 x，x=√30≈5.5（精确到 0.1）；
布料宽 5 米 < 5.5 米 → 无法裁出。
场景 2：空间判断
例 6：一个正方体收纳盒的容积为 45 立方分米，能否放入一个长 4 分米、宽 3 分米、高 3 分米的长方体物件？
解：正方体棱长 a= 45≈3.56（精确到 0.01）；
长方体最大棱长 4 分米 > 3.56 分米 → 无法放入。
关键思路：估算无理数→对比实际数据→做出判断。
第 7 页：拓展应用 —— 无理数的整数部分与小数部分
核心规律：
若 n < √a < n+1（n 为整数），则√a 的整数部分为 n，小数部分为√a - n；
立方根同理：若 n < a < n+1，则整数部分为 n，小数部分为 a - n。
例 7：已知√11 的整数部分为 m，小数部分为 n，求 m - n 的值。
解：
∵ 3 < √11 < 4 → m=3，n=√11 - 3；
∴ m - n=3 - (√11 - 3)=6 - √11≈6 - 3.317=2.683。
例 8：若 20 的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a + b 的值。
解：
∵ 2 < 20 < 3 → a=2，b= 20 - 2；
∴ a + b=4 + ( 20 - 2)=2 + 20≈2 + 2.714=4.714。
第 8 页：易错辨析 —— 常见误区警示
误区 1：估算时忽略 “相邻完全平方数 / 立方数” 的选择
错误示例：估算√26，直接用 5 =25，6 =36，得出√26≈5.0（未缩小范围，精度不足）；
纠正：需进一步计算 5.1 =26.01，得出√26≈5.1（精确到 0.1）。
误区 2：混淆 “精确到 0.1” 与 “保留 1 位小数” 的取舍规则
错误示例：估算√3≈1.732，精确到 0.1 写成 1.7（正确），但估算√3.8≈1.949，误写成 1.9（实际 1.949 更接近 2.0？不，1.949 精确到 0.1 是 1.9，因小数点后第二位是 4，舍去）；
纠正：精确到哪一位，看后一位数字，四舍五入。
误区 3：负数立方根估算时符号错误
错误示例：估算 (-18)，写成≈2.62（遗漏负号）；
纠正： (-18)=- 18≈-2.62。
误区 4：整数部分与小数部分判断错误
错误示例：认为√7 的小数部分是 0.645（直接取近似值）；
纠正：小数部分是无理数，应表示为√7 - 2（整数部分为 2）。
第 9 页：课堂互动 —— 分层练习
基础题（必做）
估算√15 的近似值（精确到 0.1）；
估算 35 的取值范围（精确到 0.1）；
判断：√5 + 1 > 3 吗？（用估算说明理由）。
提升题（选做）
已知 x 的整数部分为 2，小数部分为 0.3，求 x 的值；
估算√( 64 + √25) 的结果（精确到 0.1）。
小组任务
测量课本封面的长和宽，计算对角线长度（先估算，再用直尺测量验证，记录误差）。
第 10 页：拓展延伸 —— 估算的历史与趣味
古代估算智慧：
中国古代：《九章算术》中用 “逼近法” 估算√2≈1.4142；
西方：阿基米德通过圆的内接、外切正多边形估算 π≈3.14。
趣味挑战：不用计算器，快速估算√1000≈？（提示：31 =961，32 =1024 → ≈31.6）。
科学应用：天文测量、工程设计中，估算可快速初步判断方案可行性。
第 11 页：课堂小结
核心方法：夹逼法（找范围→缩精度→定近似值）；
两类估算：
平方根：围绕相邻完全平方数，非负数有意义；
立方根：围绕相邻完全立方数，正负均可估算；
核心应用：
求无理数近似值；
比较无理数大小；
解决生活实际问题；
求无理数的整数部分与小数部分；
注意事项：
根据需求选择精确度，多算一位用于取舍；
负数立方根估算先算正数，再添负号；
小数部分是 “原数 - 整数部分”，而非近似小数。
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2.
(2)如果要求结果精确到10m，它的宽大约是多少？
x
2x
S=400000
x×2x=400000
2x2=400000
x2=200000
x=
大约为450m.
解:
(3)该公园中心有一个圆形花园，它的面积是800m2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1m)
S=800
r
πr2=800
r2≈254.8
解:
大约为16m.
r=
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2.
(3)该公园中心有一个圆形花园，它的面积是800m2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1m)
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2.
1.怎样估算无理数 (误差小于0.1)？
夹逼法(逼迫原理)
2.怎样估算无理数 (误差小于1)？
夹逼法
3.估算无理数 (精确到个位数）？
夹逼法(逼迫原理)
议一议
（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流.
≈
0.66
≈
96
≈
60.4
(2) 你能估算 的大小吗？(结果精确到1）
不正确
不正确
不正确
900
9< <10 729<900<1000
9.6< <9.7 884.736<900<912.673
9.65< <9.66 898.632125<900<901.428696
9.654< <9.655 899.750058264<900<900.029686375
… …
(2) 你能估算 的大小吗？(结果精确到1）
1.估算无理数大小的方法：
（1）通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围，在真值的范围内取出近似值.
2. “精确到”与“误差小于”意义不同
如精确到1m是四舍五入到个位，答案唯一；
误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意，答案不唯一.
在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位.
例 估算 -3的值 (　　)
A.在1和2之间 B.在2和3之间
C.在3和4之间 D.在4和5之间
A
总结：估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间.
素养考点 1
算术平方根估算数值
解析：因为42<19<52,所以4< <5,所以1< -3<2.
故选A.
1.与 最接近的整数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
C
2.估算 的值 (　　)
A.在5和6之间 B.在6和7之间
C.在7和8之间 D.在8和9之间
C
变式训练
试比较 与0.5 的大小.
提示：比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值.
解:
用估算比较两个数的大小
知识点 2
因为
所以
所以
通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 与1.9； (2) 与1.5.
解：(1)因为5>4，所以 >2，所以 >1.9.
(2)因为6>4，所以 > 2，所以 > =1.5.
解：
答：当梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6米高的墙头.
设梯子高x米，则低端离墙 米，根据题意得：
因为5.62=31.36＜32,
所以x2=32
生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子的底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？
例
所以
小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？Z
解:由题意知正方形纸片的边长为20cm.
设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm.则有
3x·2x=300
x2=50
所以长方形的长为
因为50>49，所以
故小丽不能裁出符合要求的纸片.
知识点1 估算无理数的大小
1.［2024天津中考］估算 的值在( )
C
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
返回
2.与 最接近的整数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
返回
3.［2024资阳中考］若，则整数 的值为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
返回
知识点2 用估算法比较数的大小
4.［2024山西中考］比较大小：___2（填“ ”“ ”或“ ”）。
返回
5.［教材P随堂练习T 变式］ 通过估算，比较下列各组数的大小：
（1） 与8.5；
解： 。
（2）与 ；
解： 。
（3）与 。
解： 。
返回
知识点3 用计算器进行开方运算
6.用计算器求下列各式的值（结果精确到 ）：
（1） _______；
（2） _________；
（3） _________；
（4） ______。
56.745
0.296
返回
7.用计算器比较下列各组数的大小：
（1）与 ；
解： 。
（2）与 。
解： 。
返回
估算
估算无理数大小的方法
利用估算比较两个数的大小
夹逼的思想
估算的实际应用
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