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北师大（2024）版数学8年级上册
第二章 实数
2.3.4 实数
1．什么是有理数？有理数怎样分类？
2．什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？
有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称．有理数可分为正有理数、0、负有理数
无理数的定义是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数，如 ，要看a的取值
情境导入
请同学们观看视频了解A4纸的奥妙
一、导入：从旧知到新知的跨越
同学们，我们之前已经认识了有理数，谁能回忆一下：有理数包括什么？（等待学生回应）对，有理数是整数和分数的统称，它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，比如 3=3.0、1/3=0.\(\dot{3}\)。但数学世界里，是不是所有数都能这样表示呢？
其实在公元前 5 世纪的古希腊，毕达哥拉斯学派坚信 “万物皆数”，认为所有数都能表示为整数或整数之比。直到学派成员希帕索斯发现：边长为 1 的正方形，其对角线长度既不是整数也不是分数，这个新数就是我们今天熟知的√2。这个发现动摇了学派的信仰，引发了第一次数学危机，而希帕索斯也为真理付出了沉重代价。但正是这个 “叛逆” 的发现，让我们的数系从有理数拓展到了更完整的范围 —— 实数。
二、核心概念：什么是实数？
1. 无理数的定义
像√2 这样的数，它的小数部分是无限且不循环的，我们把这类无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：
开方开不尽的数，如√3、√5、-√7；
π 及含 π 的式子，如 π、2π、π-1（π≈3.14159265… 是无限不循环小数）；
有特殊结构的小数，如 0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多一个 0）。
这里要注意两个误区：带根号的数不一定是无理数，比如√9=3 是有理数；无理数也不一定带根号，比如 π 就是无理数。
2. 实数的定义
有理数和无理数统称为实数。也就是说，实数家族包含了我们之前学过的所有数，无论是整数、分数，还是√2、π 这样的新数，都属于实数的范畴。
三、实数的分类：两种常见方式
我们可以从不同角度对实数进行分类，核心原则是 “不重不漏”：
1. 按定义分类
实数 {
有理数 { 整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）} （有限小数或无限循环小数）
无理数 { 正无理数；负无理数 } （无限不循环小数）
}
2. 按性质（符号）分类
实数 {
正实数 { 正有理数；正无理数 }
0 （既不是正数也不是负数，是实数中的中性数）
负实数 { 负有理数；负无理数 }
}
举个例子：3（正有理数）、-√2（负无理数）、0（中性数）、π（正无理数）、-1/2（负有理数），这些都是实数家族的成员。
四、数形结合：实数与数轴的关系
我们知道，每个有理数都能在数轴上找到对应的点。那无理数呢？其实无理数也能在数轴上表示出来：
方法一：以数轴上的单位长度为边长作正方形，以原点为圆心、正方形对角线为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示√2，负半轴交点表示 -√2；
方法二：将直径为 1 的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上某点到达的位置就表示 π，向左滚动则表示 -π。
由此我们可以得出一个重要结论：实数与数轴上的点是一一对应的。这句话有两层含义：第一，每一个实数都能在数轴上找到唯一的点表示；第二，数轴上的每一个点都对应着唯一的实数。
利用这个关系，我们还能比较实数的大小：数轴上右边的点表示的实数，一定大于左边的点表示的实数。比如√2≈1.414，所以在数轴上表示√2 的点在 1 和 2 之间，且大于 1、小于 2。
五、实数的性质与运算
当数系扩充到实数后，有理数的一些性质和运算法则依然适用：
相反数、倒数、绝对值：与有理数的意义完全相同。比如√2 的相反数是 -√2，绝对值是√2；π 的倒数是 1/π；0 的绝对值还是 0。
运算规则：实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，非负数还能进行开平方运算，任意实数都能进行开立方运算。有理数的运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内同样成立。
运算顺序：先乘方、开方，再乘、除，最后加、减；同级运算从左到右，有括号先算括号里的。
六、课堂小结：构建实数知识网络
今天我们通过 “回顾旧知 — 发现新知 — 分类归纳 — 数形结合” 的思路，认识了实数：
核心概念：实数 = 有理数 + 无理数，无理数是无限不循环小数；
关键关系：实数与数轴上的点一一对应；
重要性质：有理数的运算律和相关概念在实数范围内仍然适用。
实数体系的建立，让我们的数系更加完整，也为后续学习函数、几何等知识打下了基础。希望大家能准确区分有理数和无理数，灵活运用实数的性质解决问题。
（1）请把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？任何有理数都能写成有限小数和无限循环小数吗？
（2）请用计算器把 和 写成小数的形式，你有什么发现？像这样的数我们把它叫什么数？你还能说出一些这样的数吗？
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
无限不循环的小数 ---------- 叫做无理数.
你能举出一些无理数吗？
0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
－168.3232232223…〔两个3之间依次多1个2〕
=1.41421356237309504880168…
=1.70997594667669698935310…
思考 我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，据此你能给实数分类吗？
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实 数
按定义分
分数
整数
女孩子
男孩子
妈妈
含开方开不尽的数
有规律但不循环的小数
含有π的数
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
有理数集合
无理数集合
把下列各数分别填入相应的集合内：
试一试
无理数和有理数一样，也有正负之分.
如：
是
的，
-π是
的.
正
负
大于 0 的实数
包括所有的正有理数和正无理数.
【正数】
【负数】
小于 0 的实数
包括所有的负有理数和负无理数.
正数集合
负数集合
1.你能把下列各数分别填入相应的集合内吗
议一议
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
实数的
第一种分类
实数的
第二种分类
2. 0属于正数吗 属于负数吗
3. 实数还可以怎样分类
实数
有理数
无理数
实数
正实数
负实数
0
议一议
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
按性质分
0
正无理数
负无理数
0
正实数
负实数
无理数：
有理数：
负实数：
正实数：
例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：
素养考点 1
实数的分类
把下列各数填入相应的集合内：
（1）有理数集合：
（2）无理数集合：
（3）整数集合：
（4）负数集合：
（5）分数集合：
（6）实数集合：
1.5的相反数是（ ），绝对值是（ ）,倒数是（ ）.
-1.5
1.5
相反
倒
（1） a 是一个实数 ，它的相反数为-a.
( a﹤0)
（3） ︳ a ︳ =
　　　　　　　　　　　　　　
( a=0)
( a﹥0)
a
0
- a
小结
（2） 如果 a ≠ 0 ，那么它的倒数为 .
提示2：有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.
例如：
例 分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
素养考点 1
实数相关概念的应用
相反数
倒数
绝对值
-2
7
-2
(1)正实数的绝对值是 ，0的绝对值是
，负实数的绝对值是　 .
它本身
0
它的相反数
7
变式训练
(2) 的相反数是 ，绝对值是 ．
(3)绝对值等于 的数是 ， 的平方是 ．
-
±
如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则点A的坐标为多少？
-4
-2
0
1
2
3
4
-1
-3
无理数 可以用数轴上的点来表示.
A
问题1 无理数能在数轴上表示出来吗？
知识点 2
实数与数轴的关系
－2
－1
0
1
2
-
问题2（1）你能在数轴上表示出 吗？
0
1
2
3
-1
1
2
0
1
2
-1
-2
A
一个实数a
（2）你能在数轴上作出 的对应点吗？
（3）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴能填满吗？
－2
－1
0
1
2
B
A
C
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
数轴上的点有些
表示有理数，有
些表示无理数.
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的.
1.［2024福建中考］下列实数中，无理数是( )
D
A. B.0 C. D.
返回
2.［2024威海中考］下列各数中，最小的数是( )
A
A. B. C. D.
返回
3.下列各组数中互为相反数的是( )
C
A.3和 B.和
C.和3 D.和
返回
4.下列说法正确的是( )
D
A.4的算术平方根是 B.3的平方根是
C.27的立方根是 D.的平方根是
返回
5.某学校会议室的面积为 ，它的地面恰由100块相同的正方形地砖
铺成，每块地砖的边长是( )
B
A. B. C. D.
返回
6. ［2025西安鄠邑区期中］ 秦兵马俑的发现被誉为“世界第
八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为
，下列估算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
7.如图，在中， ，，边 在数轴上，
点表示的数为0，点表示的数为1，以为圆心， 的长为半径画弧
交数轴负半轴于点，则点 表示的数是( )
D
A. B. C. D.
返回
8.若的整数部分是，小数部分是，则 的值为( )
B
A. B. C. D.8
返回
实数
实数范围内的相关的概念
实数的概念
实数的分类
实数的数轴表示
实数的大小比较
相反数
绝对值
倒数
有理数和无理数统称实数
按定义分
按性质分
谢谢观看！

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