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北师大（2024）版数学8年级上册
第二章 实数
2.2.2 平方根
问题 (1)3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗
-3的平方也是9.
(2)平方等于的数有几个 平方等于0.64的数呢
平方等于的数有两个，是±；
平方等于0.64的数也有两个，是±0.8.
例如：3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.
第 1 页：封面
标题：2.2.2 平方根
副标题：实数的基础运算（二）
配图：正负根号符号 “±√” 示意图 + 数轴上关于原点对称的两点（标注平方根对应关系）
第 2 页：情境导入 —— 从算术平方根到平方根
回顾旧知：
算术平方根：正数 a 的正平方根（如 25 的算术平方根是 5，记作\(\sqrt{25}=5\)）；
核心特征：算术平方根是非负数，一个非负数只有一个算术平方根。
问题串：
问题 1：已知 x =25，x 的值有几个？（答案：5 和 - 5，因为 5 =25，(-5) =25）；
问题 2：5 是 25 的算术平方根，那 - 5 该如何定义？它与算术平方根有什么关系？
问题 3：x =0 时，x 的值是多少？x =-9 时，存在这样的实数 x 吗？
核心目标：认识平方根的定义、性质，掌握平方根与算术平方根的区别与联系。
第 3 页：探究活动 1—— 平方根的定义
一、定义推导
观察实例：
5 =25，(-5) =25 → 5 和 - 5 都是 25 的平方根；
3 =9，(-3) =9 → 3 和 - 3 都是 9 的平方根；
0 =0 → 0 的平方根是 0；
文字表述：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x =a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根（也叫做二次方根）
二、符号表示
平方根的符号：“±√”（读作 “正负根号”）
表示方法：a 的平方根记为\(\pm\sqrt{a}\)，读作 “正负根号 a”
例：25 的平方根是 5 和 - 5，记作\(\pm\sqrt{25}=\pm5\)；
0 的平方根是 0，记作\(\pm\sqrt{0}=0\)；
2 的平方根是\(\sqrt{2}\)和\(-\sqrt{2}\)，记作\(\pm\sqrt{2}\)。
三、注意事项
被开方数 a 的取值范围：\(a \geq 0\)（负数没有平方根，因为任何实数的平方都非负）；
平方根的结果特征：
正数有两个平方根，它们互为相反数（如 25 的两个平方根 5 和 - 5）；
0 有一个平方根，就是它本身（0）；
负数没有平方根。
第 4 页：探究活动 2—— 平方根与算术平方根的联系与区别
一、对比表格
项目
平方根（\(\pm\sqrt{a}\)，a≥0）
算术平方根（\(\sqrt{a}\)，a≥0）
定义
若 x =a，则 x 是 a 的平方根（x 可正可负或 0）
若 x =a（x>0），则正数 x 是 a 的算术平方根
符号表示
\(\pm\sqrt{a}\)
\(\sqrt{a}\)
结果个数
正数有 2 个，0 有 1 个，负数无
正数有 1 个，0 有 1 个，负数无
结果性质
正数的两个平方根互为相反数，0 的平方根是 0
结果一定是非负数（正数或 0）
举例
\(\pm\sqrt{16}=\pm4\)
\(\sqrt{16}=4\)
核心联系
算术平方根是平方根中的非负部分，即：\(\pm\sqrt{a} = \pm(\sqrt{a})\)（a≥0）
二、课堂辨析（即时巩固）
判断下列说法是否正确，说明理由：
（1）4 的平方根是 2（错误，4 的平方根是 ±2，2 是算术平方根）；
（2）\(\sqrt{9}\)表示 9 的平方根（错误，\(\sqrt{9}\)表示 9 的算术平方根，9 的平方根是\(\pm\sqrt{9}=\pm3\)）；
（3）0 的平方根和算术平方根都是 0（正确，符合定义）；
（4）-5 是 25 的平方根（正确，因为 (-5) =25）。
第 5 页：基础计算 —— 求一个数的平方根
类型 1：完全平方数的平方根（结果为有理数）
例 1：求下列各数的平方根：
（1）36：解：∵6 =36，(-6) =36，∴\(\pm\sqrt{36}=\pm6\)；
（2）49/81：解：∵(7/9) =49/81，(-7/9) =49/81，∴\(\pm\sqrt{49/81}=\pm7/9\)；
（3）0.04：解：∵0.2 =0.04，(-0.2) =0.04，∴\(\pm\sqrt{0.04}=\pm0.2\)；
（4）0：解：\(\pm\sqrt{0}=0\)。
类型 2：非完全平方数的平方根（结果为无理数，保留根号）
例 2：求下列各数的平方根：
（1）11：解：\(\pm\sqrt{11}\)（无理数，保留根号）；
（2）1.8：解：\(1.8=9/5\)，∴\(\pm\sqrt{9/5}=\pm3\sqrt{5}/5\)（化简后保留根号）；
（3）20：解：\(\pm\sqrt{20}=\pm2\sqrt{5}\)（化简根号内的因数）。
关键步骤：
先判断被开方数 a≥0（若 a<0，直接说明无平方根）；
找到所有满足 x =a 的实数 x（完全平方数直接得出，非完全平方数保留根号并化简）；
用 “±√a” 表示结果（注意 0 的特殊性）。
第 6 页：应用示例 —— 平方根的实际与综合应用
场景 1：几何问题
例 3：一个正方形的面积是 36 平方厘米，求它的边长和对角线的平方根（结果保留根号）。
解：① 边长：设边长为 x，x =36 → x=\(\sqrt{36}=6\)cm（边长为正数，取算术平方根）；
② 对角线：由勾股定理得对角线 c=\(\sqrt{6^2 + 6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)cm，对角线的平方根为\(\pm6\sqrt{2}\)cm。
场景 2：代数综合
例 4：已知\(\sqrt{x-2} + (y+3)^2 = 0\)，求 (x+y) 的平方根。
解：∵算术平方根和平方数均为非负数，且和为 0，∴x-2=0，y+3=0 → x=2，y=-3；
x+y=2+(-3)=-1，∵-1<0，∴(x+y) 没有平方根。
第 7 页：易错辨析 —— 常见误区警示
误区 1：混淆平方根与算术平方根的符号
错误示例：求 16 的平方根，写作\(\sqrt{16}=\pm4\)；
纠正：\(\sqrt{a}\)表示算术平方根，平方根需用\(\pm\sqrt{a}\)，正确写法：\(\pm\sqrt{16}=\pm4\)。
误区 2：认为负数有平方根
错误示例：求 - 9 的平方根，写作\(\pm\sqrt{-9}=\pm3\)；
纠正：负数没有平方根，\(\sqrt{-9}\)无意义。
误区 3：化简平方根时未开尽因数
错误示例：\(\pm\sqrt{12}=\pm\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}\)（漏写 “±”，且结果不完整）；
纠正：\(\pm\sqrt{12}=\pm\sqrt{4\times3}=\pm2\sqrt{3}\)。
误区 4：忽略平方根的相反数关系
错误示例：认为 10 的平方根是\(\sqrt{10}\)；
纠正：10 的平方根是一对相反数，即\(\pm\sqrt{10}\)。
第 8 页：拓展延伸 —— 平方根的化简技巧
化简规则：\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\)（a≥0，b≥0），\(\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}\)（a≥0，b>0）
例 5：化简下列平方根：
（1）\(\pm\sqrt{48}\)：解：\(\pm\sqrt{16\times3}=\pm\sqrt{16}\times\sqrt{3}=\pm4\sqrt{3}\)；
（2）\(\pm\sqrt{27/4}\)：解：\(\pm\sqrt{27}/\sqrt{4}=\pm3\sqrt{3}/2\)；
（3）\(\pm\sqrt{0.75}\)：解：\(\pm\sqrt{3/4}=\pm\sqrt{3}/2 \pm0.87\)（化简后取近似值）。
应用：比较含平方根的无理数大小
例 6：比较\(-\sqrt{7}\)与\(-\sqrt{5}\)的大小。
解：先比较算术平方根：\(\sqrt{7}>\sqrt{5}\)；
负数比较大小，绝对值大的反而小：\(-\sqrt{7}<-\sqrt{5}\)。
第 9 页：课堂互动 —— 巩固与提升
填空题：
（1）\(\pm\sqrt{81}\)的值是______（答案：±9）；
（2）若一个数的平方根是 ±3，则这个数是______（答案：9）；
（3）若\(\sqrt{x}\)的平方根是 ±2，则 x=______（答案：16）。
解答题：
已知 a 是 16 的算术平方根，b 是 16 的平方根，求 a+b 的值。
解：∵a 是 16 的算术平方根，∴a=\(\sqrt{16}=4\)；
∵b 是 16 的平方根，∴b=\(\pm\sqrt{16}=\pm4\)；
当 b=4 时，a+b=4+4=8；当 b=-4 时，a+b=4+(-4)=0；
综上，a+b 的值为 8 或 0。
第 10 页：课堂小结
核心概念：
平方根：若 x =a（a≥0），则 x 是 a 的平方根，记为\(\pm\sqrt{a}\)；
核心特征：正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数无平方根。
关键区别与联系：
区别：算术平方根是 “非负的平方根”，结果唯一；平方根是 “正负两个值”（0 除外）；
联系：\(\pm\sqrt{a}=\pm(\sqrt{a})\)（a≥0），算术平方根是平方根的一部分。
核心技能：
求一个非负数的平方根（完全平方数、非完全平方数）；
化简平方根（利用积的算术平方根、商的算术平方根性质）；
比较含平方根的无理数大小（正数比算术平方根，负数比绝对值）。
注意事项：
被开方数必须是非负数；
符号规范：\(\sqrt{a}\)表示算术平方根（非负），\(\pm\sqrt{a}\)表示平方根（正负）；
化简结果需满足 “根号内不含能开得尽方的因数”“分母不含根号”。
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根）.

思考 (1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点
平方根 算术平方根
区别 定义
个数
结果
一般地，如果一个数x的平方等于 a，即x2=a那么这个数x叫做 a 的平方根或二次方根.
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根.
一个正数的平方根有两个.
一个正数的算术平方根只有一个.
正数的平方根一正一负.
正数的算术平方根一定是正数.
平方根与算术平方根的联系
平方根 算术平方根
联系 具有包含关系 存在条件相同 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的平方根.
只有非负数才有平方根和算术平方根.
思考
(2)一个正数有几个平方根 0有几个平方根 负数呢
平方根的性质：
1.一个正数有两个平方根（它们互为相反数）；
2.0只有一个平方根，它是0本身；
3.负数没有平方根.
根号
被开方数
（a 是非负数）
读作“正、负根号 a”
正平方根：
负平方根：
读作“根号 a”
读作“负根号 a”
正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是-,它们互为相反数.这两个平方根合起来可以记作：
求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数.
+1
-1
+2
-2
+3
-3
平方
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
开平方
观察下图，你发现了什么
平方与开平方互为逆运算
想求一个数的平方根，就想谁的平方等于它
例1 求下列各数的平方根：
(1)64；(2) ；(3)0.000 4；(4)(-25)2；(5)11.
解：(1)因为(±8)2=64，
所以64的平方根是±8，即±=±8；
(2)因为(±)2=，
所以的平方根是±，即±=±；
(3)因为(±0.02)2=0.000 4，
所以0.000 4的平方根是±0.02，即±=±0.02；
例1 求下列各数的平方根：
(1)64；(2) ；(3)0.000 4；(4)(-25)2；(5)11.
解：(4)因为(±25)2=(-25)2，
所以(-25)2的平方根是±25，即±=±25；
(5)因为(±)2=11，
所以11的平方根是±.
跟踪训练 下列各数有平方根吗
(1) 0.36； (2) -5； (3) (-4)2.
解：(1)因为0.36是正数，
所以0.36有两个平方根，即±=±0.6.
(2)因为-5是负数，所以-5没有平方根；
(3)因为(-4)2=16是正数，
所以(-4)2有两个平方根，即±=±4.
例2 求下列各式的值：
(1) ；(2) -；(3) .
解：(1) = =15；
(2) -= -=- ；
(3) =8.
1. 求下列各数的平方根：
1.44，0，8，，441，196，10-4.
解：因为(±1.2)2=1.44，所以1.44的平方根是±1.2，即±=±1.2；
0的平方根是0；
8的平方根是±；
因为(±)2=，所以的平方根是±，即±=±；
1. 求下列各数的平方根：
1.44，0，8，，441，196，10-4.
解：因为(±21)2=441，所以441的平方根是±21，即±=±21；
因为(±14)2=196，所以196的平方根是±14，即±=±14；
因为(±10-2)2=10-4，所以10-4的平方根是±10-2，
即±=±10-2；
2. 填空：
(1) 25的平方根是 ； (2) = ；
(3) ()2= ； (4) -()2 = .
5
5
-5
±5
3. 当a=5，b=12时，求的值.
解： == =13.
解：因为一个正数的两个平方根是2a-1和a-5，
则有(2a-1)+(a-5)=0，
解得a=2.
所以2a-1=3，
所以这个正数为32=9.
4. 已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和a-5，求这个正数.
互为相反数
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
知识点1 平方根的定义
1.［2024内江中考］16的平方根是( )
D
A. B.4 C.2 D.
返回
2.36的平方根是 的数学表达式是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.下列各数中，没有平方根的是( )
D
A.10 B.0 C. D.
返回
4.下列说法正确的是( )
C
A.7是的平方根 B.40的平方根是
C.是6的一个平方根 D.的一个平方根是
返回
5.平方根等于本身的数是___。
0
返回
知识点2 开平方
6.如果，那么 的值为( )
C
A.3 B. C. D.9
返回
7.化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
返回
8.［2025西安期中］下列化简正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
9.若一个正数的两个平方根分别为，，则___, ____。
0
返回
10.［教材 例3变式］ 求下列各数的平方根：
（1）169；
解： 。
（2） ；
解： 。
（3） ；
解： 。
（4） ；
解： 。
（5）17；
解： 。
（6） 。
解： 。
返回
11.［教材 例4变式］ 求下列各式的值：
（1） ；
解： 。
（2） ；
解： 。
（3） ；
解： 。
（4） 。
解： 。
返回
12.［教材P随堂练习T变式］ 当,时，求 的值。
解： 。
返回
13. ［2025衡阳模拟］ 的平方根是( )
A
A. B.3 C. D.9
返回
14.下列各数中一定有平方根的是( )
D
A. B. C. D.
返回
15.如图，数轴上点 所表示的实数是( )
C
A. B.
C. D.
返回
16.已知一个自然数的一个平方根是 ，则与它相邻的上一个自然数的平
方根是( )
D
A. B. C. D.
返回
17.若是的平方根，的一个平方根是2，则 的值为( )
C
A.0 B.8 C.0或8 D.0或
返回
18.［教材习题变式］求下列各式中 的值：
（1） ；
解：因为，所以,所以 。
（2） 。
解：因为,所以 ，所以
，所以或，所以 或
。
返回
19.［2025青岛月考］已知， 。
（1）如果的算术平方根为3，求 的值；
解：因为 的算术平方根为3，
所以 ，
所以 。
（2）如果， 都是同一个数的平方根，求这个数。
解：因为， 都是同一个数的平方根，
所以或 ，
解得或 。
当时， ，
当时， ，
所以这个数是1或25。
返回
20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，
每个顶点叫作格点。
（1）在图①中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形；
解：如图①（画法不唯一）。
（2）在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，
， ，并计算该三角形的面积。
解：如图②（画法不唯一）。该三角形的面积为 。
返回
平方根
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x =a，那么这个数x叫作a的平方根（也叫作二次方根）.
±（a≥0）
表示
(1)一个正数有两个平方根（它们互为相反数）；
(2)0只有一个平方根，它是0本身；
(3)负数没有平方根.
开平方（开平方与平方互为逆运算）
运算
概念
性质
北师大（2024）版数学8年级上册
第二章 实数
2.2.2 平方根
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