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北师大（2024）版数学8年级上册
第二章 实数
2.3.1 立方根
问题 如图，一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成.假如要制作一个体积为216 cm3的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少
此时 a 的值为多少呢？
因为，
所以a=2 cm.
第 1 页：封面
标题：2.3.1 立方根
副标题：实数的基础运算（三）
配图：正方体（标注棱长与体积关系）+ 立方根符号 “\(\sqrt[3]{}\)” 示意图
第 2 页：情境导入 —— 从正方体体积到立方根
回顾旧知：
平方根：若\(x^2=a\)（\(a\geq0\)），则\(x\)是\(a\)的平方根（正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数无平方根）；
核心应用：解决平方相关的边长问题（如正方形面积求边长）。
问题串：
问题 1：一个正方体魔方的体积是 27 立方厘米，它的棱长是多少？（答案：3 厘米，因为\(3^3=27\)）；
问题 2：体积为 8 的正方体，棱长是多少？（答案：2，因为\(2^3=8\)）；
问题 3：体积为 - 8 的正方体（假设存在 “负体积” 模型），棱长是多少？（答案：-2，因为\((-2)^3=-8\)）；
问题 4：体积为 2 的正方体，棱长是多少？（答案：\(\sqrt[3]{2}\)，因为\((\sqrt[3]{2})^3=2\)）。
核心疑问：像\(3^3=27\)、\((-2)^3=-8\)中，3 和 - 2 这样的数，该如何定义？它与平方根有什么不同？
第 3 页：探究活动 1—— 立方根的定义
一、定义推导
观察实例：
\(3^3=27\) → 3 是 27 的立方根；
\((-2)^3=-8\) → -2 是 - 8 的立方根；
\(0^3=0\) → 0 是 0 的立方根；
\((\sqrt[3]{5})^3=5\) → \(\sqrt[3]{5}\)是 5 的立方根。
文字表述：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即\(x^3=a\)，那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）
二、符号表示
立方根的符号：“\(\sqrt[3]{}\)”（读作 “三次根号”），根指数 “3” 不能省略（区别于平方根的根指数 “2”）；
表示方法：a 的立方根记为\(\sqrt[3]{a}\)，读作 “三次根号 a”；
例：27 的立方根是 3，记作\(\sqrt[3]{27}=3\)；
-8 的立方根是 - 2，记作\(\sqrt[3]{-8}=-2\)；
0 的立方根是 0，记作\(\sqrt[3]{0}=0\)；
5 的立方根是\(\sqrt[3]{5}\)，记作\(\sqrt[3]{5}\)。
三、注意事项
被开方数 a 的取值范围：全体实数（正数、0、负数都有立方根，因为正数的立方是正数，负数的立方是负数，0 的立方是 0）；
立方根的结果特征：任意一个实数都有且只有一个立方根（区别于平方根的 “正数有两个，负数无”）。
第 4 页：探究活动 2—— 立方根的性质
一、核心性质（结合实例验证）
符号性质：
正数的立方根是正数（例：\(\sqrt[3]{8}=2\)，\(\sqrt[3]{125}=5\)）；
负数的立方根是负数（例：\(\sqrt[3]{-27}=-3\)，\(\sqrt[3]{-64}=-4\)）；
0 的立方根是 0（例：\(\sqrt[3]{0}=0\)）。
立方与开立方的互逆性：
一个数的立方根的立方等于它本身：\((\sqrt[3]{a})^3=a\)（a 为任意实数）；
例：\((\sqrt[3]{4})^3=4\)，\((\sqrt[3]{-9})^3=-9\)，\((\sqrt[3]{0})^3=0\)；
一个数的立方的立方根等于它本身：\(\sqrt[3]{a^3}=a\)（a 为任意实数）；
例：\(\sqrt[3]{7^3}=7\)，\(\sqrt[3]{(-5)^3}=-5\)，\(\sqrt[3]{0^3}=0\)。
负号迁移性质：\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)（a 为任意实数，即负数的立方根等于正数立方根的相反数）；
例：\(\sqrt[3]{-10}=-\sqrt[3]{10}\)，\(\sqrt[3]{-21}=-\sqrt[3]{21}\)。
第 5 页：立方根与平方根的核心对比
对比表格
项目
立方根（\(\sqrt[3]{a}\)，a 为任意实数）
平方根（\(\pm\sqrt{a}\)，a≥0）
被开方数范围
全体实数（正数、0、负数）
非负数（a≥0）
结果个数
1 个（唯一）
正数有 2 个（互为相反数），0 有 1 个，负数无
符号特征
与被开方数同号（正→正，负→负，0→0）
正数的平方根一正一负，0 的平方根为 0
根指数
3（不能省略，写作\(\sqrt[3]{a}\)）
2（可省略，写作\(\sqrt{a}\)）
互逆性质
\((\sqrt[3]{a})^3=a\)，\(\sqrt[3]{a^3}=a\)
\((\sqrt{a})^2=a\)（a≥0），\(\sqrt{a^2}=|a|\)
负号迁移
\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)
无（负数无平方根）
举例
\(\sqrt[3]{64}=4\)，\(\sqrt[3]{-64}=-4\)
\(\pm\sqrt{64}=\pm8\)，\(\sqrt{-64}\)无意义
第 6 页：基础计算 —— 求一个数的立方根
类型 1：完全立方数的立方根（结果为有理数）
例 1：求下列各数的立方根：
（1）64：解：∵\(4^3=64\)，∴\(\sqrt[3]{64}=4\)；
（2）-125：解：∵\((-5)^3=-125\)，∴\(\sqrt[3]{-125}=-5\)；
（3）\(\frac{8}{27}\)：解：∵\((\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}\)，∴\(\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}\)；
（4）-0.008：解：∵\((-0.2)^3=-0.008\)，∴\(\sqrt[3]{-0.008}=-0.2\)；
（5）0：解：\(\sqrt[3]{0}=0\)。
类型 2：非完全立方数的立方根（结果为无理数，保留根号）
例 2：求下列各数的立方根：
（1）7：解：\(\sqrt[3]{7}\)（无理数，保留根号）；
（2）-10：解：\(\sqrt[3]{-10}=-\sqrt[3]{10}\)（利用负号迁移性质）；
（3）2.4：解：\(2.4=\frac{12}{5}\)，∴\(\sqrt[3]{\frac{12}{5}}=\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{5}}=\frac{\sqrt[3]{300}}{5}\)（化简后保留根号）。
关键步骤：
确定被开方数 a 的符号（正数、0、负数均可）；
找到实数 x，使\(x^3=a\)（完全立方数直接得出，非完全立方数保留根号）；
用 “\(\sqrt[3]{a}\)” 表示结果（注意符号与被开方数一致）。
第 7 页：应用示例 —— 立方根的实际与综合应用
场景 1：几何问题
例 3：一个正方体的体积是 125 立方米，求它的棱长；若体积扩大到原来的 8 倍，棱长变为多少？
解：① 原棱长：设棱长为 x，\(x^3=125\) → \(x=\sqrt[3]{125}=5\)米；
② 扩大后体积：\(125\times8=1000\)立方米，新棱长：\(\sqrt[3]{1000}=10\)米（或直接利用 “体积扩大 n 倍，棱长扩大\(\sqrt[3]{n}\)倍”，\(\sqrt[3]{8}=2\)，5×2=10 米）。
场景 2：代数综合
例 4：已知\(\sqrt[3]{x-1} + 2=0\)，求 x 的值。
解：移项得\(\sqrt[3]{x-1}=-2\)；
两边立方：\((\sqrt[3]{x-1})^3=(-2)^3\) → \(x-1=-8\)；
解得 x=-7。
第 8 页：易错辨析 —— 常见误区警示
误区 1：省略立方根的根指数 “3”
错误示例：将\(\sqrt[3]{9}\)写作\(\sqrt{9}\)；
纠正：立方根的根指数 “3” 不能省略，\(\sqrt{9}\)是平方根（结果 ±3），\(\sqrt[3]{9}\)是立方根（无理数）。
误区 2：认为负数没有立方根
错误示例：认为\(\sqrt[3]{-27}\)无意义；
纠正：负数有立方根，且立方根是负数，\(\sqrt[3]{-27}=-3\)。
误区 3：混淆立方根与平方根的结果个数
错误示例：求 64 的立方根，写作\(\pm\sqrt[3]{64}=\pm4\)；
纠正：立方根结果唯一，\(\sqrt[3]{64}=4\)，±4 是 64 的平方根。
误区 4：错误应用互逆性质
错误示例：\(\sqrt[3]{(-6)^3}=-(\sqrt[3]{6})^3=-6\)（多余步骤，逻辑错误）；
纠正：直接利用\(\sqrt[3]{a^3}=a\)，\(\sqrt[3]{(-6)^3}=-6\)。
第 9 页：拓展延伸 —— 立方根的化简与估算
一、化简规则：\(\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}\)（a、b 为任意实数），\(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\)（b≠0）
例 5：化简下列立方根：
（1）\(\sqrt[3]{16}\)：解：\(\sqrt[3]{8\times2}=\sqrt[3]{8}\times\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\)；
（2）\(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}}\)：解：\(\frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}\)；
（3）\(\sqrt[3]{0.125}\)：解：\(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}=0.5\)。
二、估算方法：“夹逼法”
例 6：估算\(\sqrt[3]{10}\)的取值范围（精确到 0.1）。
步骤：
找到相邻的两个完全立方数：\(2^3=8\)，\(3^3=27\) → \(\sqrt[3]{10}\)在 2 和 3 之间；
缩小范围：\(2.1^3=9.261\)，\(2.2^3=10.648\) → \(\sqrt[3]{10}\)在 2.1 和 2.2 之间；
精确到 0.1：\(\sqrt[3]{10} 2.1\)（因 10 更接近 9.261）。
第 10 页：课堂互动 —— 巩固与提升
填空题：
（1）\(\sqrt[3]{-64}\)的值是______（答案：-4）；
（2）若一个数的立方根是 - 3，则这个数是______（答案：-27）；
（3）\(\sqrt[3]{(\sqrt{4})^3}\)的值是______（答案：2）。
解答题：
已知\(\sqrt[3]{2x+1}=\sqrt[3]{x-2}\)，求 x 的值，并计算\(\sqrt{x^2}\)的结果。
解：∵立方根相等的两个数相等，∴2x+1=x-2 → x=-3；\(\sqrt{x^2}=\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\)（注意算术平方根的非负性）。
第 11 页：课堂小结
核心概念：
立方根：若\(x^3=a\)（a 为任意实数），则 x 是 a 的立方根，记为\(\sqrt[3]{a}\)；
核心特征：被开方数为全体实数，结果唯一，与被开方数同号。
关键性质：
互逆性：\((\sqrt[3]{a})^3=a\)，\(\sqrt[3]{a^3}=a\)；
负号迁移：\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)。
核心技能：
求完全立方数、非完全立方数的立方根；
化简、估算立方根；
区分立方根与平方根的异同。
注意事项：
立方根的根指数 “3” 不能省略；
负数有立方根，且结果为负数（区别于平方根）；
化简时遵循立方根的积、商性质，无需分母有理化（立方根分母可保留根号）。
设每个小正方体的棱长是a cm，
则(3a)3=216，即a= =8.
不同阶的魔方体积不同，如视频中魔方阶数越高体积越大，若已知魔方体积为a,如何求边长？
观察探究
二阶魔方由几个小立方体构成_______
8个
三阶魔方由几个小立方体构成_______
四阶魔方由几个小立方体构成_______
27个
64个
如果一个魔方由27个小立方体构成,它应该是几阶魔方
解:设这个魔方为x阶,则:
x 3 =27,
因为 33 =27,
所以 x =3.
即这个魔方为 3 阶魔方.
什么数的立方等于-27
想一想
因为3的立方等于27,那么3就叫做27的立方根.
因为-3的立方等于-27,那么-3就叫做-27的立方根.
（-3）3=-27
立方根的定义
1.如何表示一个数的立方根
一个数a的立方根可以表示为:
根指数
被开方数
读作:三次根号 a
其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3 = a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根．记作　 　.
( )3=1 ( )3=8 ( )3=
( )3=0 ( )3=-64
数a
1
2
1
a的立方根
8
填一填
0
-64
64
27
64
27
0
-4
0
-4
1
2
4
3
4
3
解：
小结
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零.
立方根是它本身的数有1, -1, 0；
平方根是它本身的数只有0.
(1)正数有几个立方根？(2)0有几个立方根？
(3)负数有几个立方根？
议一议
类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作“开立方”.
提示：“开立方”与“立方”互为逆运算.
立方
开立方
+3
-3
+5
-5
27
-27
125
-125
求下列各数的立方根.
(1) -27；　 (2) ； (3) 0.216； (4) -5.
素养考点 1
求一个数的立方根
例
（3）因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，
即 .
（2）因为 ，所以 的立方根是 ，
（4）-5的立方根是 .
即 .
解：（1）因为(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，
即 .
你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系吗
a
3
-a
3
=
-2
-2
=
-3
-3
互为相反数的数的立方根也互为相反数
因为 =
,
=
所以
因为
=
,
=
猜一猜:
所以
知识点 2
立方根的有关计算
规律：对于任何数a都有
规律：对于任何数a都有
2
-2
-3
4
0
8
-8
27
-27
0
求下列各式的值.
（3） .
（2） ；
（1） ；
解：
（1）
（3）
立方根的有关计算
素养考点 1
例
（2）
知识点1 立方根的定义
1.（1）因为（___） ，所以125的立方根是___，用数学式子表
示为__________；
（2）因为（____），所以 的立方根是____，用数学式
子表示为_____________；
（3）0的立方根是___。
5
5
0
返回
2. 的立方根是____。
返回
3.下列说法正确的是( )
D
A.是的立方根 B.64的立方根是
C.是的立方根 D.的立方根是
返回
4.体积为4的正方体的棱长是( )
C
A.4的平方 B.4的平方根
C.4的立方根 D.4的算术平方根
返回
5.下列说法正确的是( )
D
A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是 或0或1
返回
知识点2 开立方
6.计算： ( )
B
A.3 B. C.9 D.
返回
7.下列计算中，错误的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
8.［教材 例5变式］ 求下列各数的立方根：
（1） ；
解： 。
（2） ；
解： 。
（3）0.512；
解： 。
平方根 立方根
性 质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
平方根与立方根的区别和联系
可以为任何数
非负数
探究新知
性质
定义
正数的立方根是正数，
负数的立方根是负数；
0的立方根是0.
立方根的有关计算
立方根
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