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(共20张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第二章 实数
2.1 认识实数
什么叫有理数？
整数(正整数、0、负整数)和分数统称为有理数
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形
剪一剪 拼一拼
1
1
探究一: 下面请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形
1
1
第 1 页：封面
标题：2.1 认识实数
副标题：从有理数到无理数的拓展
配图：数轴（标注有理数、无理数对应点）+ 根号形式的无理数示意图（如√2、π）
第 2 页：情境导入 —— 有理数不够用了
回顾旧知：有理数包括整数和分数，可表示为有限小数或无限循环小数（例：3=3.0，1/2=0.5，1/3=0.\(\dot{3}\)）
问题串：
勾股定理应用中，等腰直角三角形直角边为 1 时，斜边长度是多少？（答案：√2）
√2 是整数吗？是分数吗？它的小数形式有什么特点？
面积为 2 的正方形，边长是多少？（答案：√2）这个边长能归为有理数吗？
核心疑问：像√2 这样的数，既不是整数也不是分数，它们是什么数？有理数的范围需要拓展吗？
第 3 页：探究活动 1—— 认识无理数
一、计算√2 的近似值
动手计算：通过平方运算逼近√2 的值
1 =1，2 =4 → √2 在 1 和 2 之间；
1.4 =1.96，1.5 =2.25 → √2 在 1.4 和 1.5 之间；
1.41 =1.9881，1.42 =2.0164 → √2 在 1.41 和 1.42 之间；
1.414 =1.999396，1.415 =2.002225 → √2 在 1.414 和 1.415 之间；
结论：√2 是一个无限不循环小数
二、更多实例
π（圆周率）：3.1415926535…（无限不循环小数）
√3：1.7320508075…（无限不循环小数）
-√5：-2.2360679775…（无限不循环小数）
三、无理数定义
文字表述：无限不循环小数叫做无理数（又称非有理数）
注意事项：
无理数是无限小数，但无限小数不一定是无理数（无限循环小数是有理数）；
无理数包括正无理数（如√2、π）和负无理数（如 -√3、-π）。
第 4 页：探究活动 2—— 实数的分类
一、分类逻辑
有理数和无理数统称为实数，即：实数 = 有理数 + 无理数
二、详细分类（树状图）
实数
├── 有理数（有限小数或无限循环小数）
│ ├── 整数
│ │ ├── 正整数（如1、2、3）
│ │ ├── 0
│ │ └── 负整数（如-1、-2、-3）
│ └── 分数（如1/2、-3/4、5/7）
└── 无理数（无限不循环小数）
├── 正无理数（如√2、√3、π）
└── 负无理数（如-√2、-√5、-π）
三、另一种分类方式（按正负性）
实数
├── 正实数（如1、1/2、√2、π）
├── 0
└── 负实数（如-2、-3/4、-√3、-π）
四、即时判断（课堂互动）
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14、√4、√7、-5、0.\(\dot{6}\)、π/2、1.010010001…
答案：有理数（3.14、√4=2、-5、0.\(\dot{6}\)）；无理数（√7、π/2、1.010010001…）
第 5 页：核心性质 —— 实数与数轴的对应关系
一、思考：无理数能在数轴上表示吗？
操作演示：如何在数轴上找到√2 对应的点
作边长为 1 的等腰直角三角形，斜边长度为√2；
以数轴原点 O 为圆心，斜边长度为半径画弧，与数轴正半轴交于点 A；
点 A 对应的数就是√2（同理可找到 -√2 对应的点）。
二、结论
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
数轴上的每一个点都表示一个实数；
实数与数轴上的点是一一对应的关系。
三、配图
数轴表示√2 的示意图（标注等腰直角三角形、弧、点 A 及√2）
第 6 页：实数的相关性质
一、相反数
定义：实数 a 的相反数是 - a（a 为任意实数）
例：√2 的相反数是 -√2，π 的相反数是 -π，0 的相反数是 0
性质：数轴上，表示相反数的两个点关于原点对称
二、绝对值
定义：
当 a＞0 时，|a|=a（如 |√3|=√3）；
当 a=0 时，|a|=0；
当 a＜0 时，|a|=-a（如 |-√5|=√5）
几何意义：实数 a 的绝对值表示数轴上 a 对应的点到原点的距离
三、倒数
定义：非零实数 a 的倒数是 1/a（乘积为 1 的两个实数互为倒数）
例：√2 的倒数是 1/√2（化简为√2/2），3 的倒数是 1/3
注意：0 没有倒数
第 7 页：应用示例 —— 实数的简单运算与判断
类型 1：实数的分类判断
例 1：把下列各数填入相应的集合内：
3、-√2、0.121221222…、-5/2、0、π、√9、-1.414
有理数集合：{3、-5/2、0、√9=3、-1.414}
无理数集合：{-√2、0.121221222…、π}
类型 2：相反数、绝对值、倒数的计算
例 2：求下列实数的相反数、绝对值和倒数（若存在）
（1）√6：相反数 =-√6，绝对值 =√6，倒数 =√6/6
（2）-π：相反数 =π，绝对值 =π，无倒数（π 是无理数，倒数仍为无理数，但需化简表述）
（3）0：相反数 = 0，绝对值 = 0，无倒数
类型 3：数轴上的实数
例 3：在数轴上表示下列实数，并比较大小：-√2、1.5、π
步骤：确定各数大致范围（-√2≈-1.414，π≈3.14），在数轴上标注对应点，从左到右排序：-√2＜1.5＜π
第 8 页：拓展延伸 —— 无理数的历史
第一次数学危机：
古希腊数学家毕达哥拉斯认为 “万物皆数”，即所有数都是有理数；
其弟子希伯索斯发现√2 是无理数，打破了这一认知，引发数学危机；
最终，人们接受了无理数的存在，实数体系逐渐建立。
常见无理数的类型：
开方开不尽的数（如√2、√3、√7）；
特殊常数（如 π、e）；
有规律的无限不循环小数（如 0.1010010001…）。
第 9 页：课堂互动 —— 辨析与应用
判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）
（1）无限小数都是无理数（×，无限循环小数是有理数）；
（2）√4 是无理数（×，√4=2 是有理数）；
（3）数轴上的点都表示实数（√）；
（4）无理数的绝对值一定是正数（√，无理数不为 0）。
解答题：已知实数 a 在数轴上对应的点在原点左侧，且 | a|=√3，求 a 的值及 a 的相反数、倒数。
解：∵a 在原点左侧，∴a＜0；又 | a|=√3，∴a=-√3；
相反数：√3；倒数：1/(-√3)=-√3/3。
第 10 页：课堂小结
核心概念：
无理数：无限不循环小数；
实数：有理数和无理数的统称；
关键性质：
实数与数轴上的点一一对应；
实数的相反数、绝对值、倒数性质与有理数一致；
数学思想：
分类思想（实数的两种分类方式）；
数形结合思想（实数在数轴上的表示）；
注意事项：
区分 “无限小数” 与 “无理数”（无限循环小数是有理数）；
开方开尽的数是有理数（如√4、√9），开方开不尽的数是无理数。
1
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方 法 一
思考:设大正方形的边长为a,则a满足什么条件
方
法
二
a2=2
2.a可能是分数吗？说说你的理由.
探究二：
1.a可能是整数吗？说说你的理由.
a2=2
a
因为a2=2，1所以a一定不是整数；
因为×=， ×=，…
所以a一定不是分数.
在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数.
即两个相同最简分数的乘积仍是分数.
a2=2
a
归纳总结
有理数包括：整数和分数.
如果一个数既不是整数也不是分数，
那么这个数不是有理数.
在a2=2中，a不是有理数.
例 如图，有一个由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪拼成一个正方形．则拼成的正方形的面积是多少？这个正方形的边长是有理数吗？
解：因为小正方形的边长为1，
所以每个小正方形的面积为1，
所以拼成的正方形的面积为 5×1=5.
因为找不到平方等于5的有理数，
所以这个正方形的边长不是有理数．
提示：解决本题的关键是理解五个小正方形的面积的和就是拼成的正方形的面积．
(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？b是有理数吗？
解：b2=5.
①因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.
②没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.
③因为没有一个整数或分数的平方为5，所以b不是有理数.
解：两条直角边分别为1和2，根据勾股定理，得12+22=5，
所以正方形的面积是5.
例 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？
解：在Rt△ACD中，AC为斜边，AC=6，
AD=5，所以CD2=AC2-AD2=11.
因为11是质数，大于1的整数的平方都是合数，所以11不能写成一个整数的平方，所以CD不可能是整数．
因为最简分数的平方仍是分数，所以CD不可能是分数．所以CD不可能是有理数．
知识点1 非有理数的发现
1.若,则 为( )
D
A.整数 B.分数 C.有理数 D.以上都不是
返回
2.在中， ，,,所对的边分别为,, 。
（1）①当，时， ___；
②当，时， ____；
③当，时， _____。
3
16
0.64
（2）通过（1）中计算出的的值，我们知道：是整数的是____；
是分数的是____； 既不是整数，也不是分数的是____。（填序号）
②
③
①
返回
知识点2 非有理数的估算
3.小明想了解一个面积是5的正方形的边长 的近似值,首先,他通过计算
得到,，所以的整数部分是___。又因为 ,
,所以他得到____ ____。
2
2.2
2.3
返回
4.已知在中， ，，，则 的值在
( )
B
A.3.0与3.1之间 B.3.1与3.2之间 C.3.2与3.3之间 D.3.3与3.4之间
返回
5.估计面积等于7的正方形的边长 的值（结果精确到十分位）是( )
B
A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.8
返回
6.［2025西安铁一中月考］下列各数中，不是有理数的是( )
C
A.面积为16的正方形的边长
B.体积为27的正方体的棱长
C.直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长
D.长为4,宽为3的长方形的对角线长
返回
（第7题）
7. ［2025北京丰台区校级期中］ 将相邻边
长分别为3和6的长方形按如图剪开，拼成一个正
方形，则该正方形的边长最接近整数( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
非有理数的发现
拼图发现
首先通过拼图把几个小正方形拼成一个大正方形，然后利用面积发现非有理数
非有理数的识别
利用勾股定理发现非有理数
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