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北师大（2024）版数学8年级上册
第二章 实数
2.2.1算术平方根
学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？
第 1 页：封面
标题：2.2.1 算术平方根
副标题：实数的基础运算（一）
配图：正方形（标注边长与面积关系）+ 根号符号 “√” 示意图
第 2 页：情境导入 —— 从正方形面积到算术平方根
生活实例：
问题 1：一个正方形花坛的面积是 25 平方米，它的边长是多少？（答案：5 米，因为 5 =25）
问题 2：面积为 9 的正方形，边长是多少？（答案：3，因为 3 =9）
问题 3：面积为 2 的正方形，边长是多少？（答案：√2，因为 (√2) =2）
回顾旧知：在实数中，正数有两个平方根（如 25 的平方根是 5 和 - 5），0 的平方根是 0，负数没有平方根
核心疑问：上述正方形边长都是正数，我们需要给 “正数的正平方根” 一个专门的名称吗？它有怎样的定义和性质？
第 3 页：探究活动 1—— 算术平方根的定义
一、定义推导
观察实例：
5 =25 → 5 是 25 的正平方根；
3 =9 → 3 是 9 的正平方根；
(√2) =2 → √2 是 2 的正平方根；
文字表述：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x =a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根
特殊规定：0 的算术平方根是 0（因为 0 =0，且 0 是非负数）
二、符号表示
算术平方根的符号：“√”（读作 “根号”）
表示方法：a 的算术平方根记为\(\sqrt{a}\)，读作 “根号 a”
例：25 的算术平方根是 5，记作\(\sqrt{25}=5\)；
0 的算术平方根是 0，记作\(\sqrt{0}=0\)；
2 的算术平方根是√2，记作\(\sqrt{2}\)（无需化简，保留根号形式）
三、注意事项
被开方数 a 的取值范围：\(a \geq 0\)（负数没有算术平方根，因为任何实数的平方都非负）；
算术平方根的结果：\(\sqrt{a} \geq 0\)（算术平方根一定是非负数，即正数或 0）。
第 4 页：探究活动 2—— 算术平方根的性质
一、核心性质（结合实例验证）
非负性：\(\sqrt{a} \geq 0\)（a≥0），算术平方根的结果一定是非负数
例：\(\sqrt{4}=2>0\)，\(\sqrt{0}=0\)，\(\sqrt{7} 2.645>0\)
平方与开方的互逆性：
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身：\((\sqrt{a})^2 = a\)（a≥0）
例：\((\sqrt{3})^2 = 3\)，\((\sqrt{0})^2 = 0\)，\((\sqrt{1.5})^2 = 1.5\)
一个非负数的平方的算术平方根等于它本身：\(\sqrt{a^2} = a\)（a≥0）
例：\(\sqrt{5^2} = 5\)，\(\sqrt{0^2} = 0\)，\(\sqrt{(\sqrt{2})^2} = \sqrt{2}\)
二、性质辨析（课堂互动）
判断下列等式是否成立，说明理由：
（1）\((\sqrt{-3})^2 = -3\)（不成立，-3 没有算术平方根）；
（2）\(\sqrt{(-4)^2} = -4\)（不成立，算术平方根是非负数，结果应为 4）；
（3）\(\sqrt{6^2} = 6\)（成立，符合\(\sqrt{a^2}=a\)（a≥0））。
第 5 页：基础计算 —— 求一个数的算术平方根
类型 1：完全平方数的算术平方根（结果为有理数）
例 1：求下列各数的算术平方根：
（1）16：解：∵4 =16，∴\(\sqrt{16}=4\)；
（2）81/25：解：∵(9/5) =81/25，∴\(\sqrt{81/25}=9/5\)；
（3）0.09：解：∵0.3 =0.09，∴\(\sqrt{0.09}=0.3\)；
（4）0：解：\(\sqrt{0}=0\)。
类型 2：非完全平方数的算术平方根（结果为无理数，保留根号或取近似值）
例 2：求下列各数的算术平方根：
（1）7：解：\(\sqrt{7}\)（无理数，保留根号）；
（2）10：解：\(\sqrt{10} 3.16\)（取近似值，精确到 0.01）；
（3）2.5：解：\(\sqrt{2.5}=\sqrt{5/2}=\sqrt{10}/2 1.58\)（化简后取近似值）。
关键步骤：
确定被开方数 a≥0（若 a<0，直接说明无算术平方根）；
找到正数 x，使 x =a（完全平方数可直接得出，非完全平方数保留根号或近似计算）；
写出结果（注意非负性）。
第 6 页：应用示例 —— 算术平方根的实际应用
场景 1：几何问题
例 3：一个直角三角形的两条直角边长度分别为 3cm 和 4cm，求斜边的算术平方根（结果保留根号）。
解：由勾股定理得斜边 c=\(\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5\)cm，斜边的算术平方根为\(\sqrt{5}\)cm。
场景 2：生活问题
例 4：要在一块长方形土地上建一个面积为 120 平方米的花园，花园的长是宽的 1.5 倍，求花园宽的算术平方根（精确到 0.1 米）。
解：设宽为 x 米，则长为 1.5x 米，由面积公式得 1.5x x=120 → 1.5x =120 → x =80 → x=\(\sqrt{80} 8.9\)米，宽的算术平方根为\(\sqrt{8.9} 3.0\)米。
第 7 页：易错辨析 —— 常见误区警示
误区 1：忽略被开方数的非负性
错误示例：求\(\sqrt{-9}\)的值（认为结果是 - 3）；
纠正：负数没有算术平方根，\(\sqrt{-9}\)无意义。
误区 2：混淆平方根与算术平方根
错误示例：认为\(\sqrt{16}= ±4\)；
纠正：算术平方根是正数的正平方根，\(\sqrt{16}=4\)，±4 是 16 的平方根。
误区 3：错误应用平方与开方的互逆性
错误示例：\(\sqrt{(-5)^2}=-5\)；
纠正：\(\sqrt{a^2}=a\)（a≥0），\(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5\)。
误区 4：化简时未分母有理化
错误示例：\(\sqrt{1/2}=1/\sqrt{2}\)；
纠正：算术平方根结果需分母有理化，\(\sqrt{1/2}=\sqrt{2}/2\)。
第 8 页：拓展延伸 —— 算术平方根的估算
估算方法：“夹逼法”（逼近法）
例 5：估算\(\sqrt{13}\)的取值范围（精确到 0.1）。
步骤：
找到相邻的两个完全平方数：3 =9，4 =16 → \(\sqrt{13}\)在 3 和 4 之间；
缩小范围：3.6 =12.96，3.7 =13.69 → \(\sqrt{13}\)在 3.6 和 3.7 之间；
精确到 0.1：\(\sqrt{13} 3.6\)（因 13 更接近 12.96）。
应用：比较无理数的大小
例 6：比较\(\sqrt{5}\)与 2.3 的大小。
解：2.3 =5.29，∵5<5.29，∴\(\sqrt{5}<2.3\)。
第 9 页：课堂互动 —— 巩固与提升
填空题：
（1）\(\sqrt{36}\)的算术平方根是______（答案：\(\sqrt{6}\)）；
（2）若\(\sqrt{x}=7\)，则 x=______（答案：49）；
（3）若\(\sqrt{a-2}\)有意义，则 a 的取值范围是______（答案：a≥2）。
解答题：
已知\((x-3)^2 + \sqrt{y+2}=0\)，求 x+y 的算术平方根。
解：∵平方数和算术平方根均为非负数，且和为 0，∴x-3=0，y+2=0 → x=3，y=-2；
x+y=1，1 的算术平方根为 1。
第 10 页：课堂小结
核心概念：
算术平方根：正数 a 的正平方根（\(x^2=a\)，x>0），0 的算术平方根是 0；
符号：\(\sqrt{a}\)（a≥0），读作 “根号 a”。
关键性质：
非负性：\(\sqrt{a} 0\)（a≥0）；
互逆性：\((\sqrt{a})^2=a\)（a≥0），\(\sqrt{a^2}=a\)（a≥0）。
核心技能：
求完全平方数、非完全平方数的算术平方根；
估算无理数的算术平方根；
利用非负性解决综合问题。
注意事项：
被开方数必须是非负数；
区分算术平方根（一个非负值）与平方根（两个值，互为相反数）；
结果需化简（分母有理化、近似值按需保留）。
一、请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
x2= ，
y2= ，
z2= ，
w2= ．
2
3
4
5
x,y,z,w中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算.
正方形的边长/cm 1 2 0.5
正方形的面积/cm2
1
二、填表：
表1
讨论 你能从表1发现什么共同点吗？
4
0. 25
正方形的面积/cm2 1 4 0.36
49
正方形的边长/cm
已知一个正数的平方，求这个正数.
表2
表1和表2中的两种运算有什么关系？
1
2
0.6
7
讨论 你能从表2发现什么共同点吗？
规定：0的算术平方根是0，即=0.
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为,读作“ 根号 a” .
a的算术平方根
互为
逆运算
平方根号
被开方数
读作：根号a
（a≥0）
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？
(x≥0)
x2 = a
x =
1.一个正数的算术平方根有几个？
0的算术平方根有1个，是0.
2.0的算术平方根有几个？
负数没有算术平方根.
3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根吗
一个正数的算术平方根有1个.
解: (1)因为302=900， 所以900的算术平方根是30，即=30;
(2)因为12=1， 所以1的算术平方根是1，即=1；
求下列各数的算术平方根：
非平方数的算术平方根只能用根号表示
(3)因为2= ，所以的算术平方根是，即=;
(4)14的算术平方根是.
例
(1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14．
求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）-．
解：（1） =7；
　（2） =；
　（3） =0.3；
　（4） - =-8．
自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9 t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解:将h=19.6代入公式
h=4.9 t2,
得 t2 =4,所以t =2(秒).
即铁球到达地面需要2秒.
例
1. 负数有算术平方根吗？
2. 是什么数？
3. 中的a可以取任何数吗？
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数.负数不存在算术平方根，即当 a＜0时， 无意义.
的双重非负性
1.被开方数a≥0
2.a的算术平方根≥0
例1 下列各式是否有意义，为什么？
（1） ；（2） - ；（3） ；（4） ．
解：
（1）无意义；
（4）有意义．
（3）有意义；
（2）有意义；
素养考点 1
算术平方根有意义的识别
探究新知
解: 因为|m-1| ≥0，≥0，又|m-1|+ =0,
所以 |m-1|=0，=0，所以m=1,n=-3,
所以m+n=1+(-3)=-2.
例2 若|m-1| + =0,求m+n的值.
总结：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
素养考点 2
利用非负性求字母的值
探究新知
知识点1 算术平方根的定义及其计算
1.［2025西安铁一中月考］9的算术平方根是( )
C
A. B. C.3 D.
返回
2.“的算术平方根是 ”，用式子表示为( )
C
A. B. C. D.
返回
3.若一个数的算术平方根是5，则这个数是( )
B
A. B.25 C. D.
返回
4.下列说法正确的是( )
A
A.因为 ,所以6是36的算术平方根
B.因为,所以 是36的算术平方根
C.因为,所以6和 都是36的算术平方根
D.以上说法都不对
返回
5.（1） 的算术平方根是__；
（2）［2024广安中考］ ___。
0
返回
6.求下列各数的算术平方根：
（1）0；
解： 。
（2）121；
解： 。
（3）1.96；
解： 。
（4） ；
解： 。
（5）10；
解： 。
（6） 。
解： 。
返回
知识点2 与 的性质
7.［教材P随堂练习T变式］ 计算：___,___,
___。
7
7
7
返回
算术平方根
算术平方根的概念
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
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