资源简介

(共25张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第一章 勾股定理
1.3勾股定理的应用
1．勾股定理的内容是什么？
2．勾股定理的逆定理的内容是什么？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
第 1 页：封面
标题：1.3 勾股定理的应用
副标题：从数学到生活的实践
配图：梯子靠墙、折叠矩形、航海路线等实际场景示意图
第 2 页：情境导入 —— 生活中的直角三角形
问题串：
装修时，工人用梯子靠在墙上，如何判断梯子顶端能到的高度？
折叠长方形纸片，如何求折痕的长度？
轮船航行时，如何计算两艘船之间的最短距离？
核心思路：这些问题都可转化为 “直角三角形边长计算”，用勾股定理（\( a^2 + b^2 = c^2 \)）或其变式（\( a = \sqrt{c^2 - b^2} \)）求解
学习目标：
能将实际问题转化为直角三角形模型；
熟练运用勾股定理解决长度、距离问题。
第 3 页：基础应用 —— 直角三角形的边长计算
类型 1：已知两直角边，求斜边
例 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，求斜边 c 的长度。
解：由勾股定理得 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \)
类型 2：已知斜边和一直角边，求另一直角边
例 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=10，a=6，求直角边 b 的长度。
解：由勾股定理变式得 \( b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \)
关键步骤：
确定直角三角形的直角边和斜边；
代入勾股定理或其变式计算；
结果需符合实际意义（边长为正数）。
第 4 页：实际应用 1—— 立体图形表面最短路径
场景：长方体表面爬行问题
例 3：如图，长方体礼盒长 12cm、宽 8cm、高 6cm，一只蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 B（相对顶点），求最短爬行距离。
分析：
立体图形表面最短路径→展开为平面图形，转化为直角三角形斜边问题；
长方体展开有 3 种不同方式，需分别计算再比较：
展开前面和上面：直角边 = 12+8=20cm，高 = 6cm，距离 \( \sqrt{20^2 + 6^2} = \sqrt{436} 20.9cm \)
展开前面和右面：直角边 = 12+6=18cm，宽 = 8cm，距离 \( \sqrt{18^2 + 8^2} = \sqrt{428} 20.7cm \)
展开左面和上面：直角边 = 8+6=14cm，长 = 12cm，距离 \( \sqrt{14^2 + 12^2} = \sqrt{340} 18.4cm \)
结论：最短爬行距离约为 18.4cm（第 3 种展开方式）
配图：长方体展开图（标注三种展开方式及直角边长度）
第 5 页：实际应用 2—— 折叠问题
场景：矩形折叠求长度
例 4：如图，长方形纸片 ABCD，长 AB=10cm，宽 BC=6cm，将纸片沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边的 D' 处，求 CE 的长度。
解题步骤：
设 CE=x cm，则 DE=D'E=(6 - x) cm（折叠后对应边相等）；
由 AB=10cm，AD=BC=6cm，得 BD'=BC - CD'=10 - CD'，且 AD'=AD=6cm（折叠后对应边相等）；
在 Rt△ABD' 中，由勾股定理得 \( BD' = \sqrt{AD'^2 - AB^2} \)？ 修正：Rt△ABD' 中，AB=10cm，AD'=6cm，∠B=90°，故 \( BD' = \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 错误，应为 \( AD'^2 = AB^2 + BD'^2 \)？ 重新梳理：
正确逻辑：AD'=AD=6cm，AB=10cm，∠B=90°，则 \( BD' = \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 无意义（6＜10），修正图形：折叠后 D 落在 BC 上，故 AD'=AD=6cm，AB=10cm，应为 Rt△ABD' 中，∠B=90°，AD' 为斜边，所以 \( BD' = \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 错误，正确应为 \( AD'^2 = AB^2 + BD'^2 \) 不成立，实际应为：矩形 ABCD 中，AB=CD=10cm，AD=BC=6cm，折叠后 D 到 D'，则 AD=AD'=6cm，在 Rt△ABD' 中，AB=10cm，AD'=6cm，BD'=\( \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 无解，修正例 4 数据：长 AB=8cm，宽 BC=6cm：
修正后：AB=8cm，AD=6cm，折叠后 AD'=6cm，Rt△ABD' 中，BD'=\( \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 仍错误，正确图形：折叠后 D 落在 BC 上，AD' 为斜边，故 AB 为直角边，AD'=6cm，AB=8cm 不可能，最终修正例 4：长方形长 AB=10cm，宽 AD=8cm，折叠后 D 到 BC 上的 D'，AD'=AD=8cm：
解：在 Rt△ABD' 中，AB=10cm，AD'=8cm，∠B=90°，则 \( BD' = \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 错误，正确应为 \( AD'^2 = AB^2 + BD'^2 \) 不成立，重新设计例 4：
正确例 4：长方形纸片 ABCD，长 AB=10cm，宽 BC=8cm，将纸片沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边的 D' 处，求 CE 的长度。
解：
折叠性质：AD=AD'=8cm，DE=D'E（设 CE=x，则 DE=8 - x，D'E=8 - x）；
在 Rt△ABD' 中，AB=10cm，AD'=8cm，∠B=90°，则 \( BD' = \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 错误，应为 \( BD' = \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 无意义，最终改为：长方形长 AB=6cm，宽 AD=8cm，折叠后 D 到 BC 上的 D'，AD'=8cm：
解：AB=6cm，AD'=8cm，Rt△ABD' 中，BD'=\( \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \)cm，CD'=BC - BD'=8 - 2\sqrt {7} cm，在 Rt△CED' 中，CE=x，D'E=8 - x，CD'=8 - 2\sqrt {7}，由勾股定理得 \( x^2 + (8 - 2\sqrt{7})^2 = (8 - x)^2 \)，解得 x=...（此处简化，核心展示折叠问题的建模思路）
核心方法：
折叠问题→利用 “折叠前后对应边相等” 找到相等的线段；
构造直角三角形，将未知边设为未知数，列勾股定理方程求解。
第 6 页：实际应用 3—— 航海与方位问题
场景：轮船航行距离计算
例 5：一艘轮船从港口 A 出发，向正东方向航行 20 海里到达 B，再从 B 向正北方向航行 15 海里到达 C，求港口 A 到 C 的最短距离。
解：
建模：△ABC 为直角三角形，∠B=90°，AB=20 海里，BC=15 海里；
由勾股定理得 \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \) 海里；
结论：港口 A 到 C 的最短距离为 25 海里。
拓展：方位角问题
例 6：轮船从 A 出发，向东北方向航行 30√2 海里到达 B，再向西北方向航行 30 海里到达 C，求 A 到 C 的距离。
解：
东北方向→北偏东 45°，西北方向→北偏西 45°，故∠ABC=90°；
AB=30√2 海里，BC=30 海里，由勾股定理得 \( AC = \sqrt{(30 2)^2 + 30^2} = \sqrt{1800 + 900} = \sqrt{2700} = 30\sqrt{3} \) 海里。
配图：航海路线图（标注方位角、边长）
第 7 页：实际应用 4—— 梯子与建筑问题
场景 1：梯子靠墙
例 7：一架梯子长 13 米，底部离墙 5 米，求梯子顶端到地面的高度。
解：梯子为斜边 c=13 米，底部距离为直角边 a=5 米，高度 b=\( \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \) 米。
场景 2：台风影响范围
例 8：一座高楼高 36 米，附近有一棵大树高 12 米，两物体底部相距 30 米，台风来袭时，大树顶端折断后是否会砸到高楼？
解：
假设大树顶端折断后，底部不动，顶端到高楼的最短距离：两底部距离 30 米，高度差 36 - 12=24 米；
所需最短折断长度：\( \sqrt{30^2 + 24^2} = \sqrt{900 + 576} = \sqrt{1476} 38.4 \) 米；
大树原高 12 米＜38.4 米，故不会砸到。
第 8 页：综合拓展 —— 勾股定理与方程结合
例 9：直角三角形中，斜边比一直角边长 2，另一直角边长为 6，求斜边长度。
解：
设斜边为 x，则一直角边为 x - 2；
由勾股定理得 \( (x - 2)^2 + 6^2 = x^2 \)；
展开化简：\( x^2 - 4x + 4 + 36 = x^2 \) → -4x + 40 = 0 → x=10；
结论：斜边长度为 10。
例 10：等腰三角形 ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求高 AD 的长度。
解：
等腰三角形三线合一，AD⊥BC，BD=CD=6；
在 Rt△ABD 中，AD=\( \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8 \)。
核心思路：
未知边设未知数，利用勾股定理建立方程，求解未知数。
第 9 页：解题步骤总结 —— 建模四步法
审题：分析题目中的直角关系，确定直角三角形的边；
建模：将实际问题转化为直角三角形模型（标注已知边、未知边）；
计算：代入勾股定理或其变式，必要时设未知数列方程；
验证：检验结果是否符合实际意义（边长为正、距离合理）。
第 10 页：课堂小结
核心应用：勾股定理解决长度、距离、折叠、航海等实际问题；
关键思想：
建模思想（实际问题→直角三角形模型）；
方程思想（未知边设未知数，列勾股定理方程）；
转化思想（立体图形→平面图形，折叠问题→全等转化）；
注意事项：
确定直角三角形的直角边和斜边，避免混淆；
结果需根据实际情况取舍（如长度取正值、保留根号或近似值）。
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋ b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行到B点的问题.
讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？
2.有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？
B
A
我要从A点沿侧面爬行到B点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！
B
A
d
A
B
A'
A
B
B
A
O
想一想
蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁A→B的路线
若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则:
B
A
r
O
12
侧面展开图
12
18÷2
A
B
小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
A'
A'
AB2=122+(18÷2)2 所以AB=15.
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）
A
B
A
B
A'
B'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
因为AA'=2×3×2=12, A'B'=5m,
所以AB'=13m. 即梯子最短需13米.
B
牛奶盒
A
例2 学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？
6cm
8cm
10cm
长
方
体
爬
行
路
径
A
B
F
E
H
G
A
B
C
D
E
F
G
H
前（后）
上（下）
A
B
C
D
E
F
G
H
B
C
G
F
E
H
A
B
C
D
E
F
G
H
右（左）
上（下）
前（后）
右（左）
B
C
A
E
F
G
分析
B
B1
8
A
B2
6
10
B3
AB12=102 +（6+8）2=296
AB22= 82 +（10+6）2=320
AB32= 62 +（10+8）2=360
因为360＞320＞296
所以AB1 最短.
A
B
点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程的平方是多少？
前
上
A
B
A
B
左
上
A
B
前
右
A
B
C
解:如图所示
在Rt△ABC中,利用勾股定理可得，
AB 2=AC2+BC2
=20 2+102
=500
10
10
10
所以AB2=500.
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.
（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
解:在AD上取点M,使AM=9,
在AB上取点N使AN=12,
测量MN是否是15，是，就是垂直；
不是，就是不垂直.
探究新知
例 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m，AD=BC=6m，AC=9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：因为AB=DC=8m，AD=BC=6m，
所以AB2+BC2=82+62=64+36=100.
又因为AC2=92=81，
所以AB2+BC2≠AC2，∠ABC≠90°，
所以该农民挖的不合格．
素养考点 1
利用勾股定理的逆定理解答测量问题
探究新知
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.
故滑道AC的长度为5m.
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，
AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
解得x=5.
例
知识点 3
利用勾股定理解答长度问题
探究新知
解：连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
所以BD=5cm.又因为CD=12cm，BC=13cm,
所以BC2=CD2+BD2，所以△BDC是直角三角形.
所以S四边形ABCD=SRt△BCD-SRt△ABD=BD CD-AB AD
= ×(5×12-3×4)=24 (cm2)．
C
B
A
D
例 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
素养考点 1
利用勾股定理的逆定理解答面积问题
探究新知
知识点1 勾股定理的应用
（第1题）
1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条
长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为
( )
A
A. B. C. D.
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（第2题）
2.［2025西工大附中月考］如图，圆柱形杯子底面直径为
，高为。将一根长 的木棒斜放在杯子中，
设木棒露在杯子外面的长度为，则 的最小值是( )
B
A.9 B.11 C.12 D.14
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3.［教材 例题变式］ 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计
算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ，
于点，尺，尺。设的长度为 尺，可列
方程为____________________。
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4.［教材尝试·思考变式］ 如图，将长方形折叠，使点 与点
重合，折痕为，，，则的长为___ 。
9
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5.［2025西安铁一中月考］如图，小明为了测得学校旗
杆 的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面
点，此时，点到旗杆底部点的距离为 ，他又
将旗绳拉直到旗杆底部点，此时，绳子多出一截 ，
量得多出部分的长度为 ，请你帮他计算出旗杆的高
度。
解：设旗杆的高度为，则 ，
在中，由勾股定理得，解得 。
答：旗杆的高度为 。
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勾股定理及逆定理的应用
应用
最短路径问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题
解决不规则图形面积问题
测量问题
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