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北师大（2024）版数学8年级上册
第一章 勾股定理
1.2 一定是直角三角形吗
第 1 页：封面
标题：1.2 一定是直角三角形吗
副标题：勾股定理的逆定理
配图：直角三角形与非直角三角形对比图（标注三边长度）+ 问号图标
第 2 页：情境导入 —— 从已知到未知的疑问
回顾旧知：勾股定理（正定理）—— 直角三角形→两直角边的平方和等于斜边的平方（形→数）
反向思考：
若一个三角形的三边满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，它一定是直角三角形吗？（数→形）
举例：三边长为 3、4、5 的三角形，满足 \( 3^2 + 4^2 = 5^2 \)，它是直角三角形吗？
生活情境：木工师傅用 “3-4-5” 木条定直角：在木板上截取 3cm、4cm、5cm 的线段围成三角形，判断其中一个角是否为直角，这是为什么？
第 3 页：探究活动 1—— 验证特殊三边的三角形
操作任务：小组合作，用硬纸板剪出以下三组长度的线段，拼成三角形，测量最大角的度数
三边长度（a≤b≤c）
\( a^2 + b^2 \)
\( c^2 \)
\( a^2 + b^2 \)与\( c^2 \)的关系
最大角的度数
三角形类型一、已知
在△ABC 中，三边满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)（c 为最长边）
二、求证
△ABC 是直角三角形（∠C=90°）
三、证明步骤（构造法）
构造辅助三角形：作 Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，A'C'=b，B'C'=a；
应用勾股定理：在 Rt△A'B'C' 中，由正定理得 \( A'B'^2 = A'C'^2 + B'C'^2 = a^2 + b^2 \)；
等量代换：已知 \( c^2 = a^2 + b^2 \)，因此 \( A'B' = c \)；
全等判定：△ABC ≌ △A'B'C'（SSS：AB=A'B'=c，AC=A'C'=b，BC=B'C'=a）；
对应角相等：∠C=∠C'=90°，故△ABC 是直角三角形。
四、配图
辅助三角形构造图（标注 a、b、c 边长及直角符号）
第 5 页：定理总结 —— 勾股定理的逆定理
文字表述：如果一个三角形的三边长 a、b、c（c 为最长边）满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，那么这个三角形是直角三角形（又称 “勾股逆定理”）
符号语言：在△ABC 中，若 \( a^2 + b^2 = c^2 \)（c 为最长边），则△ABC 是 Rt△，且∠C=90°
核心价值：
提供了 “由三边关系判断三角形形状” 的方法（数→形）；
是勾股定理的逆命题，且为真命题，二者构成互逆定理；
注意事项：必须强调 “c 为最长边”，否则结论不成立（例：a=2，b=3，c=4，虽\( 2^2 + 3^2 4^2 \)，但需先确定最长边）
第 6 页：拓展概念 —— 勾股数
定义：满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \) 的正整数组（a、b、c）称为勾股数（又称毕达哥拉斯数）
常见勾股数：
基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17
衍生组：将基础勾股数同时乘正整数（例：3×2=6，4×2=8，5×2=10，6,8,10 也是勾股数）
应用：勾股数可快速判断三角形是否为直角三角形（例：三边为 9,12,15，因 9=3×3，12=3×4，15=3×5，是勾股数，故为直角三角形）
第 7 页：应用示例 —— 基础与实际
基础题：
判断：三边为 6,8,10 的三角形是直角三角形吗？（解：\( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \)，是）
判断：三边为 7,8,9 的三角形是直角三角形吗？（解：\( 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 81 = 9^2 \)，不是）
实际题：
如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上，一艘船从 P 出发，向东北方向航行 20√2 海里到达 Q，再向西北方向航行 20 海里到达 R，若 R 到海岸线的距离为 20 海里，判断△PQR 的形状（解：PQ=20√2，QR=20，PR=20，\( 20^2 + 20^2 = (20 2)^2 \)，故为直角三角形）
第 8 页：逆定理与正定理的对比
定理
条件（已知）
结论（求证）
应用方向
勾股定理（正定理）
三角形是直角三角形
两直角边的平方和 = 斜边的平方
形→数（算边长）
勾股定理的逆定理
三角形三边满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)
三角形是直角三角形
数→形（判形状）
配图：左右对比示意图（左侧直角三角形标注边长关系，右侧三边标注平方关系）
第 9 页：课堂实操 —— 小组判断活动
任务：每组给定 3 组线段长度，通过计算和拼图两种方式判断是否为直角三角形
线段组 1：5cm、12cm、13cm
线段组 2：4cm、6cm、7cm
线段组 3：9cm、12cm、15cm
要求：
先计算\( a^2 + b^2 \)与\( c^2 \)的关系（c 为最长边）；
再用硬纸板拼图，测量最大角验证；
记录计算过程和验证结果，分析两种方法的一致性。
第 10 页：课堂小结
核心定理：勾股逆定理 ——\( a^2 + b^2 = c^2 \)（c 为最长边）→ 直角三角形
关键概念：勾股数（正整数组、满足逆定理条件）
数学思想：
数形结合（从代数关系判断几何形状）；
构造法（证明逆定理时构造全等直角三角形）；
应用方法：先确定最长边，再验证平方关系。
问题 将勾股定理的内容反过来，即如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗
下面每组数分别是一个三角形的三边长a，b，c，而且都满足a2+b2=c2：
3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25.
分别以每组数为三边长画出三角形(可借助尺规作图)，它们都是直角三角形吗
13
12
5
4
3
5
17
8
15
25
24
7
① 3，4，5满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°；
② 5，12，13满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°；
③ 7，24，25满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°；
④ 8，15，17满足a2+b2=c2 ，量得较长边c所对的角的度数为90°.
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所以以上四种情况都可以构成直角三角形.
如果三角形三条边的长度 a，b，c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
符号语言：
在△ABC中，因为a2 +b2 =c2 .
所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
C
B
A
a
b
c
　据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
这种方法对吗？
3
4
5
三边分别为3，4，5，
满足关系：32+42=52，
则该三角形是直角三角形．
问题1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
做一做 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17．
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
因为32+42=52，所以满足.
a2+b2=c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题4 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，
并且a2+b2=c2.
A
B
b
c
证明：作 A1B1C1
在△ABC和△A1B1C 1中，
C
a
求证：∠C=90°.
使∠C1=90°
根据勾股定理，则有
所以∠C=∠C1
=90°.
B
A
B1C1=a，C1A1=b,
A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2
因为a2+b2=c2
所以A1B1 =c，
所以AB=A1B1
≌
所以 ABC
A1B1C1，
a
b
C1
A1
B1
BC=B1C1
CA=C1A1
AB=A1B1
符号语言：
在△ABC中，
若a2 + b2 = c2
则△ABC是直角三角形.
提示：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
b
c
C
a
B
A
勾股定理的逆定理：
例 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15，b=20，c=25;
解：(1)因为152+202=625，252=625，所以152+202=252，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14，c=15.
(2)因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( )
A. 1,2,3 B. 2,3,4
C. 4,5,6 D. 6,10,8
D
一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图(右)所示,这个零件符合要求吗
例
分析：如果三角形三边之间的关系存在着a2+b2=c2,那么就可以判定是直角三角形.
解:在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2,
所以△ABD是直角三角形,∠A是直角.
在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2,
所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角.
因此,这个零件符合要求.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
知识点1 由三边关系确定直角三角形
1.［教材P11随堂练习T1变式］ ［2025西安新城区期末］ 以下列各组
数为边长，其中能构成直角三角形的是( )
C
A.2，3，4 B.6，7，8 C.8，15，17 D.9，24，25
返回
2.［教材习题变式］ 在中，若 ，则
( )
B
A. B.
C. D. 不是直角三角形
返回
3.若的三边长,,满足 ，则
是( )
A
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
返回
（第4题）
4. 为了增强学生的环保意识和生态
意识，某中学在植树节当天组织了植树活动。如
图,为了判断种的小树是否与地面垂直,种好树后,
小明从树干上的处拉了一根 长的绳子，刚
好到距离树的底部处的 处,测得
,则小树与地面______（填“垂直”或
“不垂直”）。
垂直
返回
5.如图，三个正方形的面积分别为，， ，则
分别以它们的一边为边围成的三角形中，____ 。
90
（第5题）
返回
6.如图，点在边长为13的正方形内， ，
，求出图中阴影部分的面积。
解：在中,因为 ,
，所以
,所以是直角三角形， 。所以 。
返回
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
勾股数
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