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北师大（2024）版数学8年级上册
第一章 勾股定理
1.1.2勾股定理的验证
问题 上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
勾股定理的验证方法有很多种，你有自己的方法吗？
直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.
问题 分别以直角三角形的三条边（a＜b）为边向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗
第 1 页：验证导入 —— 为何需要证明？
回顾猜想：通过方格纸中 3 组特殊直角三角形，我们猜想 “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”
思考：
特殊例子能代表所有直角三角形吗？
如何用严谨的数学方法证明这个猜想的普遍性？
核心目标：通过拼图、面积推导等方式，验证勾股定理对任意直角三角形均成立
第 2 页：验证方法一 —— 赵爽弦图（重点）
一、准备材料
4 个全等的直角三角形（标注：直角边 a、b，斜边 c，∠C=90°）
1 个小正方形（边长 = b-a，a＜b）
硬纸板、剪刀、直尺（课堂实操用）
二、拼图步骤（配图：分步示意图）
取出小正方形，放在平面中央；
将 4 个直角三角形分别摆放在小正方形的 4 个外侧；
调整位置：使每个直角三角形的斜边朝向外侧，直角边与小正方形的边贴合；
最终组成一个边长为 c 的大正方形（4 个直角三角形的斜边构成大正方形的 4 条边）。
三、面积推导（板书式呈现）
方法一：直接表示大正方形面积
大正方形边长为斜边 c，因此面积 = \( c^2 \)
方法二：分割表示大正方形面积
大正方形由 4 个全等直角三角形 + 1 个小正方形组成：
1 个直角三角形面积 = \( \frac{1}{2}ab \)，4 个总面积 = \( 4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab \)
小正方形边长 = \( b - a \)，面积 = \( (b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2 \)
大正方形总面积 = 4 个三角形面积 + 小正方形面积 = \( 2ab + (a^2 - 2ab + b^2) \)
等式建立与化简
两种方法表示同一图形面积，因此：\(
c^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2
\)
抵消同类项后得：\(
c^2 = a^2 + b^2
\)
结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，猜想成立！
第 3 页：验证方法二 —— 加菲尔德梯形证法
一、准备材料
2 个全等的直角三角形（直角边 a、b，斜边 c）
1 个等腰直角三角形（直角边 c）
直尺、铅笔（绘图用）
二、拼图步骤（配图：梯形组合图）
将两个全等直角三角形的斜边相对，拼成一个 “L” 形；
再将等腰直角三角形补在 “L” 形的缺口处，组成一个直角梯形；
梯形的上底 = \( a \)，下底 = \( b \)，高 = \( a + b \)（标注关键边长）。
三、面积推导
方法一：梯形面积公式
梯形面积 = \( \frac{1}{2} \times ( + ) \times é = \frac{1}{2}(a + b)(a + b) \)
展开化简：\( \frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = \frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2 \)
方法二：分割面积求和
梯形由 2 个全等直角三角形 + 1 个等腰直角三角形组成：
2 个直角三角形面积 = \( 2 \times \frac{1}{2}ab = ab \)
等腰直角三角形面积 = \( \frac{1}{2}c^2 \)
总面积 = \( ab + \frac{1}{2}c^2 \)
等式建立与化简\(
\frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2 = ab + \frac{1}{2}c^2
\)
两边减 ab，再乘 2 得：\(
a^2 + b^2 = c^2
\)
第 4 页：验证方法三 —— 欧几里得证法（选学）
一、核心思路
通过在直角三角形三边上分别作正方形，利用全等三角形的性质，证明斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和。
二、关键步骤（配图：几何原本示意图）
在 Rt△ABC 中，分别以 AB（斜边 c）、AC（直角边 b）、BC（直角边 a）为边作正方形 ABDE、ACFG、BCHK；
连接 CE、BF，证明△ACE ≌ △AFB（SAS：AC=AF，∠CAE=∠FAB，AE=AB）；
正方形 ACFG 的面积 = 2×△AFB 的面积（同底等高）；
矩形 AKED 的面积 = 2×△ACE 的面积（同底等高）；
因此，正方形 ACFG 的面积 = 矩形 AKED 的面积；
同理可证，正方形 BCHK 的面积 = 矩形 BKED 的面积；
斜边上的正方形 ABDE 面积 = 矩形 AKED 面积 + 矩形 BKED 面积 = 两直角边正方形面积之和，即 \( c^2 = a^2 + b^2 \)。
第 5 页：验证思路总结 —— 数形结合的智慧
共同本质：所有验证方法都围绕 “面积相等” 展开，将代数中的 “平方关系” 转化为几何中的 “面积关系”，体现数形结合思想；
核心逻辑：
构造图形：用直角三角形和正方形拼出规则图形；
双重表示：用两种不同方法表示同一图形的面积；
建立等式：通过面积相等推导三边关系；
文化意义：
赵爽弦图：中国古代数学家的杰出创造，比西方早约 500 年证明勾股定理；
多元证法：目前已发现 500 余种证法，展现数学思维的灵活性和包容性。
第 6 页：课堂实操 —— 小组验证活动
任务：每组选择一种验证方法，用硬纸板拼图并推导证明过程；
要求：
标注图形各边长度（a、b、c）；
写出完整的面积推导步骤；
派代表展示拼图成果和推理过程；
提问引导：
拼摆时如何保证图形是规则正方形 / 梯形？
推导过程中哪些步骤用到了 “全等” 或 “面积公式”？
问题思考
分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗 你是如何做的 与同伴进行交流.
割
小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？
你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来吗？
A
B
C
D
补
a+b
大正方形ABCD的面积可以表示为： 或者___________
可得等式
方法一
(a+b)2
4×ab+c2
4×ab+c
=(a+b)2
你能用右图验证勾股定理吗？
验证了勾股定理
=c2
S正方形C
所以a2+b2=c2 .
S正方形C
=(a+b)2-ab×4
=a2+b2+2ab-2ab
=a2+b2
小正方形ABCD的面积可以表示为： 或者_______
可得等式
方法二
c2
A
B
C
D
4×ab+（b-a）2
4×ab+（b-a）2=c2
你能用右图验证勾股定理吗？
也验证了勾股定理
=c2
S正方形ABCD
所以a2+b2=c2 .
=ab×4+（b-a）2
S正方形ABCD
A
B
C
D
=2ab+a2+b2-2ab
=a2+b2
所以a2 + b2 = c2
方法三
c2
a
b
c
a2
b2
a
b
c
①
②
③
④
⑤
所以c2 = b2 + a2
方法四
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
探究新知
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4×ab+c2
=c2+2ab，
探究新知
所以a2+b2=c2 .
a
a
b
b
c
c
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2 =c2.
所以a2+b2=c2 .
证明：
因为
S梯形=(a+b)(a+b)
S梯形=ab+ab+c2
=(a2+b2+2ab)
= (2ab+c2)
a
b
c
A
B
C
D
E
F
O
意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇的证法
Ⅰ
Ⅱ
A
a
B
C
b
D
E
F
O
Ⅰ
Ⅱ
A′
B′
C′
D′
E′
F′
请同学们自己写一下证明过程，相信你能行的！
证明：
所以a2+b2=c2 .
S多边形ABCDEF
=a2+b2+×ab
S多边形A′B′C′D′E′F′
=c2+×ab
归纳总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
探究新知
用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是(　　)
A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2
C．c2=a2-2ab+b2 D．c2=(a+b)2
A
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
分析：
点A表示小王的位置
点C表示汽车开始位置
点B表示10s后汽车距小王500m
小王距离公路400m，所以∠C是直角
点A、B、C构成直角三角形
A
C
公路
400m
B
500m
例
即它行驶的速度为108 km/h.
总结：在实际问题中，可以根据问题中的条件构造直角三角形，从而利用勾股定理来解答.
解：
由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,
也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为
300×6×60=108000(m),
探究新知
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，求这个三角形的面积.
8
x
16-x
D
A
B
C
解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为xcm，
则AB为（16-x）cm，
由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
所以x=6
素养考点 2
利用勾股定理解答面积问题
探究新知
方法点拨：利用勾股定理解答几何问题，经常用到设未知数列方程的思想
答：这个三角形的面积为48cm2.
S△ABC=BC AD=×2×6×8=48（cm2）
议一议 判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.
锐角三角形：
a2+b2 ＞ c2
钝角三角形：
a2+b2 ＜ c2
直角三角形：
a2+b2=c2
提示：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
知识点1 勾股定理的验证
1.［教材习题 变式］用4个如图①所示的直角三角形可以摆成如图
②所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理。
（1）图②中大正方形的边长为______，里面
小正方形的边长为___；
（2）大正方形的面积可以表示为_________，
也可以表示为__________；
（3）对比这两种表示方法，可得出_________
_____________，整理，得_____________。
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知识点2 勾股定理的简单应用
（第2题）
2.［教材习题变式］ 如图，一棵高为 的大树被
台风刮断，若大树在离地面的点 处折断，则树顶端
离树底部( )
A
A. B. C. D.
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（第3题）
3. 如图①是一块长
方形草坪， 是一条被踩踏的小路，
已知， 。为了
避免行人继续踩踏草坪（走线段
），小梅分别在， 处各挂了
一块图②的牌子，则牌子上“？”处
是( )
D
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
（第4题）
4.如图，一轮船以的速度从港口 出发
向东北方向航行，另一轮船以 的速度同
时从港口出发向东南方向航行，离开港口 后，
两船相距( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第5题）
5.如图，有两棵树和（都与水平地面 垂
直），树高，树梢到树 的水平距离
的长度为， ，一
只小鸟从树梢飞到树梢 ，则它至少要飞行的距
离为( )
A
A. B. C. D.
返回
6. 陕西省的地势南北高、中
间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形。
如图，某工程队现需穿过某座大山修一条隧道
，为了测量隧道 的长度，在山的另一侧水
平地面上取点，在隧道的延长线上取点 ，测量得知，
，，，请你求出隧道 的
长。
解：因为 ,
,
所以 ,所以在中， ,
即，所以,即隧道的长为 。
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验证勾股
定理及应用
拼图验证
首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．
应用
拼出图形
写出图形面积的表达式
找出相等关系
步骤
恒等变形
导出勾股定理
思路
谢谢观看！

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