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(共29张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
问题 我们知道，任意三角形的三条边必须满足：三角形的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关系？
第 1 页：封面
标题：1.1 探索勾股定理
副标题：北师大版数学八年级上册
配图：赵爽弦图（2002 年世界数学大会会徽）+ 直角三角形示意图
第 2 页：情境导入 —— 生活与历史的疑问
生活问题：学校旗杆高不可攀，若测得旗杆底部到测量点距离 3 米，测量点到旗杆顶部的绳子长 5 米，如何求旗杆高度？
历史足迹：
西方：公元前 6 世纪毕达哥拉斯观察地砖图案，发现等腰直角三角形三边关系 1:1:√2
中国：《周髀算经》记载 “勾广三，股修四，经隅五”（勾 3、股 4、弦 5）
思考：这些例子是否暗示直角三角形三边存在固定数量关系？
第 3 页：探究活动 1—— 方格纸中的面积规律
操作任务：每个小方格面积为 1，完成下表（附方格纸绘图）
直角三角形
直角边 a
直角边 b
斜边 c
a
b
a +b
c
第 4 页：探究活动 2—— 拼图验证（赵爽弦图）
材料：4 个全等直角三角形（直角边 a、b，斜边 c）、1 个小正方形（边长 b-a）
拼法：将 4 个直角三角形围在小正方形外侧，组成边长为 c 的大正方形
面积推导：
大正方形面积 = c （边长为斜边 c）
大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积 = 4×(1/2ab) + (b-a)
等式化简：c = 2ab + a - 2ab + b → c = a + b
配图：赵爽弦图分解图（标注 a、b、c 边长）
第 5 页：定理总结 —— 勾股定理的定义
文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（又称毕达哥拉斯定理、百牛定理）
符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，则 a + b = c
（a、b 为直角边，c 为斜边）
名称由来：
中国古代：较短直角边为 “勾”，较长直角边为 “股”，斜边为 “弦”
变式应用：a = c - b ，b = c - a （已知斜边和一直角边求另一直角边）
第 6 页：拓展证明 —— 多元思路（选学）
欧几里得证明：通过正方形面积转化（《几何原本》经典方法）
加菲尔德证明：用两个全等直角三角形拼成梯形，利用梯形面积公式推导
提示：勾股定理现有 500 余种证明方法，体现数学思维的多样性
第 7 页：应用示例 —— 基础与实际
基础题：
已知 Rt△ABC 中，a=6，b=8，求 c（答案：10）
已知 Rt△ABC 中，c=13，a=5，求 b（答案：12）
实际题：梯子靠墙，底部离墙 3 米，顶部高 4 米，求梯子长度（答案：5 米）
第 8 页：拓展延伸 —— 勾股数与文化
勾股数：满足 a +b =c 的正整数组（如 3,4,5；5,12,13；7,24,25）
规律：奇数开头的勾股数：n，(n -1)/2，(n +1)/2（n 为奇数）
文化价值：
赵爽弦图：中国古代数学图腾，彰显东方智慧
跨文明共识：中西方独立发现，见证数学的普遍性
思考：非直角三角形是否满足 a +b =c ？（后续将学习逆定理）
第 9 页：课堂小结
核心定理：直角三角形 a + b = c （∠C=90°）
探究路径：情境猜想→方格纸验证→拼图证明→应用拓展
数学思想：数形结合（代数平方关系→几何图形面积）、从特殊到一般
思考
从电线杆离地面8 m处向地面拉一根钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？
为了解决这个问题，我们今天要研究
直角三角形三边之间的数量关系.
问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
正方形A中含有 个小方格,即A的面积是 个单位面积.
同理:正方形B的面积是 个单位面积.
9
9
9
思考1 用什么办法能求出图1中A, B的面积
数格子
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形
（单位面积）
思考2 怎样求出C的面积
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
探究新知
S正方形C = 4××3×3 =18
练一练 通过对图1的学习，求出图2正方形A,B,C中面积各是多少
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图 1
图 2
探究新知
解：正方形A的面积是4个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C的面积是8个单位面积.
（1）观察图3、图4：
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 B的面积 C的面积
图3
图4
4 9
16 9
？
？
图3
图4
做一做
探究新知
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
图3
图4
探究新知
“补”
“割”
“拼”
分割为四个直角三角形和一个小正方形
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积
将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形
探究新知
（4）分析填表数据
图4
图3
探究新知
A的面积 B的面积 C的面积
图3
图4
4 9
16 9
13
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，
等于以斜边为边长的正方形的面积.
问题2 通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
探究新知
SA + SB = SC
做一做 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.　
2.4
1.6

问题4 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
探究新知
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°,
则a2 + b2 = c2.
在西方又称毕达哥拉斯定理
探究新知
a2 + b2 = c2
勾
较短的直角边称为 ，
股
较长的直角边称为 ，
直角三角形中
弦
斜边称为 .
勾2 + 股2 = 弦2
股
勾
弦
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.
趣味小常识
探究新知
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案.
探究新知
素养考点 1
利用勾股定理求直角三角形的边长
方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,求斜边AB的长度.
a
b
c
A
C
B
解：在Rt△ABC中根据勾股定理,
AC +BC =AB ，
AC=12，BC=5
所以12 +5 =AB ，
所以AB =12 +5 =169，
所以AB=13厘米.
答：斜边AB的长度为13厘米.
探究新知
1.寻求图形面积之间的关系
素养考点 2
利用勾股定理求面积问题
方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S1=S2+S3（S1是以斜边为基础向外作的图形的面积，S2和S3分别是以直角边基础向外所作图形的面积.
例2 如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3=16，则S1的值为（　　）
A．7 B．8
C．9 D．10
探究新知
B
例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积．
方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积.
2.求非直角三角形的面积
解：作AD⊥BC于D，
在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，
所以BD=CD=5，
所以AD2=AB2-BD2 =132-52 =144，AD=12
所以S△ABC= BC AD= ×10×12=60．
探究新知
知识点1 勾股定理
1.在中， ，下列结论正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.在一个直角三角形中，若一条直角边长是3，另一条直角边长是4，则
斜边长的平方是( )
D
A.5 B.9 C.16 D.25
返回
3.如图，在中， 。
（第3题）
（1）若，，则 ____；
（2）若，，则 ___；
（3）若，，则 ___。
17
8
7
返回
（第4题）
4. 如图，某农舍的大门是一个木制的长方形
栅栏，它的高为，宽为 ，现需要在相对的顶点间
用一块木板加固，则木板的长为_______。
返回
5.［2025渭南期中］如图，在中，，垂足为，是
边上的中线，，，则的长是____ 。
13
（第5题）
返回
6.［教材习题变式］ 如图，在中，，是 边上
的高。已知，，则 的长为___。
8
（第6题）
返回
7.如图，在中，,垂足为， ,
, 。求：
（1） 的长；
解：因为,所以 。在
中，因为 ，所以
。所以 。
所以 。
（2） 的长。
解：在中,因为 ,所以 。所以
。所以 。所以
。
返回
勾股定理的探索
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
谢谢观看！

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