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22.1 函数的概念
第二十二章 函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
常量和变量
函数的概念
函数自变量的取值范围与函数值
函数解析式
知识点
常量和变量
知1－讲
1
定义：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.
知1－讲
说明：
(1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的 量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v 就是一个常量.
(3)变量与字母的指数没有关系，如在y＝2x2中，x是变量，而不能说x2是变量.
知1－讲
特别提醒
变量与常量是相对的，如在s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量.
知1－练
例 1
指出下列问题中的常量和变量：
(1)某打印店的收费标准为每千字4元，记所需打印的字数为x 千字，应付费用为y 元；
(2)一个盛满30 t水的水箱，每小时流出0.5 t水，记流水时间为t h，水箱里剩余水量为Q t；
(3)一块矩形空地的面积是600 m2，空地的一边长是 a m，其邻边长是b m.
知1－练
解题秘方：紧扣常量、变量的定义识别，关键是看在变化过程中哪些量不变，哪些量改变，不变是常量，改变是变量.
知1－练
解：(1)收费标准是常量，打印的字数x和应付费用y是变量.
(2)水箱的容量和每小时流出的水量是常量，流水时间t和水箱里剩余水量Q是变量.
(3)矩形空地的面积是常量，空地的相邻两边长a，b是变量.
知1－练
1－1.[期中·南阳宛城区]下表是加油站加油机上的数据显示牌. 下列说法正确的是(　　)
A. 金额、单价是变量，加油量是常量
B. 金额、单价、加油量都是变量
C. 加油量、单价是变量，金额是常量
D. 金额、加油量是变量，单价是常量
D
金额/元 303.88
加油量/L 36.79
单价/元 8.26
知2－讲
知识点
函数的概念
2
函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
知2－讲
特别提醒
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量x 的每一个确定的值，函数y有且只有一个值与之对应；对自变量x的不同值，函数y的值可以相同.
知2－讲
例如：在s＝60t中，有两个变量s与t，当t变化时， s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个 值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量， s是t的函数.
注意此处不能说s是函数
知2－讲
说明：
(1)函数研究的对象不是数，而是一个变化过程中的两个 变量；
(2)函数中两个变量之间的关系是单向对应关系，即对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，但是对于一个确定的y值，与其对应的x的值可以不唯一；
知2－讲
(3)函数中两个变量具有相对性，如y＝x＋3表示y是x的函数，而将其变形成x＝2y－6 后，则表示x 是y 的函数.
知2－练
判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.
(1)汽车匀速行驶时，行驶的路程s随时间t的变化而 变化；
(2)登山时，气温T随攀登高度h的变化而变化；
例 2
知2－练
(3)某种种子的发芽率如下表所示，发芽率y随浸泡时间t的变化而变化；
浸泡时 间/时 0 2 6 8 10 12 14 16 20
发芽 率/％ 11.9 26.1 32.3 35.0 53.0 61.0 43.1 10.8 30.5
(4)某人的身高h随体重t的变化而变化.
知2－练
解题秘方：紧扣函数的定义判断.
解：(1)是函数关系，时间t是自变量，行驶的路程s是t的 函数.
(2)是函数关系，攀登高度h 是自变量，气温T是h 的函数.
(3)是函数关系，浸泡时间t 是自变量，发芽率y 是t 的函数.
(4)某人的身高不一定随体重的变化而变化，因此不是函数关系.
知2－练
2－1. 下列各项中两个变量之间，不存在函数关系的是(　)
A. 圆的面积S和半径r之间的关系
B. 某地一天的温度T与时间t的关系
C. 弹簧的长度l和所挂重物的质量m之间的关系
D. 圆柱的体积V与底面半径r之间的关系
D
知2－练
判断下列变量之间是否具有函数关系. 如果是，请指出自变量与函数；如果不是，请说明理由.
(1)y＝±x； (2)y＝x3；
(3)2x2＋y2＝10； (4)y＝|x|.
例 3
知2－练
解题秘方：用“三看法”判断一个关系是不是函数关系：
一看 是否在一个变化过程中
二看 是否存在两个变量
三看 每当自变量取定一个值时，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应
知2－练
解：(1)不是函数关系，因为x每取一个非零值时，y有两个对应值，不满足定义中的“唯一确定”，所以不是函数关系.
(2)是函数关系，其中x是自变量，y是自变量的函数.
(3)不是函数关系，例如当x＝1时，y有两个对应值，不满足定义中的“唯一确定”.
(4)是函数关系，其中x是自变量，y是自变量的函数.
通过举反例进行判断
知2－练
3－1.下列各式：①y＝0.5x－2； ②y＝|2x|；③3y＋5＝x；④y2＝2x＋8中，y是x的函数的有________(填序号).
①②③
知3－讲
知识点
函数自变量的取值范围与函数值
3
1. 自变量的取值范围
(1)定义：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围.
(2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义.
知3－讲
(3)不同类型的函数自变量取值范围的确定
类型 特征 举例 取值范围
整式型 等号右边是关于自变量的整式 y＝2x2＋3x－1 全体实数
分式型 等号右边是关于自变量的分式 y＝ 使分母不为0的实数
知3－讲
续表
类型 特征 举例 取值范围
根 式 型 二次 根式 等号右边是关于自变量的二次根式 y＝ 使根号下的式子为大于或等于0 的数
三次 根式 等号右边是关于自变量的三次根式 y＝ 全体实数
知3－讲
续表
类型 特征 举例 取值范围
幂型 等号右边是关于 自变量的0 指数幂(或负整数指数幂) y＝(x－2)0 或y＝2(x－3)－1 使底数不为0的实数
复合型 含有上述两种或多种形式 y＝ 使各部分都有意义的实数的公共部分
知3－讲
特别提醒
求自变量取值范围的过程，其实就是解不等式或不等式组的过程.
注意： 自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数.
知3－讲
2. 函数值
(1)定义：如果对于自变量x在取值范围内的某个确定的数值a，函数y所对应的值为b，即当x＝a时，y＝b, 那么b 叫作当自变量的值为a时的函数值.
(2)求函数值及自变量值的方法
①当已知关系是函数关系时，求函数值，实质就是利用代入法求代数式的值.
知3－讲
②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x2－1中，当y＝0时，x＝±1.
知3－讲
特别提醒
1. 函数与函数值的区别：函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值.
2. 一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值.
知3－练
求下列函数中自变量x 的取值范围：
(1)y＝3x＋7； (2)y＝；
(3)y＝； (4)y＝＋.
解题秘方：求函数自变量的取值范围，就是使函数有意义，即使函数解析式中等号右边的每一个式子在实数范围内都有意义.
例 4
知3－练
解：(1)因为函数关系式右边是整式，所以x的取值范围为全体实数.
(2)由题意得x－4≥0，解得x≥4，所以x的取值范围是x≥4.
(3)由题意得解得x ≥ －2 且x ≠ 0，
所以x的取值范围是x ≥ －2 且x ≠ 0 .
知3－练
(4)由题意得解得x＝，
所以x的取值范围是x＝.
知3－练
4－1. 求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x－1；
(2)y＝＋；
解：y＝2x－1中，自变量的取值范围是全体实数．
由题意得x－3≥0，5－x≥0，解得3≤x≤5.
知3－练
(3)y＝；
(4)y＝.
解：由题意得4－2x >0，解得x<2.
知3－练
已知函数y＝13－4x.
(1)当x＝3 时，对应的函数值是多少？
(2)当x 为何值时，函数值为2 ？
解题秘方：已知自变量的值求函数值时，可直接代入求值；已知函数值求自变量的值时，可代入函数值通过解方程求自变量的值.
例 5
知3－练
解：(1)当x＝3时，函数值y＝13－4×3＝1.
(2)当y＝2 时，2＝13－4x，解得x＝.
知3－练
5－1. 观察如图所示的计算程序， 若输入x的值为－3， 则输出y的结果为______；若输出y的结果为0，则输入x的值为_______.
－3
知4－讲
1.定义：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
知识点
函数解析式
4
知4－讲
2. 特点：(1)函数解析式是等式.
(2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数.
知4－讲
(3)书写函数的解析式是有顺序的. 如y＝2x－1表示y是x的函数，若x＝2y－1，则表示x是y的函数. 即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式.
知4－讲
特别解读
求函数解析式的方法：
1. 找：找出各个量之间的数量关系；
2. 写：写出含有两个变量的等式；
3. 变：将等式变形为用含自变量的式子表示函数的形式.
知4－练
等腰三角形ABC 的周长为10 cm，底边BC 的长为 y cm，腰AB 的长为x cm.
(1)写出y 关于x 的函数解析式；
(2)求x 的取值范围.
解题秘方：紧扣“函数解析式的特点”，结合几何相关性质求解.
例 6
知4－练
解：(1)由题意可得2x＋y＝10，所以y关于x的函数解析式为y＝10－2x.
(2)由题意可得x>0，y>0，所以10－2x>0 .
再由三角形的三边关系，得2x>y，即2x>10－2x.
所以自变量x应满足
解这个不等式组，得知4－练
6－1. 李大爷要围一个矩形菜园，如图，矩形菜园ABCD的一边靠墙(墙长为10 m)，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为24 m. 设BC＝x m，AB＝y m，请
写出y关于x的解析 式，并判断y是不
是x的函数，如果是，请写出x的取值范围.
知4－练
函数的概念
常量
变量
函数
自变量
函数值
解析式
题型
实际问题中列函数解析式
1
[期末·珠海香洲区]长隆宇宙飞船的门票销售分两 类：一类为散客门票，价格225元/张；另一类为团体研学门票(一次性购买门票100张及以上)，每张门票价格在散客价格基础上打六折. 某年级组织同学要去长隆宇宙飞船进行研学活动，设参加研学的学生有x 人，购买门票需要y 元.
例 7
(1)如果初一年级80名学生购买散客门票入园，则总共需花费______元；
解题秘方：利用票价乘人数即可解答；
18 000
225×80＝18 000(元)
(2)如果买团体研学门票，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
解题秘方：买团体研学门票，需要一次购买门票100 张及以上，即x ≥ 100，利用打折后的票价乘人数即可；
解：当x ≥ 100时，y＝0.6×225x＝135x，
∴ y与x 之间的函数解析式为y＝135x(x ≥ 100).
(3)初一年级共80名学生，请通过计算说明如何买票更省钱.
解题秘方：求出购买团体研学门票100 张时的花费，与(1)中的结论比较即可解答.
解：当x＝100时，y＝135×100＝13 500，即初一年级共80名学生购买团体研学门票，总共需花费13 500元.
因为13 500<18 000，
所以购买团体研学门票100 张更省钱.
特别提醒
自变量的取值范围不仅要使所列函数解析式有意义，还要使实际问题有意义.
题型
几何问题中列函数解析式
2
如图22.1－1，已知正方形ABCD的边长为1，E为CD的中点，P为BC上的动点，动点P从
点B向点C运动. 设BP的长度为x，
△APE的面积为y.
例 8
思路导引：
解：∵正方形ABCD的边长为1，E为CD的中点，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1, CE＝DE＝.
∵BP的长度为x，∴CP＝1－x.
∴S△APE＝S正方形ABCD－S△ABP－S△CPE－S△ADE＝
1－x－(1－x)×－××1＝－x＋.
(1)求y与x之间的函数解析式；
又BP≥0，PC≥0，即x≥0，1－x≥0
∴x的取值范围为0≤x≤1，
故y＝－x＋(0 ≤ x ≤ 1).
自变量的取值范围要使图形有意义
解：∵△APE的面积为0.25，
∴ －x＋＝0.25，解得x＝1.
∴当点P与点C重合，即点P运动的路程为1 时，△APE的面积为0.25.
(2)当点P运动的路程为多少时，△APE的面积为0.25 ？
另解
如图22.1－2，本题在求函数解析式时，也可延长AE, 交BC的延长线于点F， 利用S△APE＝S△FEP这一等量关系 求解.
题型
分段问题中列函数解析式
3
为打造特色乡镇，充分利用生态资源，整合闲置资源，推动以城带乡、以工促农、城乡融合发展模式. 某镇大力种植一种具有观赏价值的苗木，为尽快打开市场，准备把实体销售渠道向网络拓展，发展“实体＋ 网络”的销售模式. 每株苗木的标价为4 元，具体优惠标准如下：
例 9
①实体销售，每株按标价的六折出售；②网络销售(顾客免运费)，每株按标价的八折出售，购买超过100 株，超过的部分每株再降1.2 元. 若购买这种苗木x 株，在实体店购买所需费用为y1 元，通过网络购买所需费用为y2 元.
解题秘方：紧扣题目中提供的数据，根据优惠方式确定函数解析式.
解：y1与x之间的函数解析式为y1＝0.6×4x＝2.4x(x为正整数). 当0当x>100时，y2＝0.8×4×100＋(0.8×4－1.2)(x－100)＝
2x＋120 .
∴ y2 与x之间的函数解析式为
y2＝
(1)分别求y1，y2与x 之间的函数解析式；
解：当y1＝600时，2.4x＝600，解得x＝250. 当y2＝600时，∵ 3.2×100＝320(元)<600 元，
∴通过网络购买的苗木超过100 株.
∴ 2x＋120＝600，解得x＝240.
∵ 250 株>240 株，∴在实体店购买的苗木更多.
(2)不考虑其他情况，王叔叔计划用600元来购买这种苗 木，则他选择哪种方式购买的苗木更多
特别提醒
现实中的很多问题不能用一个函数解析式来表示，如本题中优惠标准不同，列出的函数解析式也不同.
题型
规律探究问题中列函数解析式
4
如图22.1－3，观察各正方形图案，每条边上有n(n ≥ 2)个圆点，每个图案中圆点的总数是s.
例10
解题秘方：紧扣题中提供的数据求出函数解析式.
s＝4n－4(n ≥ 2)
当n＝2时，s＝4；当n＝3时，s＝8；当n＝4时，s＝12，…，按此规律推断出s与n之间的函数解析式为_____________.
解：如图22.1－3 ① 中，当n＝2时，s＝4，可理解为每条边上有2个圆点，正方形有4条边，则圆点总数应为2×4＝ 8，但是4个顶点处的圆点数均重复计算了一次，所以圆点总数为2×4－4＝4；如图22.1－3 ② 中，当n＝3时，s＝8，可理解为每条边上有3个圆点，正方形有4条边，则圆点总数应为3×4＝12，再减去4个顶点处重复计算
的圆点个数，所以圆点总数为3×4－4 ＝8；
同理，如图22.1－3 ③中圆点总数为4×4－4＝12，从而可推断出若每条边上有n(n ≥ 2)个圆点，则4条边上应共有4n个圆点，再减去4 个顶点处重复计算的圆点个数，所以圆点总数为4n－4 ，即s＝4n－4(n ≥ 2).
另解
本题的求解思路较多，也可视第一行和最后一行各有n个圆点，中间(n－2) 行各有2个圆点，所以圆点总数为2n＋2(n－2)＝4n－4，即s＝4n－4(n ≥2). 另外，本题也可将图形规律转化为数的规律求解. 如下表：
每条边上的圆点个数n 圆点的总个数s
2 s＝4＝4×1
3 s＝8＝4×2
4 s＝12＝4×3
… …
n s＝4(n－1)
减1
即s ＝4(n－1)＝4n－4(n ≥ 2).
易错点
确定自变量的取值范围时，忽略其实际意义而出错
已知将360本图书借给学生阅读，每人9本，写出余下图书的数量y(单位：本)与学生人数x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围.
错解：y＝360－9x，x为整数.
例11
正解：依题意，得y＝360－9x.
∵
解得0 ≤ x ≤ 40，
∴ 自变量x 的取值范围是0 ≤ x ≤ 4 0 且x 为整数.
诊误区：
确定自变量的取值范围时，要在认真审题的基础上进行分析，实际问题中的量往往取非负数.
[中考·内江]在函数y＝x－2中，自变量x的取值范围是( )
A. x ≥2 B. x ≤2 C. x>2 D. x<2
考法
求函数自变量的取值范围
1
A
例12
试题评析：本题考查了函数自变量的取值范围，明确二次根式有意义的条件是解题关键.
解：根据二次根式的被开方数是非负数，得x－2 ≥0，解得x ≥2.
[中考·武威] 如图22.1－4 ①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯
思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，
包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，
每张桌面的宽都相等．
考法
列函数解析式
2
例13
七张桌面分开可组合成不同的图形．如图21.1－4 ②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x 尺，长桌的长为y 尺，则y与x的
关系可以表示为(　　)
A．y＝3x B．y＝4x
C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1
试题评析：本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x 尺，再根据长桌的长等于小桌的长加上2 倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可.
解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x 尺，
∴ y＝x＋x＋2x，即y＝4x.
答案：B
1. 汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中的油量v(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，该变化过程中，常量是( )
A. 行驶路程 B. 每千米的耗油量
C. 耗油总量 D. 油箱中的剩余油量
B
2. 函数y＝的自变量x的取值范围是( )
A. x ≤ 4 B. x ＜ 4
C. x ＜ 4 且x ≠ －1 D. x ≤ 4 且x ≠ －1
C
3. 下列关系中，y不是x的函数的是( )
A. 长方形的长一定时，其面积y与宽x
B. 高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程y 与行驶的时间x
C. y＝|x|
D. |y|＝x
D
4. 激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束，则L到M的距离d(单位：km)与时间t (单位：s)的关系式为(　　)
A. d＝ t B. d＝3×105 t
C. d＝2×3×105 t D. d＝3×106 t
A
5. 已知y与x的函数解析式为y＝2x－5, 则当x＝－1时，y的值为________.
－7
6. [模拟·鄂州]根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为5时，输出y的值为7，则输入x的值为2时，则输出y的值为_______.
－3
7. 亮亮在帮妈妈收拾碗筷的时候，发现同款盘子摞在一起的高度y(单位：cm)与盘子的数量x(单位：个)之间的几组对应值如表所示，则y与x之间的关系式为________．
y＝1.5x＋1.5
盘子数量/ 个 1 2 3 5
盘子高度/cm 3 4.5 6 9
8.已知海拔每上升1 km，气温下降6℃，假设某时刻A 地地面温度为20℃，高出地面x km 处的温度为y℃.
(1)求y关于x的函数解析式；
解：由题意，得y关于x的函数解析式为y＝20－6x(x≥0).
(2)已知A地某山顶高出地面约500 m，求这时山顶的温度；
解：∵500 m＝0.5 km，∴当x＝0.5时，
则y＝20－6×0.5＝17.
因此，这时山顶的温度大约是17 ℃.
(3)此刻有一架飞机恰好飞过A地上空，若测得飞机周围的温度为－34℃，求飞机距离地面的高度.
解：由题意得y＝－34时，－34＝20－6x，
解得x＝9.
因此，飞机距离地面的高度为9 km.
9. 正方形ABCD与正方形EFGH的AD边和EF边在直线MN 上，起始状态如图所示，点F与点D重合，点G在CD边上，已知EF＝2 cm，AB＝4 cm. 正方形EFGH沿MN方向以2 cm/s的速度运动，运动时间为t s，两个正方形重叠部分图形的面积为S cm2 .
(1)在正方形EFGH平移过程中，若t＝1，则S＝_______；若t＝3，则S＝_______.
(2)在0 ＜ t ≤ 3 这段时间内，求S与t的函数关系式.
4
0
解：当t＝1时，DF＝2×1＝2，此时点E与点D重合；
当t＝2时，DF＝2×2＝4，此时点F与点A重合．
分三种情况讨论：
在0∴S＝DF·FG＝4t；
当1≤t≤2时，小正方形在大正方形内部，
如图②，
S＝EF2＝22＝4；
(3)当S＝2时，求t的值.

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