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(共101张PPT)
22.2 函数的表示
第二十二章 函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
函数的图象
从函数图象中获取信息
函数的表示方法
知识点
函数的图象
知1－讲
1
1. 函数的图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
通过图象可以数形结合地研究函数
知1－讲
拓展：函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上.
知1－讲
特别解读
函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是散点、曲线等.
知1－讲
2. 描点法画函数图象的一般步骤
步骤 描述 注意
列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌
知1－讲
续表
步骤 描述 注意
描点 在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 描点时取点越多，图象就越准确
连线 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点
知1－讲
特别提醒
1. 画函数图象时注意自变量的取值范围，能取到时画实心圆点，不能取到时画空心圆圈.
2. 列表时，注意自变量的取值不应使函数值太大或太小.
知1－练
例 1
已知函数y＝2x－1.
(1)试判断点A(－1，3)和点B(，－)是否在此函数的图象上；
(2)已知点C(a，a＋1)在此函数的图象上，求a 的值.
知1－练
解题秘方：要判断点P(x，y)是否在某一函数的图象上，只需把x 的值代入该函数的解析式，如果所求得的函数值与y 的值相等，那么这个点就在该函数的图象上，否则就不在该函数的图象上.
知1－练
解：(1)∵当x＝－1 时，y＝2×(－1)－1＝－3 ≠ 3，
∴点A 不在函数y＝2x－1 的图象上.
∵当x＝时，y＝2×－1＝－，
∴点B在函数y＝2x－1的图象上.
(2)∵点C(a，a＋1)在函数y＝2x－1的图象上，
∴把点C的坐标代入y＝2x－1，得a＋1＝2a－1，解得a＝2.
知1－练
1－1.下列各点在函数y＝3x－3图象上的是(　　)
A. (－1，3)
B. (0，1)
C. (1，－1)
D. (2，3)
D
知1－练
1－2.[中考·广西]函数y＝kx＋3的图象经过点(2，5)，则k＝________.
1
知1－练
画出函数y＝－2x＋1的图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
解题秘方：(1)列表时，要根据自变量的取值范围，从小到大或从中间向两边取值；(2)取值要有代表性，既要易于描点，又要便于全面地反映函数所刻画的变化规律.
例 2
知1－练
解：列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y 7 5 3 1 －1 －3 －5
“…”表示自变量有比－3 更小的值，也有比3 更大的值
知1－练
描点、连线，如图22.2－1 为函数y＝－2x＋1的图象.
从函数图象可以看出，
直线从左向右下降，
即当x 由小变大时，
y随之减小.
知1－练
2－1.在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x和y2＝x2的 图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
解：由函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数．
列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y1 … －2 －1 0 1 2 …
y2 … 4 1 0 1 4 …
知1－练
描点、连线，如图所示的直线和曲线分
别为函数y1＝x和y2＝x2的图象．
从函数y1＝x的图象可以看出，直线从左
向右上升，即当x由小变大时，y1随之
增大；
从函数y2＝x2的图象可以看出，曲线从左
向右先下降再上升，即当x由小变大时，y2先减小再增大．
知2－讲
知识点
从函数图象中获取信息
2
审图题注意四“清”：一清楚横、纵坐标的含义；二清楚图象与不同对象的关系；三清楚不同图象的起点和终点的含义；四清楚不同图象的“折点”含义.
知2－讲
特别解读
观察图象的小技巧：
观察图象时，与横轴平行的图象的实际意义取决于纵轴表示的量，若纵轴表示路程，则与横轴平行的图象表示停止运动；若纵轴表示速度，则与横轴平行的图象表示匀速运动.
知2－练
[中考·天津]已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6 km，文化广场离家1.5 km．张华从家出发，先匀速骑行了4 min到画社，在画社停留了15 min，之后匀速骑行了6 min到文化广场，在文化广场停留6 min后，再匀速步行了20 min返回家．
例 3
知2－练
如图22.2－2中x表示时间，y表示离家的距离，图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.请根据相关信息，回答下列问题：
解题秘方：弄清横、纵轴的意义，根据图象还原出整个行程即可.
知2－练
(1)①填表：
张华离开家的时间/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 0.6
②张华从文化广场返回家的速度为_______km/min；
0.15
0.6
1.5
0.075
知2－练
③当0≤ x ≤25时，求张华离家的距离y 关于时间x的函数解析式；
解：张华从家到画社的速度为＝0.15(km/min)，张华从画社到文化广场的速度为＝0.15(km/min)，
当0 ≤ x ≤ 4 时，y＝0.15x；当4知2－练
当19所以当0 ≤ x ≤ 25 时，y＝
知2－练
(2)当张华离开家8 min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达文化广场，那么从画社到文化广场的途中，两人相遇时离家的距离是多少？
知2－练
解：爸爸的速为＝0.075(km/min). 设张华出发x min 时和
爸爸相遇. 根据题意，得0.15x－2.25＝0.075(x－8)，解得 x＝22.
0.15×22－2.25＝1.05.
因此，从画社到文化广场的途中，两人相遇时离家的距离是1.05 km.
知2－练
3－1. 小明同学骑自行车去郊外春游， 骑行1 h 后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离y(单位：km) 与所用的时间x(单位：h)之间关系的
图象如图所示. 根据图象回答下列问题：
知2－练
(1)小明到达离家最远的地方用了多长时间？此时离家多远？
解：由题图可知，小明到达离家最远的地方用了3 h，此时离家30 km.
知2－练
(2)小明出发2.5 h后离家多远？
知2－练
(3)小明出发多长时间后离家12 km ？
知2－练
知3－讲
知识点
函数的表示方法
3
函数是从数量关系的角度反映变化规律的数学模型，函数的三种主要表示方法及其特点如下表：
表示方法 定义 优点 缺点
解析法 用数学式子表示 函数关系的方法 叫作解析法，其 中的等式叫作函 数解析式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 从函数解析式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来
知3－讲
表示方法 定义 优点 缺点
列表法 通过列出自变量 的值与函数的对 应值的表格来表 示函数关系的方 法叫作列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出函数的对应值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律
续表
知3－讲
续表
表示方法 定义 优点 缺点
图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值
知3－讲
特别提醒
1. 根据实际问题列函数解析式的方法类似于列方程解应用题, 只要找出自变量与函数之间存在的等量关系，列出等式即可.但要整理成用含自变量的代数式表示函数的形式.
2. 函数的三种表示方法有时可以相互转化，应用时要结合具体情况灵活选用.
3. 并不是所有的函数都能同时用函数的三种表示方法表示.
知3－练
一水箱中有水500 L，现在往外放水，每分钟放水50 L，请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量y(单 位：L)与放水时间t(单位：min)之间的函数关系.
解题秘方：紧扣“剩余水量＝原水量－放出水量”，用三种方法表示函数关系.
例 4
知3－练
解：(1)解析法：解析式为y＝500－50t(0 ≤ t ≤ 10).
(2)列表法：表格如下.
t/min 0 1 2 3 4 7 8 9 10
y/L 500 450 400 350 300 150 100 50 0
知3－练
(3)图象法：图象如图22.2－3所示.
在实际问题中要注意自变量的取值范围，本题中y不能为负，所以图象是一条线段
知3－练
4－1. 一辆汽车以60 km/h的速度匀速行驶，试用不同的方法表示汽车行驶距离s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的函数关系.
解：(1)解析法：解析式为s＝60t(t≥0)．(2)列表法：表格 如下．
t/h 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
s/km 0 30 60 90 120 150 180 …
知3－练
(3)图象法：如图所示．
函数的表示
列表
连线
画法
函数的图象
定义
表示方法
解析法
图象法
列表法
描点
题型
根据图象判断是不是函数
1
下列图象(如图22.2－4)中，表示y是x的函数的有(　　)
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4
例 5
解题秘方：根据“给定一个x 的值，y 是否有唯一确定的值与其对应”进行判断.
解：在前两幅图中，每取一个x, 都有固定的一个y 值与之对应，故y 是x 的函数；在后两幅图中，存在x 取一个值的时候，有两个y 值与之对应，故y 不是x 的函数．
答案：B
技巧点拨
根据图象判断是不是函数时，先过x轴上任意一点作x轴的垂线，再将该垂线进行左右平移，然后观察该垂线与图象是不只有一个交点，只有当该垂线与图象只有一个交点时，该图象才表示函数.
题型
根据实际情境确定函数图象
2
小李一家开车去观看电影，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速 度，且仍保持匀速行驶.
例 6
在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的函数关系的大致图象是图22.2－5中的(　　)
解题秘方：弄清题意，确定汽车离剧场的距离越来越近，即y的值越来越小，这是确定函数图象的关键.
解：
答案：B
行驶过程 y随t的变化规律 函数图象
最初以某一速度匀速行驶，开往剧场 y随t的增大而 减小 是由左向右呈下降趋势的一条线段
中途停车加油耽误了十几分钟 y随t的增大而保持不变 是平行于横轴的一条线段
加快了速度，仍保持匀速行驶 y随t的增大而 减小 是由左向右呈下降趋势的一条线段，但图象走势比第一段图象更陡
技巧点拨
根据实际情境确定函数图象的技巧：
1. 自变量变化而函数值不变的图象用水平线段表示；
2.自变量的变化量相同，而函数值变化越大的函数图象与x 轴所成的锐角就越大；
3. 注意确定函数图象的最低点和最高点.
题型
根据函数图象描述实际情境
3
[模拟·郑州登封市]下列四幅图(如图22.2－6)分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情境分别是( )
例 7
①固定月租手机卡(按通话时间计费)，手机话费余额y与通话时间x的关系；
②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间x与行驶速度y之间的关系；
③一名学生推出实心球，实心球的行进高度y与水平距离x之间的关系；
④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校，在此过程中离学校的距离y与所用时间x之间的关系.
A.②③①④ B.①④③②
C.②③④① D.②①③④
解题秘方：解此题的关键是准确把握每个函数图象的变化趋势，再结合具体的情境进行判断.
解：第一个图象中，y随x 的增加而减小，且x 与y 的乘积是定值，与情境②对应；
第二个图象中，x 增加时，y 先增加再减小，且y 的值不是均匀变化，与情境③对应；
第三个图象中，y 随x 的增加而减小，且y 的值均匀变化，与情境①对应；
第四个图象中，x 增加时，y 先增加再减小，且y 的值均匀变化，与情境④对应.
答案：A
技巧点拨
可以逆向思考，即根据具体情境描述图象的变化趋势，再结合给出的图象作出判断.
题型
几何动点问题中的函数图象
4
如图22.2－7，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D→ A
做匀速运动，那么△ABP的面积S与点P
运动的路程x之间的函数图象大致是图22.2－8中的 (　　)
例 8
解：当动点P从点B运动到点C，即0 ∴面积S随着x的增大而增大，且当x＝1 时，S最大，为AB·BC＝×2×1＝1；
当动点P 从点C 运动到点D，即1 ∴随着x的增大，面积S不变，为×2×1＝1，
当动点P 从点D 运动到点A，即3 △ABP 的底AB 的长不变，高AP 的长减小，
∴面积S随着x的增大而减小，∴符合题意的是B选项.
答案：B
方法点拨
关于几何动点问题中的函数图象问题，一般从函数图象的段数和各段函数图象的变化趋势上判断. 这里要注意转折点和平行线.
转折点：判断函数图象的倾斜程度或增减性变化的关键点.
平行线：函数值随自变量的增大(减小)而保持不变.
题型
根据解析式和自变量的取值范围画图象
5
已知甲、乙两人同时从相距18 km的A，B 两地相向而行，甲以4 km/h的平均速度步行，乙以5 km/h的平均速度步行，相遇为止.
解题秘方：根据“甲、乙两人之间的距离＝总距离－ 两人所走的路程和”列出函数解析式是解本题的关键.
例 9
(1)求甲、乙两人之间的距离y(单位：km)和所用的时间x(单位：h)之间的函数解析式；
解：y＝18－(5x＋4x)，
即y＝－9x＋18 .
(2)画出函数的图象，并求出自变量的取值范围；
解：列表：
x/h 0 1 2
y/km 18 9 0
描点、连线，所画图象如图22.2－9所示.
因为他们相遇时所用的时间为18÷
(4＋5)＝2(h)，
所以自变量x 的取值范围为0 ≤ x ≤ 2 .
也可根据x和y均大于或等于0，通过列不等式(组) 得出
(3)求当甲、乙两人相距6 km时所用的时间.
解：当y＝6时，6＝－9x＋18，解得x＝.
所以当甲、乙两人相距6 km时所用的时间为h.
方法点拨
1. 一次函数的图象是一条直线，所以画图象时通常采用“两点法”(下一节学).
2. 画有自变量取值范围的函数图象时，只需画出自变量取值范围内的图象，不在范围内的不画.
易错点
画函数图象时，忽略自变量的取值范围导致画出的图象错误
已知矩形的一组对边长是x cm，另一组对边长是(x＋1)cm. 设矩形的周长是y cm，画出y关于x的函数图象.
例10
错解： 易得函数解析式为y＝4x＋2 . 描点、连线，所画函数图象如图22.2－10所示.
正解：依题意，得函数的解析式为y＝2x＋2(x＋1) ＝4x＋ 2，其中自变量的取值范围是x>0. 列表如下：
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5
y/cm 2 4 6 8 10 12
描点、连线，得函数y＝4x＋2(x>0) 的图象，如图22.2－11 所示.
诊误区：
画几何问题的函数图象时，要准确判断自变量的取值范围.此题中由于x是矩形的一组对边长，因此x是正数，所以函数图象只是x轴正半轴上方的部分.
[中考·武汉]如图22.2－12，一个透明圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.
考法
用函数图象描述变化过程
1
例11
下列图象(如图22.2－13)能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是(　　)
试题评析：本题主要考查函数的图象，根据题意分三段分析，注意圆柱底面直径的变化．
解：下层圆柱底面半径大，水面上升快，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．
答案：D
[中考·广东]在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W·h)与骑行里程x( km)之间的关系如图
22.2－14所示. 当电池剩余
能量小于100 W·h时，摩托
车将自动报警.
考法
从函数图象获取信息作出判断
2
例12
根据图象，下列结论正确的是( )
A. 电池能量最多可充400 W·h
B. 摩托车每行驶10 km 消耗能量300 W·h
C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km
D. 摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警
试题评析：本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可．
解：由图象可得，当x＝0 时，y＝500，
所以电池能量最多可充500 W·h，故A错误；
500÷25＝20( W·h)， 20×10＝200(W·h)
所以摩托车每行驶10 km 消耗能量200 W·h，故B 错误；
由图象可得，当x＝25 时，y＝0，
所以一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km，故C 正确；
(500－100) ÷20＝20(km)，
所以摩托车充满电后，行驶20 km 将自动报警，故D 错误.
答案：C
[中考· 遂宁]如图22.2－15①，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点，以每秒1 个单位长度的速度从点A向点B移动，
到达点B时停止．
考法
利用函数图象解决几何动点问题
3
例13
过点P 作PM⊥AC 于点M，作PN⊥BC 于点N，连接MN，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t(单位：秒)的函数关系如图22.2－15 ②所示，则函数图象最低点E的坐标为(　　)
A．(5，5) B．(6，)
C．(，) D．(，5)
试题评析：本题考查动点问题的函数图象，矩形的判定与性质等. 解答此类问题的关键是确定“拐点”的意义，根据函数图象中给出的数据，结合几何图形的性质解决问题.
解：如图22.2－15 ①，连接CP.
∵ AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴ AC2＋BC2＝82＋62＝102＝AB2.
∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.
∵ PM⊥AC，PN⊥BC，∴∠PMC＝∠PNC＝90°.
∴∠PMC＝∠PNC＝∠ACB＝90°.
∴四边形CMPN 是矩形. ∴ MN＝CP.
当CP⊥AB 时，CP取得最小值，即y＝MN 取得最小值，
此时CP＝＝＝，
∴ AP＝＝＝.
∴ 当t＝时，y取得最小值，最小值为.
∴ 函数图象最低点E的坐标为(，).
答案：C
1. 小亮因感冒发烧住院治疗，护士为了较直观地了解小亮这天24小时的体温和时间的关系，应该选择的比较好的表示方法是( )
A. 列表法 B. 图象法
C. 解析式法 D. 以上三种方法均可
B
2. 下列各图中，y不是x的函数的是( )
B
3. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的透明水槽 中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的时间x(单位：s)之间的函数关系的大致图象是(　　)
A
4. 下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x.
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(　　)
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
A
5. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离． 结合图象给出下列结论：
①体育场离该同学家2.5 km；
②该同学在体育场锻炼了15 min；
③该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2 倍；
④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5 倍，则a 的值是3.75.
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
6. 如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长
为( )
A. 2 B. 2.5
C．2 D．4
A
7. [中考·湖南]甲、乙两人在一次100 米赛跑中，路程s(单位：米)与时间t(单位：秒)的函数关系如图所示，_____ (填“甲”或“乙”)先到终点.
甲
8. [中考·资阳]小王前往距家2 000 m的公司参会，先以v0 (m/min)的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14 min，小王距家的路程s(单位：m)与距家的时间t(单位：min)之间的函数图象如图所示． 若小王全程以v0
(m/min)的速度步行，则他到达时
距会议开始还有______min.
5
9. 已知函数y＝3x＋1.
(1)试判断点A(－1，2)和点B(，2)是否在此函数的图象上；
(2)已知点(－a，a－1)在此函数图象上，求a的值.
10. 在烧水时，水温达到100℃ 就会沸腾(在标准大气压下)，下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据：
时间t/min 0 2 4 6 8 10 12 14
温度T/℃ 30 44 58 72 86 100 100 100
(1)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？
解：水的温度每2 min增加14 ℃，当水的温度到100 ℃时不再变化．
(2)用解析式和图象表示水温T与时间t的对应关系.
(3)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？
解：为了节约能源，应在10 min后停止烧水．
11.[期中·邯郸永年区] “龟兔赛跑：乌龟和兔子比赛到底谁跑得快，它们确定了赛跑的路线后同时从起点出发，兔子一个健步冲到了前面，还嘲笑乌龟跑得慢，当兔子看到乌龟被远远抛在了后面，就在旁边睡了一觉，它认为睡醒了乌龟也不一定能追上自己，但是乌龟坚持不懈的爬啊爬，乌龟慢慢地超过了它，当兔子醒了的时候发现乌龟已经距离终点不远了，它拼命追赶，最终还是乌龟先到达了终点.”
图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的函数关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题.
(1)折线OABC表示赛跑过程中
______的路程与时间的关系，
线段OD表示赛跑过程中
_____的路程与时间的关系，
赛跑的全程是______m.
兔子
乌龟
1 500
(2)兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
(3)乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
解：由题图可知，兔子在起初每分钟跑700÷1＝700(m)；乌龟每分钟爬1 500÷30＝50(m)．
700÷50＝14(min)，
因此，乌龟从出发到追上兔子用了14 min.
(4)兔子醒来，以48 km/h 的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5 min，请你算算，兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
解：48 km/h＝800 m/min，
由题意知兔子跑完全程共用30.5 min，其中，开始跑了1 min，后来又跑了(1 500－700) ÷800＝1(min)．
30.5－1－1＝28.5(min)，
因此，兔子中间停下睡觉用了28.5 min.

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