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23.1 一次函数的概念
第二十三章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
一次函数
正比例函数
知识点
一次函数
知1－讲
1
定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数.
知1－讲
特别解读
一次函数y＝kx＋b 的特征：
1. y 关于x 的式子是整式；
2.两个变量的次数都是1；
3. k ≠ 0；
4.常数b可以是任意实数.
知1－练
例 1
下列函数中，哪些是一次函数？
(1)y＝－2x2；(2)y＝； (3)y＝3x2－x(3x－2)；
(4)x2＋y＝1； (5)y＝－.
解题秘方：紧扣“一次函数的特征”进行识别.
知1－练
解：(1)因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数.
(2)因为y＝＝x＋，k＝，b＝，
所以y＝ 是一次函数.
(3)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，
所以它是一次函数.
先化简，再判断
知1－练
(4)x2＋y＝1，即y＝1－x2.
因为x的次数是2，所以x2＋y＝1 不是一次函数.
(5)因为y＝－中的－不是整式，不符合y＝kx＋b的形 式，所以它不是一次函数.
知1－练
1－1. 下列函数中，哪些是一次函数？
(1)y＝－；
知1－练
(2)y＝－；
知1－练
(3)y＝8x2＋x(1－8x)＋1；
(4)s＝1＋8t.
解：y＝8x2＋x(1－8x)＋1经过变形转化为y＝x＋1，其中k＝1，b＝1，所以y＝8x2＋x(1－8x)＋1是一次函数．
s＝1＋8t，即s＝8t＋1，其中k＝8，b＝1，
所以s＝1＋8t是一次函数．
知识点
正比例函数
知2－讲
2
1. 定义：形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
知2－讲
特别解读
正比例函数y＝kx 的三个特征：
1. y关于x的式子是整式；
2. 比例系数k ≠ 0；
3. 两个变量的次数都是1.
知2－讲
2. 一次函数与正比例函数的关系
(1)正比例函数y＝kx(k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)中b＝0 的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
(2)若已知y与x成正比例，则可设函数解析式为y＝kx(k≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数解析式为y＝ kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0).
知2－讲
特别提醒
函数y＝k(k是常数)不是正比例函数，称其为常数函数.
知2－练
下列函数中，是正比例函数的是( )
① y＝－；② y＝－；③ y＝1＋5x；④ y＝x2－5x；⑤ y＝2x.
A. ①⑤ B. ①② C. ③⑤ D. ②④
解题秘方：紧扣“正比例函数的三个特征”进行辨别.
例 2
知2－练
解：②y＝－中－不是整式；③y＝1＋5x不符合y＝kx(k ≠ 0)的形式；④y＝x2－5x中x2－5x不是一次单项式，
所以②③④不是正比例函数. ①⑤符合正比例函数y＝kx(k≠ 0)的定义：k为常数且k ≠ 0，两个变量的次数都是1，所以是正比例函数.
答案：A
知2－练
2－1.[中考·上海]下列函数中，为正比例函数的是( )
A. y＝3x＋1 B. y＝3x2
C. y＝ D. y＝
D
一次函数的概念
实际问题
列解
析式
一次函数
特例
正比例函数
题型
识别一次函数与正比例函数
1
下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－3x；(2)y＝；(3)y＝1＋8x；
(4)y＝＋1；(5)y＝x2＋1； (6)y＝.
例 3
思路导引：
解：(1)y＝－3x 是正比例函数，也是一次函数；
(2)y＝，即y＝－x＋是一次函数，但不是正比例函数；
(3)y＝1＋8x 是一次函数，但不是正比例函数；
(4)y＝＋1，x在分母的位置上，因此等号右边不是整式，所以不是一次函数，也不是正比例函数；
(5)y＝x2＋1，自变量x 的次数是2，所以不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)y＝，等号右边不是整式，所以不是一次函数，也不是正比例函数.
方法点拨
判断一次函数的方法：
看函数解析式能否通过变形转化为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0) 的形式， 若能， 则是一次函数，此时若b＝0，则该函数既是一次函数，又是正比例函数.
题型
利用一次函数的定义求字母的值
2
已知函数y＝(n2－ 4)x2＋(2n－4)xm－2－(m＋n－8).当m，n 为何值时，函数是一次函数？
例 4
解题秘方：根据“二次项系数为0”和“一次项系数不为0”列方程或不等式求解.
解：由题意得
解得m＝3，n＝－2.
因此，当m＝3，n＝－2 时，函数是一次函数.
一次项系数不为0 是隐含条件
解题策略
根据一次函数的定义求字母参数的值，先分清含自变量的项与常数项，再根据自变量的次数为1 和系数不为0 列式求解.
题型
求实际问题中一次函数的解析式
3
某地区现有果树12 000棵，计划今后每年栽果树
2 000棵．
例 5
解题秘方：根据等量关系“果树的总数＝ 现有的果树的数量＋ 每年栽树的数量× 年数”进行解答.
解：根据题意，得y＝12 000＋2 000x(x为正整数)，它是一次函数.
(1)求果树总数y(单位：棵)关于栽果树年数x(单位：年)的函数解析式，它是一次函数吗？
解：当x＝5 时，y＝12 000＋2 000×5＝22 000．
因此，预计到第5 年末该地区有22 000 棵果树．
(2)预计到第5年末该地区有多少棵果树？
解题通法
列一次函数解析式时，先理解题意，找出两个变量之间的关系，然后根据题意中的等量关系列出等式，再用含自变量的式子表示函数.
易错点
确定字母参数的值时，忽略比例系数不为0而出错
已知函数y＝(k－2)x|k|－1(k为常数)是正比例函数，则k 的值是________.
－2
例 6
错解：根据正比例函数的定义，得|k|－1＝1，解得 k＝±2.
正解：根据题意，得解得
所以k＝－2.
诊误区：
确定正比例函数中字母参数的值时，应注意两点：一是自变量的指数为1；二是比例系数是非零常数.
氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得，如图23.1－1是其实验装置示意图.
考法
求实际问题中的正比例函数解析式
例 7
实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(单位：g)与分解的水的质量x(单位：g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y 与x 之间的函数解析式为( )
A. y＝ B. y＝9x
C. y＝x D. y＝
水的质量 x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质 量y/g 0.5 1 2 4 5
试题评析：本题考查求正比例函数解析式，由表格数据判断出正比例函数关系是解题关键．
答案：C
解：由表格数据知，＝＝＝＝＝＝9. 因此y与x 成正比例，即y是x的正比例函数，且y＝x.
1. 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是(　　)
A．y＝－3x2－1 B．y＝2x－1
C．y＝ D．y＝－2x
B
2. 若函数y＝(a＋1)xa－1是正比例函数，则a的值是( )
A. 2 B.－1
C. 2 或－1 D.－2
A
3. 若函数y＝(m＋3)xm2－8－5 是一次函数，则m的值为_________.
4. 铁的密度约为7.9 g/cm3，铁的质量m(单位：g)与体积V (单位：cm3)成正比例．一个体积为1 0 cm3的铁块，它的质量为________g．
3
79
5. 现定义[p,q] 为函数y＝px＋q的特征数，若特征数为[a－ 1，a＋2]的函数是正比例函数，这个正比例函数的解析式是___________.
y＝－3x
6. 用函数解析式表示下列问题中y与x的关系，并判断y是否为x的一次函数，是否为x的正比例函数.
(1)长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的函数解 析式；
(2)刚上市时西瓜每千克3.6 元，买西瓜的总价y(单位：元)与买西瓜的质量x(单位：千克)之间的函数解析式；
(3)仓库内有粉笔400 盒，如果每个星期领出36 盒，仓库内余下的粉笔盒数y 与星期数x之间的函数解析式；
解：y＝3.6x，是正比例函数，也是一次函数．
y＝－36x＋400，是一次函数，不是正比例函数．
(4)爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000 元，以后每个月存入500 元，存入总数y(单位：元)与月数x之间的函数解析式.
解：y＝500x＋10 000，是一次函数，不是正比例函数．
7. [中考·山东]山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情 况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6 米.
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y(单位：米)与注水时间x(单位：小时)之间的函数解析式；
解：由题意可得：蓄水池的水位高度y(单位：米)与注水时间x(单位：小时)之间的函数解析式为y＝6x＋5.
(2)已知蓄水池的底面积为0.4 万平方米，每立方米的水可供发电0.3 千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2 万千瓦时.
解：根据题意，得0.4(6x＋5)×0.3＝4.2，
解得x＝5.
因此注水5小时可供发电4.2万千瓦时．

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