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23.3 一次函数与方程(组)、不等式
第二十三章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数与二元一次方程(组)的关系
知识点
一次函数与一元一次方程的关系
知1－讲
1
1. 一次函数与一元一次方程的关系
知1－讲
拓展
知1－讲
特别解读
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a ≠ 0) 的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0 时，求自变量x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，求它与x轴的交点的横坐标.
知1－讲
2. 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
(1)转化：将一元一次方程转化为kx＋b＝0(k ≠ 0)的形式；
(2)画图象：画出一次函数y＝kx＋b的图象；
(3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，则交点的横坐标即为一元一次方程的解.
知1－练
例 1
一次函数y＝kx＋b的图象如图23.3－1 所示，则关于x的方程kx＋b＝0的解为______，关于x的方程kx＋b＝2 的解为_______.
x＝－1
x＝0
知1－练
思路导引：
知1－练
解：由图23.3－1 可知，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b 与x轴交点的横坐标，所以方程kx＋b＝0 的解为x＝－1；
方程kx＋b＝2 的解是直线y＝kx＋b与直线
y＝2交点的横坐标(也是直线y＝kx＋b与y
轴交点的横坐标)，所以方程kx＋b＝2 的
解为x＝0.
知1－练
1－1. 如图，直线y＝ax＋b(a ≠ 0)经过点A(0，3)，B(5， 0)， 则关于x的方程ax＋b＝0的解是x＝______.
5
知2－讲
知识点
一次函数与一元一次不等式的关系
2
1. 一次函数与一元一次不等式的关系
知2－讲
2. 利用图象法解一元一次不等式的一般步骤
(1)将不等式转化为kx＋b>0 或kx＋b<0(k ≠ 0) 的形式；
(2)画出函数y＝kx＋b的图象并确定该图象与x轴的交点 坐标；
(3)根据该图象确定对应不等式的解集.
知2－讲
3. 直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2交点的横坐标即为方程k1x＋b1＝k2x＋b2的解；不等式k1x＋b1>k2x＋b2(或 k1x＋b1知2－讲
示例：如图23.3－2，方程k1x＋b1＝
k2x＋b2 的解为x＝a；
不等式k1x＋b1>k2x＋b2 的解集为x>a；
不等式k1x＋b1知2－讲
特别解读
对于可化为ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0)的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数 y＝ax＋b的值大于0或小于0 时，求自变量x的取值范围; 从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.
知2－练
用画函数图象的方法解不等式3x＋2>2x－1.
例 2
解题秘方：将不等式转化为ax＋b>0 的形式，画出函数y＝ax＋b(a≠0)的图象，根据图象求出不等式的解集；或将不等式转化为两个函数解析式，画出这两个函数的图象，根据图象即可求出不等式的解集.
知2－练
解法一：原不等式可化为x＋3>0.
画出函数y＝x＋3的图象(如图23.3－3 所示).
由图象可以看出，当x>－3时，这条
直线上的点在x轴上 方，即此时
y＝x＋3>0.
所以不等式3x＋2>2x－1 的解集为x>－3.
知2－练
解法二：在同一平面直角坐标系中分别画出
函数y＝3x＋2 与函数y＝2x－1的图象(如
图23.3－4所示)，它们交点的横坐标为－3.
当x>－3时，对于同一个x的值，直线y＝
3x＋2上的点在直线y＝2x－1上相应点的
上方，这时3x＋2>2x－1，即不等式的解
集为x>－3.
知2－练
规律总结：在同一平面直角坐标系中比较两直线上函数值大小的方法
(1)找交点：画出两条直线，找两直线的交点；
(2)画平行线：过两直线的交点画与y轴平行的直线；
(3)定左右：根据所求目标确定自变量的取值范围.
知2－练
2－1. 如图， 直线l1：y＝x＋6与直线l2：y＝－x－2交于点P(－2，3)，则不等式x＋6>－x－2的解集是( )
A. x>－2
B. x ≥ －2
C. x<－2
D. x ≤ －2
A
知2－练
2－2. 如图，一次函数y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)的图象经过点A(4，1)，则不等式ax＋b<1 的解集为______.
x＜4
知3－讲
知识点
一次函数与二元一次方程(组)的关系
3
1. 一次函数与二元一次方程的关系
由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.
知3－讲
这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上.
知3－讲
特别解读
二元一次方程组的解可以看成方程组中两个方程对应的一次函数图象的交点坐标；反之, 两个一次函数图象的交点坐标可以看成由这两个一次函数解析式组成的方程组的解.
知3－讲
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
知3－讲
知3－讲
特别提醒
利用图象法求出的方程组的解是否准确，取决于所画的图象是否准确. 判断用图象法所得到的方程组的解是否准确，可以将得到的解代入方程组中进行检验，如果方程组中的两个方程同时成立，则得到的解是准确的.
知3－讲
3. 两直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的情况的关系
两直线的位置关系 对应的二元一次方程组解的情况
相交 有唯一解
平行 无解
重合 有无数组解
知3－讲
4. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
(1)变函数： 把方程组中的方程化为一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2；
(2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；
(3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标；
(4)写结果：依据点的坐标写出方程组的解.
知3－练
[中考·济宁]如图23.3－5，直线l1：y＝x＋5 和直线 l2：y＝mx＋n 相交于P(1，b).
例 3
知3－练
解题秘方：由于点P(1，b)在直线y＝x＋1上，因此只要将x＝1，y＝b 代入y＝x＋1，即可求出b的值；
解：因为点P(1，b)在直线y＝x＋1上，所以b＝1＋1＝2.
(1)求b的值；
知3－练
解题秘方：方程组里的两个方程恰好是给出的两条直线的解析式，两条直线的交点坐标就是这个方程组的解.
解：由(1)知，直线y＝x＋1与直线y＝mx＋n的交点坐标是(1，2)，所以方程组的解是
(2)请直接写出关于x，y的方程组的解.
知3－练
3－1.[期末·太原小店区]如图， 一次函数y＝kx＋b与y＝x＋5的图象相交于点P(－3，m)则方程组的解是________.
知3－练
已知一次函数y＝ax＋2与y＝kx＋b的图象如图23.3－6所示，两直线的交点为A，且方程
组的解为点B
(0，－1)为直线y＝kx＋b与y轴的交
点，请你确定这两个一次函数的解析式.
例 4
解题秘方：紧扣“交点坐标的意义”求解.
知3－练
解：因为方程组的解为且两直线的交点为A，所以A的坐标为(2，1). 所以2a＋2＝1，解得a＝ －. 因为函数y＝kx＋b的图象过点A(2，1)和点B(0，－1)，
所以解得所以这两个一次函数的解析式分别为y＝－x＋2，y＝x－1.
知3－练
4－1. 图中两直线l1，l2的交点坐标可以看作下列方程组的解的是( )
A. B.
C. D.
B
一次函数与方程(组)、不等式
三个
关系
一次函数与
方程、不等式
三种
解法
解一元一
次方程
解一元一
次不等式
解二元一
次方程组
与一元一
次方程
与一元一
次不等式
与二元一次
方程(组)
题型
利用一次函数与一元一次方程之间的关系解决实际问题
1
如图23.3－7 ①，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.
例 5
甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间具有函数关系h＝－x＋6，乙离一楼地面的高度y(单位:m)与下行时间x(单位:s)的函数关系如图23.3－7 ②所示.
解题秘方：由一次函数图象与坐标轴的交点坐标和图象上已知点的坐标运用待定系数法求解析式；在一次函数解析式中，已知函数值求对应的自变量的值时，可转化为一元一次方程来解决.
(1)求y 关于x 的函数解析式；
解：设y关于x的函数解析式是y＝kx＋b(k ≠ 0).
将点(0，6)，(15，3)的坐标分别代入，
得 解得
因此y关于x 的函数解析式是y＝－x＋6 .
(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.
解：当h＝0 时，0＝－x＋6，解得x＝20；
当y＝0时，0＝－x＋6，解得x＝30.
因为20 <30，
所以甲先到达一楼地面.
解题通法
解决与一次函数相关的实际应用问题的方法：
一要结合实际问题，提取等量关系，建立数学模型；
二要结合所求，建立方程(组)进而解方程(组)；
三要结合求得的结果来回答实际问题，且要注意实际问题中自变量的取值范围.
方法点拨
利用一元一次方程与一次函数之间的关系既可以求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，又可以求出已知函数值对应的自变量的值.
题型
利用一次函数与一元一次不等式之间的关系解决实际问题
2
某游泳馆推出了两种收费方式.
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40 元.
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元).
例 6
解题秘方：先根据收费方式建立函数关系，再根据函数值的大小建立不等关系，求出自变量的取值范围.
(1)请分别写出y1，y2关于x之间的函数解析式.
(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x 在什么范围时，选择方式一比方式二更省钱？
解：当游泳次数为x时，方式一的费用为y1＝30x＋200 ，
方式二的费用为y2＝40x.
由y120. 因此小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x>20时，选择方式一比方式二更省钱.
方法点拨
根据函数值的大小关系确定自变量取值范围的两种方法：
一是根据在同一坐标系中两个函数的图象，通过观察交点两侧图象的位置来确定自变量的取值范围；
二是直接根据函数值的大小列出以自变量为未知数的不等式，求出自变量的取值范围.
1号探测气球从海拔10 m 处出发， 以1 m/s 的速度竖直上升，与此同时，2 号探测气球从海拔20 m 处出发，以a m/s 的速度竖直上升.
例 7
题型
利用一次函数与二元一次方程组之间的关系解决实际问题
3
两个气球都上升了1 min.1 号、2 号气球所在位置的海拔 y1，y2(单位：m)与上升时间x(单位：s)的函数关系如图23.3－8所示. 请根据图象回答下列问题：
(1)a＝_____，b＝______.
30
解题秘方：紧扣图象给出的信息以及两个变量的实际意义求出交点的纵坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，从而解决问题.
(2)请分别求出y1，y2与x的函数解析式.
解：由(1)可得，两函数图象的交点坐标为(20，30).
由题意设y1＝k1x＋10，y2＝k2x＋20，将点(20，30)的坐标代入，可得30＝20k1＋10，30＝20k2＋20，
解得k1＝1，k2＝. 因此，y1＝x＋10，y2＝x＋20.
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔高度差为5 m ？
解：由题意可得y1－y2＝5 或y2－y1＝5.
当y1－y2＝5 时，x＋10－(x＋20)＝5，解得x＝30；
当y2－y1＝5 时，x＋20－(x＋10)＝5，解得x＝10.
因此，当上升10 s 或30 s 时，两个气球的海拔高度差为5 m.
思路点拨
(1)根据1号探测气球的初始海拔、速度和时间可计算出b的值，根据b的值、2号探测气球的初始海拔和时间可计算出2号探测气球的速度，即a的值；
(2) 观察图象可知，两个函数图象与y轴的交点坐标已知，结合两个函数图象的交点坐标，利用待定系数法可求出两个函数的解析式；
(3) “ 海拔高度差为5 m”即两个函数的函数值的差为5， 分y1－y2＝5 和y2－y1＝5 两种情况，建立以x为未知数的一元一次方程解决问题.
易错点
用图象法求一元一次不等式的解集时出错
如图23.3－9，已知直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c，则关于x的不等式k1x＋bA. x>2
B. x<2
C. x>－4
D. x<－4
例 8
答案：B
错解：A
正解：从两条直线的位置关系可以看出在交点的左侧，直线y＝k1x＋b在直线y＝k2x＋c的下方，所以关于x的不等式k1x＋b诊误区：
运用一次函数与不等式的联系，确定不等式的解集问题时，要注意结合图象，确定交点的坐标，尤其是交点两侧直线的位置关系，不要弄错.
[中考·扬州]如图23.3－10，已知一次函数y＝kx＋b (k ≠ 0)的图象分别与x，y 轴交于A，B
两点，若OA＝2，OB＝1，
则关于x的方程kx＋b＝0
的解为________.
考法
利用一次函数的图象与坐标轴的交点坐标解一元一次方程
1
例 9
x＝－2
试题评析：本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可根据一次函数图象与x轴的交点坐标得出答案.
解：因为OA＝2，所以一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象与x 轴交于点A(－2 ，0).
所以关于x 的方程kx＋b＝0 的解为x＝－2 .
[中考·烟台]如图23.3－11，直线
y＝x＋2与直线y＝ax＋c 相交于
点P(m，3)，则关于x 的不等式
x＋2 ≤ ax＋c 的解集为______.
x ≤ 1
考法
利用一次函数图象的交点坐标解不等式
2
例10
试题评析：本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是求出点P的坐标.
解：因为直线y＝x＋2 经过点P(m，3)，
所以m＋2＝3，解得m＝1. 所以P(1，3).
结合图23.3－11可知x＋2 ≤ ax＋c 的解集
为x ≤ 1.
1. 直线y＝ax＋b(a ≠ 0)过点A(0 ，1)，B(2，0)，则关于x 的方程ax＋b＝0 的解为(　　)
A. x＝0 B. x＝1
C. x＝2 D. x＝3
C
2. [中考·广东]已知不等式kx＋b<0 的解集是x<2，则一次函数y＝kx＋b 的图象大致是(　　)
B
3. 如图l1：y1＝x＋1与l2：y2＝kx＋b相交于点A，则关于x 的不等式x＋1>kx＋b的解集是(　　)
A. x<3
B. x<2
C. x>2
D. x>3
B
4. 将直线y＝2x向上平移m个单位长度后与直线y＝－x＋n 交于点(1，a)，则关于x的方程2x＋m＝－x＋n的解为 ( )
A. x＝－1 B. x＝1
C. x＝－2 D. x＝2
B
5. [中考·陕西]在平面直角坐标系中，O 为坐标原点. 若直线y＝x＋3 分别与x 轴，直线y＝－2x 交于点A，B，则△AOB 的面积为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
B
6. 如图，直线l1：y＝x＋3与直线l2：y＝kx＋b相交于点P (a，7)，则关于x，y的方程组的解是_______.
7. 如图，直线y＝x＋2和直线y＝－x＋b的交点A在第一象 限，写出b的一个可能的值是______________.
3(答案不唯一)
8. [月考·日照东港区]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点为A(－3，0)，与y轴的交点为B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C(m，4).
(1)求m的值及一次函数y＝kx＋b的解析式；
(2)求方程组的解；
(3)观察图象，不等式组0＜x＜kx＋b的解集是________.
09. [中考·北京]在平面直角坐标系xOy 中，函数y＝kx＋b(k ≠ 0) 与y＝－kx＋3 的图象交于点(2，1).
(1)求k，b 的值；
解：因为直线y＝－kx＋3经过点(2，1)，
所以－2k＋3＝1，解得k＝1.所以y＝x＋b. 将点(2，1)的坐标代入y＝x＋b，得2＋b＝1，解得b＝－1.
(2)当x>2 时，对于x 的每一个值，函数y＝mx(m ≠ 0)的值既大于函数y＝kx＋b 的值，也大于函数y＝－kx＋3 的值，求m的取值范围.
解：因为k＝1，b＝－1，所以两个一次函数的解析式分别为y＝x－1，y＝－x＋3.
当x>2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝x－1的值，也大于函数y＝－x＋3的值，即当x >2时，对于x的每一个值，直线y＝mx(m≠0)在直线y＝x－1和直线y＝－x＋3的上方，
则画出图象如图，
当直线y＝mx(m≠0)与直线y＝x－1平行时符合题意(如图①)，当直线y＝mx(m≠0)与x轴的夹角大于直线y＝mx(m≠0)与直线 y＝x－1平行时的夹角时也符合题意(如图②)，
易得当直线y＝mx(m≠0)
与直线y＝x－1平行时，
m＝1.
所以m≥1.
10.[月考·日照东港区]某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以3 m/s的速度匀速上升，2 s后无人机乙从同一地面起飞，以a m/s的速度匀速上升，无人机乙起飞6 s 后与无人机甲位于同一高度，两架无人机表演训练时距地面的高度均为60 m，
无人机距地面的高度y(单位：m)与
时间x(单位：s)之间的函数图象如图
所示.
(1)求a，b的值；
解：根据题意可列方程：3×(2＋6)＝6a，
解得a＝4，
无人机甲速度是3 m/s.飞行8 s时的高度为3×8＝24(m)，所以b＝24.
(2)求无人机乙在上升期间高度y(单位：m)与时间x(单位：s) 之间的函数解析式；
(3)直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差6 m时x的值.
解：x的值为2或14或18.

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