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23.4 实际问题与一次函数
第二十三章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
建立一次函数模型解决实际问题
运用一次函数选择最佳方案
知识点
建立一次函数模型解决实际问题
知1－讲
1
利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题.常见类型如下：
1. 题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解；
知1－讲
2. 题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质解决实际问题.
知1－讲
特别提醒
应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型，同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义.
知1－练
例 1
三月中下旬，某地山桃花进入了最佳观赏期，吸引了大批游客共赴这一场盛大的花海盛宴. 为满足登山游客对户外用品的需求, 甲、乙两家户外用品商店分别推出各自的促销优惠方案，分别是：甲商店，一次购买的户外用品不超过180 元不打折，超过180 元的部分打八折；乙商店，一次性购买的户外用品不超过300元不打折，超过300 元的部分打六折，设商品原价为x 元(x>0)，购物时应付金额为y 元.
知1－练
解题秘方：应付金额随商品原价的变化而变化，而折扣与购买商品的价格有关，因此写函数解析式时，应分0180 讨论.
知1－练
(1)求在甲商店购物时，y1与x之间的函数解析式；
解：由题意知，当0当x>180 时，y1＝180＋0.8(x－180)＝0.8x＋36.
所以在甲商店购物时，y1 与x 之间的函数解析式为
y1＝
知1－练
(2)当一次性购买的户外用品超过300 元时，若在甲商店和乙商店的付款金额相等，求所购买的户外用品的原价.
解：根据题意知，在乙商店购物时，
当x>300 时，y2＝300＋0.6(x－300)＝0.6x＋120.
由题意得，0.8x＋36＝0.6x＋120. 解得x＝420.
因此，当购买的户外用品的原价为420 元时，在甲商店和乙商店的付款金额相等.
知1－练
1－1.[模拟·渭南临渭区]2025 年3 月1 日，陕西省《节约用水条例》正式实施，为水资源可持续利用提供法治保障，为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13 立方米时，每立方米4 元，超出13 立方米时，超出的部分每立方米6 元. 设某用户月用水量为x立方米，水费为y 元.
知1－练
(1)求y关于x的函数解析式；
知1－练
(2)若该用户某月预算水费为58 元，实际水费为50 元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？
解：由(1)可知：当y＝58时，则6x－26＝58，
解得x＝14；
当y＝50时，则4x＝50，解得x＝12.5.
14－12.5＝1.5(立方米)．
答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米．
知识点
运用一次函数选择最佳方案
知2－讲
2
1. 选择最佳方案是指在某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案. 常涉及的问题类型有利润最大、路程最短、费用最少、效率最高等，常通过建立函数模型，运用方程(组)或不等式的知识进行求解.
2.
知2－讲
特别解读
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
知2－讲
特别提醒
考虑实际问题中的自变量的取值范围，尤其要看它是不是某些特殊解(如正整数解)
知2－讲
知2－练
“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游.
例 2
知2－练
解题秘方：解决通过比较两个函数的函数值选择最佳方案问题的方法：方法一(数法)：通过讨论两个函数的函数值的大小列方程和不等式求出自变量的取值范围，进而得最佳方案；方法二(形法)：画出两个函数的图象并求出交点坐标，通过分析交点的左右两侧两个函数图象的相应位置，求出自变量的取值范围，进而得最佳方案.
知2－练
根据以上信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为x h，租用甲公司的车所需费用为y1 元，租用乙公司的车所需费用为y2 元，y1，y2关于x的函数图象如图23.4－1所示. 分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
知2－练
解：由题意可设y1＝k1x＋80，且其图象过点(1，95)，
则95＝k1＋80，解得k1＝15，所以y1＝15x＋80(x ≥ 0)；
由题意知y2＝30x(x ≥ 0).
知2－练
(2)请你帮助小明计算选择哪个租车方案合算.
解：方法一 当y1＝y2时，即15x＋80＝30x，解得x＝；
当y1>y2时，解得x< ；当y1 .
所以当租车时间为h 时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于h 时，选择乙公司合算；当租车时间大于h 时，选择甲公司合算.
知2－练
方法二 令y1＝y2，即15x＋80＝30x，解得x＝. 由图象可知，当x＜时，选择乙公司合算；当x＝时，选择甲、乙公司一样合算；当x＞时，选择甲公司合算.
知2－练
2－1.[中考·宿迁]某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品在两家超市的标价均为10 元/件，甲超市规定一次性购买金额不超过400 元的不优惠，超过400 元的部分按标价的六折售卖；乙超市全部按标价的八折售卖.
(1)若该单位需要购买30 件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为______元；在乙超市的购物金额为_____元.
300
240
知2－练
(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
解：设购买x件这种文化用品，在甲超市的购物金额为 y甲元，在乙超市的购物金额为y乙元．
当0因为10x>8x，
所以选择乙超市支付的费用较少．
知2－练
当x>40时，y甲＝400＋0.6(10x－400)＝6x＋160，y乙＝0.8×10x＝8x.
若y甲>y乙，则x<80；若y甲＝y乙，则x＝80；若y甲80.
综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两家超市支付的费用相 同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少.
知2－练
例 3
学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品. 已知购买3 个A 奖品和2 个B 奖品共需120 元；购买5 个A 奖品和4 个B 奖品共需210 元.
思路导引：
(1)求A，B 两种奖品的单价；
知2－练
解：设A奖品的单价为x 元，B奖品的单价为y 元.
根据题意，得解得
答：A 奖品的单价为30 元，B 奖品的单价为15 元.
(2)学校准备购买A，B两种奖品共30 个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的. 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.
知2－练
解：购买A奖品8 个，购买B 奖品22 个时最省钱.
理由：设购买A奖品a个，购买奖品的花费为W元，则购买B 奖品(30－a)个.
知2－练
由题意可知，W＝30a＋15(30－a)＝15a＋450.
因为15>0，所以W随a的增大而增大，故当a取最小值时，W有最小值.
由a ≥ (30－a)，解得a ≥ .
又因为a为正整数，
所以当a＝8 时，W有最小值，此时30－8＝22.
因此，购买A奖品8 个，购买B 奖品22 个时最省钱.
需考虑实际问题中的自变量的取值范围
知2－练
3－1.[中考·河南]为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2 箱甲种苹果和3 箱乙种苹果的售价之和为440元；4 箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800 元．
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价．
知2－练
知2－练
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12 箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数． 求该公司最少需花费多少元．
知2－练
解：设购买甲种苹果a箱，则购买乙种苹果(12－a)箱．
根据题意，得12－a≤a，解得a≥6.
设该公司需花费w元，则w＝100a＋80(12－a)＝20a＋960.
因为20>0，所以w随a的增大而增大．
当a＝6时，w取最小值，为20×6＋960＝1 080.
因此该公司最少需花费1 080元．
实际问题与一次函数
一次函数
模型
选择最
佳方案
利用图象法
利用不等式
利用增减性
建立
某县大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200 t，B地将采摘300 t. 若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240 t，乙仓库可储存260 t，从A地运往甲、乙两仓库的费用分别为每吨20 元和25 元，从B地运往甲、乙两仓库的费用分别为每吨15 元和18 元.设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x t，A，B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA 元和yB 元.
例 4
题型
合理调配并选择最佳方案
1
思路导引：
(1)分别求出yA，yB与x之间的函数解析式；
解：由题意得，从A地运往乙仓库的猕猴桃为(200－ x) t，从B地运往甲仓库的猕猴桃为(240－x) t，从B地运往乙仓库的猕猴桃为(60＋x) t，则yA＝20x＋25(200－ x)＝－5x＋5 000，yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋ 4 680.
(2)试讨论A，B两地的运费哪个较少；
解：因为yA－yB＝(－5x＋5 000)－(3x＋4 680)＝－8x＋320，
所以当－8x＋320>0，即x<40 时，B 地的运费较少；
当－8x＋320＝0，即x＝40 时，两地的运费一样多；
当－8x＋320<0，即x>40 时，A 地的运费较少.
(3)考虑B 地的经济承受能力，B 地的猕猴桃运费不得超过4 830 元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出最少运费.
解：设两地运费之和为W元，
则W＝yA＋yB＝(－5x＋5 000)＋(3x＋4 680)＝－2x＋9 680，
由3x＋4 680 ≤ 4 830，解得x ≤ 50，
所以W的最小值为－2×50＋9 680＝9 580. 因此，当A地运往甲、乙两仓库的猕猴桃分别为50 t、150 t，B 地运往甲、乙两仓库的猕猴桃分别为190 t、110 t 时，才能使两地运费之和最少，最少运费是9 580 元.
方法点拨
当调运方案中涉及两个函数解析式时，要比较费用的大小，一般分三种情况利用不等式或方程讨论求解；而要求最省钱的调运方案时，一般先根据数量之间的关系建立函数模型，然后利用一次函数的增减性确定出符合要求的最佳方案.
题型
分段比较并选择最佳方案
2
A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品，暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A 超市： 一次购物不超过300 元的打九折，超过300 元的部分打七折；
B 超市： 一次购物不超过100 元的按原价，超过100 元的部分打八折.
例 5
例如：一次购物的商品原价为500 元, 去A 超市的付款金额为300×0.9＋(500－300)×0.7＝410(元)； 去B 超市的付款金额为100＋(500－100)×0.8＝420(元).
解题秘方：从“数”的角度出发，分别列出两家超市y关于x的函数解析式，通过比较函数值的大小求出解集或解，进而选择省钱的方案.
(1)设商品的原价为x 元，付款金额为y 元，分别就这两家超市的促销方式写出y 关于x 的函数解析式.
解：由题意得，当0当x>300时，yA＝0.9×300＋0.7(x－300)＝0.7x＋60，
所以yA＝
当0当x>100 时，yB＝100＋0.8(x－100)＝0.8x＋20，
所以yB＝
(2)促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200 元，则他到哪家超市购物更省钱？请说明理由.
解：当200当x＝400 时，他到两家超市购物一样省钱；
当x>400 时，他到A 超市购物更省钱.
理由如下：由0.9x<0.8x＋20，解得x<200；
由0.9x＝0.8x＋20，解得x＝200；
由0.9x>0.8x＋20，解得x>200，
所以当200由0.7x＋60>0.8x＋20，解得x<400，
所以当300由0.7x＋60＝0.8x＋20，解得x＝400，
所以当x＝400 时，到两家超市购物一样省钱.
由0.7x＋60<0.8x＋20，解得x>400，
所以当x>400 时，到A 超市购物更省钱.
综上所述，当200当x＝400 时，他到两家超市购物一样省钱；
当x>400 时，他到A 超市购物更省钱.
解题通法
运用一次函数模型选择最佳方案的步骤：
1. 从数学的角度分析实际问题，建立函数模型(往往有两个或两个以上的模型)；
2. 列出不等式(组)或方程(组)，求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系；
3. 结合实际需求，选择最佳方案.
易错点
运用一次函数的增减性求最值，当一次项系数的正负不确定时，忽略分类讨论而致错
某商场计划购进两种服装共100 件，甲种服装进价为
160 元/ 件，售价为(220－a )元/ 件；乙种服装进价为(124－a)元/ 件，售价为160 元/ 件. 设购进甲种服装x 件，两种服装全部售完，商场获得最大利润为4 950 元，则a的值为________(其中0例 6
9
错解：购进甲种服装x件，则购进乙种服装(100－x)件，设商场获得的利润为y 元.
由题意得y＝(220－a－160)x＋(160－124＋a)(100－x)，
整理，得y＝(24－2a)x＋3 600＋100a.
因为0＜a＜20且a ≠ 12，60 ≤ x ≤75，
所以当24－2a＞0，即0＜a＜12 时，y随x的增大而增大，当x＝75 时，商场获得最大利润，
即75(24－2a)＋3 600＋100a＝4 950，解得a＝9.
正解：购进甲种服装x 件，则购进乙种服装(100－x)件，设商场获得的利润为y 元. 由题意，得：
y＝(220－a－160)x＋(160－124＋a)(100－x)，
整理，得y＝(24－2a)x＋3 600＋100a.
因为0＜a＜20且a ≠ 12，60 ≤ x ≤75，
所以当24－2a＜0，即12＜a＜20 时，y随x的增大而减小，
当x＝60 时，商场获得最大利润，
即60(24－2a)＋3 600＋100a＝4 950，解得a＝4.5(舍去).
当24－2a＞0，即0＜a＜12时，y随x的增大而增大，当x＝75时，商场获得最大利润，
即75(24－2a)＋3 600＋100a＝4 950，解得a＝9.
诊误区：
确定函数的最值时，要运用一次函数的性质，且最值一般都在函数图象的两端取得，可根据k的正负确定最值在哪个端点取得. 当k的正负不确定时，需要分类讨论.
[中考·广州]一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征. 某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分 析，发现身高y(单位：cm)和脚长x(单位：cm)之间近
似存在一个函数关系，部分数据如表：
考法
建立一次函数模型解决实际问题
1
例 7
脚长x/cm … 23 24 25 26 27 28 …
身高y/cm … 156 163 170 177 184 191 …
试题评析：本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键.
(1)在图23.4－2①中描出表中数据对应的点(x，y)；
解：如图23.4－2 ①所示.
(2)根据表中数据，从y＝ax＋b(a ≠ 0)和y＝(k ≠ 0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围)；
解：由题意可知，y随x的增大而增大，因此选择函数y＝ ax＋b(a ≠ 0),
将点(23，156)，(24，163) 的坐标代入得
解得
所以这个函数的解析式为y＝7x－5.
(3)如图23.4－2②，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8 cm，请根据(2)中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
解：将x＝25.8代入y＝7x－5，
得y＝7×25.8－5＝175.6，
所以估计这个人的身高为175.6 cm.
[中考·自贡改编]甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销. 甲商场所有商品按九折出售，乙商场对一次购物中超过100 元的价格部分打八折.
考法
比较函数值选择最佳方案
2
例 8
试题评析：本题考查一次函数、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出函数解析式.
(1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示实际应付金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式.
解：由题意得，y甲＝0.9x. 当0当x > 100时，y乙＝100＋(x－100)×0.8＝0.8x＋20.
由上可得，y乙＝
(2)选择哪家商场去购物更省钱？
解：当0当x>100时，若y甲若y甲＝y乙，有0.9x＝0.8x＋20，解得x＝200；
若y甲>y乙，有0.9x>0.8x＋20，解得x>200.
综上，当0200 时，选择乙商场购物更省钱.
[中考·烟台]2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140 元．
考法
利用一次函数的增减性确定最佳方案
3
例 9
试题评析：本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数解析式是解题的关键.
解：设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元，
则解得
答：甲、乙两种路灯的单价分别为60 元、80 元.
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
解：设购买甲种路灯m盏，则m ≤ (40－m)，解得m ≤ 10.
设购买费用为n 元，根据题意，得n＝60m＋80(40－m)＝ －20m＋3 200.
因为－20<0，所以当m取得最大值10 时，n取得最小值 3 000. 此时，40－m＝30.
因此，购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少.
1. 如图，l1反映了某产品的销售收入与销售量之间的关 系，l2反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利，根据图中信息判断该公司赢利时销售量( )
A．小于4 件
B．大于4 件
C．等于4 件
D．不小于4 件
B
2. [中考·苏州]声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)的部分对应数值如下表：
温度t/℃ －10 0 10 30
声音传播的速度v(m/s) 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a ≠ 0)．当温度t 为15℃时，声音传播的速度v 为( )
A. 333 m/s B. 339 m/s
C. 341 m/s D. 342 m/s
B
3. “黄金1 号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2 kg 以上的种子超过2 kg的部分的种子价格打八折，则购买5 kg 种子，付款金额是__________元.
22
4. [期末· 青岛市南区]马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10 元，批发一箱该产品的利润是6 元，经营性质规定，该公司每月零售的数量不能多于300 箱，若该公司当月出售800 箱这种产品，最大利润是________元.
6 000
5. 春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表：
已知购买礼盒所需费用y(元)与数量x(盒)之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划 算，则他至少购买了______盒.
9
甲 乙
销售 方案 每盒优惠价420 元 每盒标价480元，若购买数量超过3 盒，超出部分打八折
6. 我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意 识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6 吨时，水价为每吨2 元，超过6 吨时，超过的部分按每吨3 元收费，该市某户居民5 月份用水x 吨，应交水费y 元.
(1)请写出y 关于x 的函数解析式.
(2)如果该户居民这个月交水费27 元，那么这个月该户居民用了多少吨水？
解：因为27>2×6，所以该户居民用水超过了6吨．
当y＝27时，27＝3x－6.
解得x＝11.
所以这个月该户居民用了11吨水．
7. DeepSeek开放平台提供两种API调用计费方案，方案 A：每月基础服务费30 元，每千次调用收费2元；方案 B：每月可免费调用5 千次，超出后，超出的部分每千次收费3 元，某开发者预计每月调用API 次数为x 千次(x>5).
(1)写出两种方案月总费用yA(元)和yB(元)关于调用次数x(千次)的函数解析式.
解：依题意，得yA＝30＋2x，
yB＝3(x－5)＝3x－15(x>5)．
(2)若每月调用API 超过5 千次，开发者应如何选择方案才能使费用最低？请说明理由.
解：当30＋2x＝3x－15时，解得x＝45，
当30＋2x>3x－15时，解得x<45，
当30＋2x<3x－15时，解得x>45，
所以当5当x>45时，选择方案A费用最低．
当x＝45时，两种方案费用相同，可任意选择．
8. [中考·广安] 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1 800 元购买A 种帐篷的数量与用3 000 元购买B 种帐篷的数量相等，且B 种帐篷的单价比A 种帐篷的单价多400 元．
(1)求A，B 两种帐篷的单价各多少元.
(2)若该景区需要购买A，B 两种型号的帐篷共20 顶(两种型号的帐篷均需购买)，且购买B 种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B 两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？
9. 已知甲仓库有生活物资100 t，乙仓库有生活物资80 t. 现要把这些生活物资全部运往A，B 两地，A 地需生活物资70 t，B 地需生活物资110 t，两仓库到A，B 两地的路程和运费如下:
路程/km 运费/[元/(t·km)] 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A 地 20 15 12 12
B 地 25 20 10 8
设甲仓库运往A地的生活物资为x t(x为整数)，总运费为y元.
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.
解：因为甲仓库运往A地的生活物资为x t，所以甲仓库运往B地的生活物资为(100－x) t，乙仓库运往A地的生活物资为(70－x) t，乙仓库运往B地的生活物资为80－(70－x)＝(10＋x) t.
如下表：
运往A地物资/t 运往B地物资/t
甲仓库 x 100－x
乙仓库 70－x 10＋x
根据题意，得y＝12×20x＋10×25(100－x)＋12×15(70－ x)＋8×20(10＋x)＝－30x＋39 200.
因为70－x≥0，x≥0，100－x≥0，所以0≤x≤70，
所以y关于x的函数解析式为y＝－30x＋39 200(0≤x≤70)．
(2)若要使总运费不超过37 160 元，则有几种运送生活物资的方案？哪种运送方案总运费最少？ 最少是多少元？
解：根据题意，得－30x＋39 200≤37 160，
解得x≥68.
因为0≤x≤70，所以68≤x≤70.
因为x为整数，所以x＝68或69或70，故有三种运送方案.
因为－30<0，所以y随x的增大而减小，
所以当x＝70时，y取最小值，
即当甲仓库运往A地的生活物资为70 t，运往B地的生活物资为30 t，乙仓库运往A地的生活物资为0 t，运往B地的生活物资为80 t时，总运费最少，最少为－30×70＋39 200＝37 100(元)．

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