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24.1 数据的集中趋势
第二十四章 数据的分析
24.1.1 平均数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平均数
加权平均数
用样本平均数估计总体平均数
知识点
平均数
知1－讲
1
1. 定义：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，我们把叫作这n个数据的平均数，记作“ x”.
也称算术平均数
2. 意义：平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势最常用的统计量.
知1－讲
3. 性质(拓展)
若一组数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ，则：
(1)数据nx1，nx2，…，nxn的平均数为n x；
(2)数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为 x＋b；
(3)数据nx1＋b，nx2＋b，…，nxn＋b的平均数为n x＋b.
知1－讲
特别提醒
1. 一组数据的平均数是唯一的，它不一定是数据中的某个数据.
2. 平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.
3. 根据样本数据计算得到的平均数，叫作样本平均数；根据总体数据计算得到的平均数，叫作总体平均数.
知1－练
例 1
为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范，万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村 超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为55，64，51，50，61，55，则这组数据的平均数是( )
A. 53 B. 55 C. 56 D. 64
知1－练
解题秘方：直接利用平均数的计算方法求解.
解：＝56.
因此，这组数据的平均数是56.
答案：C
知1－练
1－1.[月考·杭州临平区]某班五个小组在一次项目化学习中提出的问题个数分别是5，3，6，4，7，则这五个小组提出问题个数的平均数是( )
A. 4 B. 5 C. 5.5 D. 6
B
知1－练
已知一组数据2，3，3，4，a的平均数为3，则a的值为_______.
例 2
解题秘方：紧扣“平均数的定义”列方程求解.
解：根据题意，得＝3，解得a＝3.
3
知1－练
2－1. 一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则a，b的平均数为___________.
5
知2－讲
知识点
加权平均数
2
1. 定义：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则 x叫作这n个数的加权平均数.
2. 权能够反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重就越大，反之越小.权的表现形式：(1)数据的个数；(2)比；(3)百分比.
知2－讲
3. 计算分组(两组或更多组)数据的平均数或百分数，只需知道两类信息：一是每组数据的平均数或百分数，二是每组数据的个数(频数)，或每组数据个数所占的比值(频率). 根据这两类信息，以频数或频率为权，通过计算加权平均数就可以得到结果.
知2－讲
4. 当各组的数据是一个范围时，可以用各组的组中值(这个小组两个端点的数的平均数)代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权，通过计算加权平均数得到结果.
知2－讲
5. 用计算器求加权平均数的步骤：通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn以及它们的权w1，w2，…，wn；最后按求平均数的功能键，计算器便会求出的值.
知2－讲
特别解读 算术平均数、加权平均数的区别与联系
区别 联系
算术平 均数 算术平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”相同，即各个数据的权相同 若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平加权平均数的一种特例
加权平 均数 加权平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的权不一定相同
知2－练
一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组的同学捐款的金额如下表.
金额/元 5 6 7 10
人数 2 3 2 1
该组同学捐款的平均金额为( )
A. 3.5 元 B. 6 元 C. 6.5 元 D. 7 元
例 3
人数就
是“权”
知2－练
解题秘方：在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1＋f2＋… ＋fk＝n)，那么这n个数的平均数 x＝ .
答案：C
解： x＝＝6.5(元).
因此，该组同学捐款的平均金额为6.5 元.
知2－练
3－1.[中考· 青岛]射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是_______环．
8.5
知2－练
为丰富同学们课外活动，某中学计划采购三种体育用品供学生使用，已知这三种体育用品的单价分别为60 元、65 元、70 元.经过粗略统计，该校的学生对这三种体育用品的喜爱人数占比为5∶3∶2，于是采购的老师按照此比进行采购，则该中学购买这批体育用品的均价为( )
A. 66 元 B. 65 元 C. 64 元 D. 63.5 元
例 4
知2－练
解题秘方：紧扣加权平均数的公式计算.
答案：D
解： x＝＝63.5(元).
因此，该中学购买这批体育用品的均价为63.5 元.
知2－练
4－1.[模拟·广州天河区]某电商平台以店铺近6个月收到顾客关于商品的描述、服务态度的两项评分综合计算店铺的信誉分，两项比重为6∶4，若其店铺的商品描述得分为 90，服务态度得分为95，则该店铺的信誉分为_______.
92
知2－练
某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办了“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录. 甲、
乙、丙三个小组
各方面得分如
下表：
小组 研究报告 小组展示 答辩
甲 91 80 78
乙 81 74 85
丙 79 83 90
例 5
知2－练
解题秘方：根据加权平均数的公式计算，然后比较大小作判断.
知2－练
如果按照研究报告占40%、小组展示占30%、答辩占30% 计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？
解：甲小组的成绩是＝ 83.8；乙小组的成绩是＝ 80.1；丙小组的成绩是＝83.5. 因为83.8>83.5>80.1，所以甲小组的成绩最高.
百分比是权的一种形式.
知2－练
5－1. “体重管理年”三年活动由国家卫健委联合16 个部门共同发起，宣传口号是“健康体重，一起行动”，某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的占比进行评分，每一项满分10 分，已知
八(1)班“主题内容”“排版设计”“文字书
写”三项的得分分别为9 分、7 分、8 分，
则该班的最终得分为______分.
8.1
知2－练
设A，B两家网站用户的日人均上网时间分别是a和 b，A，B两家网站平均每天的上网用户分别为m人和n 人，你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗？
例 6
知2－练
解题秘方：本题属于分组计算平均数，权重，反映了两家网站用户的分布情况.
解：A，B两家网站所有用户的日人均上网时间为，
它不是两个网站各自用户日人均上网时间a和b的算术平均数，而是a，b的加权平均数a＋b.
知2－练
6－1.[模拟·上海普陀区]某班有男生20 人，女生18 人，在一次测验中，男生的平均分为a分，女生的平均分为b分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为________分.
知2－练
为了了解某县八年级女生的身高情况，在该县某校八年级女生中随机抽测了200名女生的身高，统计数据如下表及频数分布直方图(如图24.1－1).
组别 身高x/cm 频数
第一组 135≤x＜145 50
第二组 145≤x＜155 a
第三组 155≤x＜165 70
第四组 165≤x＜175 b
例 7
知2－练
解题秘方：紧扣统计表和频数分布直方图中的信息，利用组中值和频数求加权平均数是解题的关键.
知2－练
请你结合所给信息，回答下列问题：
(1)表中的a＝______，b＝______；
b＝200－50－60－70＝20.
60
20
知2－练
(2)请把如图24.1－1 所示的频数分布直方图补充完整；
解：如图24.1－1所示.
知2－练
(3)求这200 名女生的平均身高.
解：求出每组的组中值分别为140，150，160，170，用每组的组中值近似地作为该组内女生的平均身高.
x＝＝153(cm)，
因此，这200 名女生的平均身高大约为153 cm．
频数是每组组中值的“权”
知2－练
7－1. 某中学为了了解本校学生的
身体发育情况，抽测了同年龄的
40名女学生的身高情况，统计人
员将上述数据整理后，列出了如
下频数分布表：
身高x/cm 频数
144.5149.5154.5159.5164.5合计 40
知2－练
根据以上信息回答下列问题：
(1)频数分布表中的A＝________；
(2)这40 名女学生的平均身高是________cm(精确到0.1 cm).
6
158.8
知3－讲
1. 用样本的平均数估计总体的平均数：统计中常常通过抽取样本，通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识. 在实际生活中，常用样本的平均数估计总体的平均数. 样本的抽取应具有随机性，从而尽量使得样本中的数据具有代表性，否则将影响到样本对总体估计的精确度.
知识点
用样本平均数估计总体平均数
3
知3－讲
2. 用样本估计总体的理由：(1)在很多情况下总体包含的个体数目很多，甚至无限，不可能一一加以考察；(2)有些从总体中抽取个体的试验对考察对象带有破坏性，因此抽取个体的数目不允许太多.
知3－讲
知识链接
选取样本的方法:
1. 用样本估计总体时，样本容量越大，则样本对总体的估计越准确，相应的工作量及破坏性也越大，因此样本容量的确定，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性及付出的代价；
2. 抽取的样本要具有一般性和代表性，这样有利于推测全貌、估计总体，作出决策，解决有关问题.
知3－练
某校为了了解八年级学生某次体育测试的成绩，现对该年级学生这次体育测试成绩进行抽样调查，结果统计如下表及扇形统计图(如图24.1－2)，其中扇形统计图中C组所在的扇形圆心角为36°.
例 8
知3－练
组别 成绩x/分 频数
A 20≤x＜24 2
B 24≤x＜28 3
C 28≤x＜32 5
D 32≤x＜36 b
E 36≤x＜40 20
合计 a
知3－练
解题秘方：找出每组中的组中值，求出样本的加权平均数，并由样本平均数估计出总体平均数.
知3－练
根据以上图表提供的信息，回答下列问题：
(1)计算频数分布表中a 与b 的值；
解：a＝5÷＝50，
b＝50－(2＋3＋5＋20)＝20.
知3－练
(2)根据C组28≤x＜32的组中值为30，估计C组中所有数据的和为______；
(3)请估计该校八年级学生这次体育测试的平均成绩(结果取整数).
150
解： x＝≈34.
可以估计该校八年级学生这次体育测试的平均成绩大约为34 分.
30×5＝150
知3－练
8－1.某校为了了解该校学生在家做家务的
情况，随机调査了50 名学生，得到他们在
一周内做家务所用时间的情况如下表所示.
则可以估计该校学生平均每人在一周内做
家务所用时间大约是________h.
2.1
时间/h 人数
0 ≤ t<1 8
1 ≤ t<2 14
2 ≤ t<3 20
3 ≤ t<4 6
4 ≤ t<5 2
平均数
平均数
计算方法
算术平均数
用样本平均
数估计总体
平均数
加权平均数
权相等
方法
利用新数据法求平均数
1
一次数学考试中，抽取了20 名学生的试卷进行分析. 这20 名学生的数学成绩(单位：分)分别为87，85，68，72，58，100，93，97，96，83，51，84，92，62，83，79，74，72，65，79.［注：试卷满分100分，60分以上(含60分)者为合格］
例 9
解题秘方：通过观察法确定一个常数(这组数据在这一常数上下波动)，再按新数据法的公式进行计算.
解：将原数据都减去80，得到新数据为7，5，－12， －8，…，－ 1 5 ，－1.
所以新数据的平均数 x’＝[7＋5＋(－12)＋(－8)＋… ＋ (－15)＋(－ 1)]÷20＝－1.
所以原数据的平均数 x＝ x’＋80＝－1＋80＝79，
因此，这20 名学生的平均成绩为79 分.
(1)求这20 名学生的平均成绩；
解：×100%＝90%.因此，这20 名学生的合格率为90%.
(2)求这20 名学生的合格率.
解题通法
新数据法求平均数的方法：
当所给的数据较大，且所给数据大部分都在某一常数a附近上、下波动时，可计算各数据与a的差：x1－a＝x1′，x2－a＝x2′，…，xn－a＝xn′，则 x ＝a＋·(x1′＋x2′＋…＋xn′).
方法
利用整体代入法求平均数
2
已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为8，则另一组数据a1＋10，a2－10，a3＋10，a4－10，a5＋10 的平均数为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
例10
解题秘方：方法一：用整体代入法求平均数.
方法2：利用新数据与原数据的关系求解.
技巧提醒
本题看似无法求解，但通过运用平均数的定义列出相关式子，进而用整体代入法求值，使问题简便获解.
解：方法一 因为数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为8，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝40.
因此，新数据的平均数为(a1＋10＋a2－10＋a3＋10＋a4－10＋a5＋10)＝×(40＋10)＝10.
方法二 ×(10－10＋10－10＋10)＝2.
因此，新数据的平均数为8＋2＝10.
答案：C
方法
利用排除极端值法求平均数
3
某校举行元旦文艺演出，由参加演出的10 个班各推举出一名同学担任评委，给每个节目打分，每个节目演出后的得分取各评委所给的平均分，下表是各评委对某班的一个节目的打分：
例11
评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
分数 7.20 7.00 7.25 7.10 10.00 7.30 7.20 7.10 6.20 7.15
解题秘方：从表格中获取信息进行解答.
(1)你对5 号评委和9 号评委的给分有何感想？
(2)该节目的得分是多少？此得分能否反映出该节目的实际水平？
解：5 号评委的给分太高，9 号评委的给分太低，反映了两种极端.
该节目的得分为×(7.20＋7.00＋7.25＋7.10＋10.00＋7.30＋7.20＋7.10＋6.20＋7.15)＝7.35. 此得分不能反映出该节目的实际水平.
解：平均分为×(7.20＋7.00＋7.25＋7.10＋7.30＋7.20＋7.10＋7.1 5)≈ 7.16. 这个平均分能反映出该节目的实际水平.
(3)如果去掉一个最高分，去掉一个最低分后，再计算平均分应该是多少？这个平均分能否反映出该节目的实际水平？
解法提醒
平均数是利用全部数据信息反映一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心”.若需要了解一组数据的平均水平，则计算这组数据的平均数即可.但平均数容易受极端值的影响，有时它不能代表一组数据的平均水平，因此，在解答与平均数相关问题时，常去掉极端值，使数据趋于合理.
易错点
混淆加权平均数和算术平均数
某电子器材商店里有一批集成块，共有两种型号，其中A型号的集成块有200个，B型号的集成块有300个，A型号集成块的价格为3元/个，B型号集成块的价格为2元/个，现将这两种型号的集成块按每个2.5 元出售. 问：卖出价格比这批集成块的平均价格高还是低？
例12
错解：这批集成块的平均价格为＝2.5(元/个)，所以卖出价格与这批集成块的平均价格相同.
正解：这批集成块的平均价格为＝
2.4(元/个).
因为2.4<2.5，所以卖出价格比这批集成块的平均价格高.
诊误区：
因为此题中两种型号集成块的个数不同，不能将其单价的算术平均数＝2.5(元/个)当成这批集成块的平均价格，应将两种型号的个数视为“权”，利用加权平均数计算其平均价格.
[中考·广西]某班需从甲、乙两名同学中推荐一人参加校史馆讲解员的选拔，班委决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查. 全班同学投票确定了各项所占的百分比，结果如图24.1－3 ①，再对甲、乙进行考查并逐项打分，成绩如图24.1－3 ②．
考法
利用平均数作决策
1
例13
试题评析：本题考查从统计图中获取信息和加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题关键．
(1)在所考查的四项内容中，甲比乙更具优势的有哪些？
解：由图24.1－3 ②可知，
甲在口头表达能力和仪容
仪表方面的得分高于乙，
因此甲比乙更具优势的有口
头表达能力和仪容仪表.
(2)按照图24.1-3 ①的各项占比计算甲、乙的综合成绩，并确定推荐人选．
解：甲的综合成绩为9×40%＋8×30%＋7×20%＋9×10%＝8.3(分)，乙的综合成绩为8×40%＋9×30%＋9×20%＋8×10%＝8.5(分). 因为8.5>8.3，所以推荐人选为乙同学．
[中考·福建]已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3 000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2 000人，数学平均分为80分．
考法
利用平均数进行说理
2
试题评析：本题考查加权平均数的求法和意义，掌握加权平均数的计算方法是关键.
例14
解：由题意得，A地考生的数学平均分为＝86(分).
(1)求A地考生的数学平均分.
(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例说明．
解：不能．举例如下：
若B地甲类学校有考生1 000人，乙类学校有考生3 000人，则B地考生的数学平均分为＝85(分).
因为85＜86，所以不能判断B地考生数学平均分一定比A 地考生数学平均分高．(举例不唯一)
1. [中考·湖州] 某住宅小区6 月1 日～6月5 日每天用水量情况如图所示，那么这5 天平均每天的用水量是( )
A. 25 m3
B. 30 m3
C. 32 m3
D. 35 m3
B
2. [中考·宜宾]一组数据：4，5，5，6，a的平均数为6，则a的值是(　 )
A．7 B．8 C．9 D．10
D
3. [中考·大连]某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13 岁3 人，14 岁5 人，15 岁2 人. 该健美操队队员的平均年龄为(　　)
A．14.2 岁 B．14.1 岁
C．13.9 岁 D．13.7 岁
C
4. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60 %，投球技能占40 % 计算选手的综合成绩(百分制)． 选手李林控球技能得90 分，投球技能得80 分． 李林综合成绩为(　　)
A．170 分 B．86 分
C．85 分 D．84 分
B
5. [中考·杭州]在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则(　　)
A．y>z>x B．x>z>y
C．y>x>z D．z>y>x
A
6.《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，甲乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩，今从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石; 从乙乡抽田四 亩，验得其中一亩产谷八石; 从丙乡抽田三亩，验得其中一亩产谷九石，问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100 亩，分给三个乡，甲乡分田30 亩，乙乡分田40 亩，丙乡分田30 亩.
现从甲乡抽取3 亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡抽取4 亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3 亩田，测得平均每亩产谷9 石，则这100 亩田共产谷大约( )
A. 800 石 B. 890 石
C. 900 石 D. 1 000 石
B
7. [模拟·台州玉环市]在某次体育抽测中，A，B 两所学校1 min 跳绳个数的统计数据如下表.
学校 男生平均数/个 女生平均数/个 全校学生平均数/个
A 189 183 186.8
B 190 184 186.4
从表中数据可以发现，B 学校男、女生1 min跳绳平均数均比A学校多，但全校1 min 跳绳平均数反而比A学校少，对这种现象下列分析正确的是( )
A. A 学校总人数比B 学校多
B. A 学校男生人数比例比B 学校高
C. A 学校男生人数比B 学校多
D. A 学校女生人数多于男生
B
8. 已知数据x1，x2，x3，x4的平均数是2，则x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数是_______.
5
9. [中考·福建]某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、 读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩(百分制)按4∶3∶2∶1 的比例计算最终成绩．
参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表.
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A______B(填“>”“=”或“<”).
>
项目 员工 听 说 读 写 最终成绩
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
10. 某中学共有400名学生，学校为了增强学生的国防意识，在学校举行国防知识测验.为了解这次测验的成绩情况，从中抽取50名学生的成绩，将所得数据整理后，画出频数分布直方图如图所示，
试估计这次测验中全体
学生的平均成绩.
11.[中考·成都]某公司需要经常快递物品，准备从A，B 两家快递平台中选择一家作为日常使用. 该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分(单位：分)，其中对平台A 的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B 的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．
现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B 各项的得分如下表.
平台 物品完好度 服务态度 物流时长
A 92 m 90
B 95 n 88
(1)七位员工对平台A的服务态度评分的极差(最大值与最小值的差)是_______.
10
(2)求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好.
(3)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5∶3∶2 的比确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？

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