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24.1 数据的集中趋势
第二十四章 数据的分析
24.1.2 中位数和众数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
中位数
众数
平均数、中位数和众数的特点
知识点
中位数
知1－讲
1
1. 定义：一般地，一组数据按从小到大(或从大到小) 的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数. 当数据的个数为奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数为偶数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数.
知1－讲
2. 意义：一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平.
知1－讲
3. 确定中位数的方法简记为“一排，二找，三定”. 若数据个数为n(已排序)，当n为奇数时，中位数为第个数；当n为偶数时，中位数为第个数和第(＋1)个数的平均数.
知1－讲
特别解读
1. 一组给定的数据的中位数是唯一的，可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数.
2. 中位数是一个位置数，要先排序，再确定.
3. 中位数不受极端值的影响.
知1－练
例 1
已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图 (如图24.1－4)，则这六个整点时气温的中位数是_______℃.
15.6
知1－练
解题秘方：按照“一排，二找，三定”的顺序求中位数.
解：把这些数据按从小到大的顺序排列为4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1.
这组数据有6 个，最中间的两个数的平均数是＝15.6. 因此这六个整点时气温数据的中位数是15.6.
知1－练
1－1. 为响应习近平总书记强调的“着眼满足人民群众多样化、多层次、多方面的精神文化需求”这一号召，某市夜校开设漆扇制作课程，一周内每天报名的人数分别为 72，86，67，59，91，82，94，则这组数据的中位数是 ( )
A. 59 B. 67 C. 82 D. 86
C
知2－讲
知识点
众数
2
1. 定义：一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数.
知2－讲
说明：
(1)一组数据的众数的大小只与这组数据中的个别数据有关，它一定出现在这组数据中；
(2)众数是描述一组数据集中趋势的量，众数只与数据出现的频数有关，不受个别数据影响，有时是我们最为关心的统计数据.
知2－讲
2. 意义：众数也是刻画数据集中趋势的一种统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能较好地反映其集中趋势.
3. 确定众数的方法
(1)排列：将数据按照大小顺序排列；
(2)确定：先数出这组数据中各数据出现的次数, 再找出这组数据中出现次数最多的数据.
知2－讲
特别解读
1. 一组数据的众数不一定唯一，可能有一个或几个，也可能没有.
2. 众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数.
3. 当各数据出现的次数大致相等时，众数就不能反映这组数据的集中趋势.
知2－练
[中考·南充]一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20 名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表，则这20 名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是( )
A. 6 B. 9
C. 11 D. 15
例 2
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
知2－练
解题秘方：确定众数时，是求频数(人数)最大的数据(个数)，而不是最大的频数(人数).
解：观察统计表中“个数”对应的“人数”，个数6 出现2 次，个数9 出现5 次，个数11 出现8 次，个数12 出现3 次，个数15 出现2 次. 因为个数11出现的次数最多，所以“引体向上”的个数的众数是11.
答案：C
知2－练
2－1.林老师统计全班学生每周参加科学教育活动的时间 (单位：h)，绘制成如图所示的统计图，则全班学生每周参加科学教育活动的时间的众数是_________.
8
知3－讲
知识点
平均数、中位数和众数的特点
3
平均数、中位数和众数的区别与联系
类别 区别 联系
优点 缺点 平均数 平均数能够充分利用数据提供的信息，在实际生活中较为常用，常用样本的平均数估计总体的平均数 受极端值的影响较大，对于存在极端值的数据，一般平均数的代表性较差
知3－讲
续表
类别 区别 联系
优点 缺点 中位数 中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述集中趋势 不能充分地利用各数据的信息
知3－讲
续表
类别 区别 联系
优点 缺点 众数 众数考察的是各数据所出现的次数，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题的实质 当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性 平均数、中位数和众数都能反映一组数据的集中趋势，刻画一组数据
的“一般水平”
知3－讲
特别解读
数据分析时的选用依据：
知3－练
某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20 名女同学进行测试，每人定点投篮5 次，进球数统计如下表.
例 3
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 8 6 3 1 1
知3－练
(1)求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数；
解：由统计表可得，被抽取的20名女同学进球数的众数为1，平均数为 x＝(0×1＋1×8＋2×6＋3×3＋4×1＋5×1)÷20＝ 1.9. 因为第10，11 个数据都是2，所以被抽取的20 名女同学进球数的中位数为2.
解题秘方：根据平均数、中位数、众数的定义求解即可;
知3－练
(2)求这支球队整体的投篮命中率.
解：样本的优秀率为×100%＝25%，
200×25%＝50，
可以估计该中学七年级女同学中定点投篮水平为“优 秀”的人数约为50．
解题秘方：算出样本的优秀率，再估计总体的优秀人数.
知3－练
3－1.[模拟·青岛李沧区]如图是青岛市某地区5月1 日至5 日天气预报的部分截图，下列说法错误的是(　　)
A. 这五天中，温差最大的是5 月1 号
B. 这五天中，每日最低气温的众数是12
C. 这五天中，每日最高气温的中位数是20
D. 这五天中，每日最高气温的平均数为18.6
C
知3－练
一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是(　　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
例 4
解题秘方：先根据中位数、众数的定义求出x的值，再求平均数.
知3－练
答案：B
解：因为一组数据1，x，5，7 有唯一众数，且中位数是6，
所以x＝7.
因此，平均数是＝5.
知3－练
4－1.[中考·德阳]德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度(单位：km)分别为28，30， 30，26，32．若后续又新增一条线路，使得新增后这6 条线路长度的中位数变为29，众数保持不变，那么新增线路长度可能是( )
A. 25 km B. 28 km
C. 29 km D. 30 km
A
中位数和众数
中位数
众数
用排序法确定
用公式求
平均数
数据的集中趋势
题型
平均数、中位数和众数与统计图表的综合应用
1
根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指 南》，某中学开展了形式多样的国防教育培训活动. 为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞 赛，将学生的百分制成绩(x分)用5级记分法呈现： “x＜60”记为1分， “60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90 ”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．
例 5
现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制不完整的统计图 (如图24.1－5)表如下.
平均数/分 中位数/分 众数/分
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为_____度.
解题秘方：用360°乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；
18
360°×(1－30%－15%－10%－40%)＝18°
②请补全第1 小组得分条形统计图；
解题秘方：求得第1 小组“得分为4 分”这一项的人数即可补全第1 小组得分条形统计图.
解：如图24.1－ 5 中的第1小组得分条形统计图.
(2)a＝______，b＝______，c＝______.
解题秘方：根据众数、平均数和中位数的定义即可求解.
5
3.5
3
详解
第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则a＝5；第2小组学生成绩的平均数为×(1×20×5%＋2×20×30%＋3×20× 15%＋4×20×10%＋5×20×40%)＝3.5(分)，则b＝3.5；第3小组的中位数为第10、11个数的平均数，即＝3(分)，则c＝3.
(3)已知该校共有4 200 名学生，以这3 个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90 分？
解题秘方：利用样本估计总体即可求解．
解：4 200×＝1 260(名).
估计该校大约有1 260 名学生竞赛成绩不低于90 分．
题型
利用平均数、中位数和众数的特征作决策
2
某科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
例 6
解题秘方：虽然平均数、中位数和众数都可以用于刻画一组数据的集中趋势，但它们刻画的角度并不相同. 在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的统计量刻画数据的集中趋势.
请你根据上述内容，解答下列问题：
(1)所有员工月工资的平均数为5 320，中位数为_______，众数为_______；
4 700
4 600
(2)小张到这家公司应聘普通工作人员，请你回答图24.1－6中小张的问题，并指出用哪个数据向小张介绍普通员工的月工资实际水平更合理些；
解：这个部门经理的介绍不能反映该公司普通员工的月工资实际水平. 因为平均数易受极端值的影响, 而该公司总经理和部门经理的工资与普通员工的工资差别较大, 所以公司员工的月平均工资不能反映该公司普通员工的月工资实际水平. 用中位数4 700 元或众数4 600 元来介绍更合理些. 因为中位数受极端值的影响较小，众数不受极端值影响，所以能反映这组数据的一般水平.
(3)去掉四位管理人员的工资后, 请你计算其他员工的月平均工资y(结果保留整数)，并判断y能否反映该公司普通员工的月工资实际水平.
解：y＝ ≈ 4 691(元).
因为去掉极端值后的平均数能反映一组数据的平均水 平，所以y能反映该公司员工的月工资实际水平.
解题通法
选取描述数据集中趋势的统计量的方法：
1. 在一组数据中, 若无极端值, 且这组数据比较接近, 则可用平均数表示这组数据的集中情况.
2.在一组数据中, 若存在极端值, 则可用中位数表示这组数据的集中情况.
3.当一组数据中有个别数多次重复出现, 以至于其他数据的作用相对较小时, 可用众数表示这组数据的集中情况.
数据1，4，6，x 的中位数和平均数相等，则x 的值是___________.
易错点
求中位数时没先排序而出错
错解：根据题意，得＝，解得x＝ 9.
－1或3或9
例 7
正解：当x ≤ 1 时，＝，解得x＝－1；
当1＜x＜6时，＝，解得x＝3；
当x ≥ 6 时，＝，解得x＝9.
综上，x的值是－1或3或9.
诊误区：
求中位数首先要确定数据的顺序，然后寻找处在中间的一个数或两个数；如果不能确定顺序，那么就需要分情况讨论.
[中考·内江] 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20 双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如下表.
这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是( )
A. 24.5，25
B. 25，25
C. 25，25.5 D. 25.5，26
考法
求一组数据的中位数
1
例 8
尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26
销售量/双 1 3 10 4 2
试题评析：本题考查众数和中位数的求法，理解众数和中位数的定义是解题关键.
解：根据表格可知，尺码25 cm 的销售量最多(10 双)，因此众数为25. 数据个数为20，将所有尺码按从小到大的顺序排列，第10 和第11 个数据均为25，因此中位数为＝25.
答案：B
学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析(成绩均不低于60，用x表示，共分四组：A. 90 ≤ x ≤ 100；B. 80 ≤ x<90；
C. 70 ≤ x<80；D.60 ≤ x<70)，下面给出了部分信息：
考法
利用平均数、中位数和众数作决策
2
例 9
七年级20 名学生竞赛成绩在B 组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88．
八年级20 名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99．
七、八年级所抽取学生竞
赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a 83
众数 84 b
试题评析：本题主要考查扇形统计图、平均数、中位数、众数及用样本估计总体，熟练掌握平均数、中位数、众数的定义和特征是解题关键．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a＝________，b＝________，m＝________.
84
86
30
解：七年级20名学生竞赛成绩在D组中的有20×10%＝2 (名)，在C组中的有20×25%＝5(名)，因为七年级竞赛成绩的中位数a是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是84， 84，所以a＝＝84. 因为八年级20 名学生竞赛成绩中出现次数最多的是86，所以b＝86.
因为七年级20 名学生竞赛成绩在B组中的数据共7个，所以m%＝1－10%－25%－＝30%，即m＝30.
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)
解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好. 理由如下：因为该校抽取的学生中，七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同，都是82，但七年级竞赛成绩的中位数84 大于八年级竞赛成绩的中位数83，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好.
或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好. 理由如下：因为该校抽取的学生中，七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同，都是82，但八年级竞赛成绩的众数86 大于七年级竞赛成绩的众数84，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好.
(3)该校七年级有学生560 人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90 的学生人数共是多少？
解：560×30%＋500×＝293 .
可以估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90 分的学生人数共是293.
1. [中考 湖南]某班的5名同学1分钟跳绳的成绩(单位：次)分别为：179，130，192，158，141． 这组数据的中位数是(　　)
A．130 B．158 C．160 D．192
B
2. 某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备定做一批容量相同的双肩包，活动负责人征求了全班40 名同学的意向，得到如下数据：
满足大多数人的需求，此次定做的双肩包容量应为( )
A. 23 L B. 27 L C. 29 L D. 31 L
C
容量/L 23 25 27 29 31 33
人数 4 3 5 23 3 2
3. [中考·江西]如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是( )
A. 五月份空气质量为优的有16 天
B. 这组数据的众数是15
C. 这组数据的中位数是15
D. 这组数据的平均数是15
D
4. [中考·苏州]某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示. 序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100克，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7 个盲盒质量的中位数仍为100克，可以选择( )
A．甲、丁 B．乙、戊
C．丙、丁 D．丙、戊
C
5. 在一次数学测试中，张老师发现第一小组6 位学生的成绩(单位：分)分别为：85，78，90，72，●，75，其中有一位学生的成绩被墨水污染，但知道该小组的平均分为80分，则该小组成绩的中位数是_______．
79
6. [中考·南京]某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为______．
7. 已知一组正整数a，1 ，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为______．
35
5
8. [中考·安徽] 某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5 月份的游客中随机抽取
50 人对景区的服务质量进行评分，
评分结果用x表示(单位：分)，将
全部评分结果按以下五组进行整
理，并绘制统计表，部分信息
如下：
组别 分组 人数
A 45≤x<55 3
B 55≤x<65 3
C 65≤x<75 15
D 75≤x<85 a
E 85≤x≤95 10
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)a＝______.
(2)这50 名游客对该景区服务质量评分的中位数落在_______组.
19
D
(3)若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90 作为A，B，C，D，E 这五组评分的平均数，估计该景区5 月份的服务质量是否良好，并说明理由．
9. [中考·深圳]某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”“科技畅想”“科技生活”“科技前沿”“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)本次投票共_____人参与，其中科技安全所占百分比为 _______，并补全条形统计图；
50
20%
解：补全条形统计图如图：
(2)为确定班会科技主题，从该班选择7 名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下：
科技畅想 10 9 9 3 6 9 10
科技故事 9 10 7 8 6 8 8
平均数 中位数 众数
科技畅想 a b 9
科技故事 8 8 c
填空： a＝______，b＝______，c＝______；
8
9
8
(3)结合上述信息，应该选择哪个科技主题，并说明理由．
解：应该选择“科技畅想”．理由如下：
“科技畅想”与“科技故事”得票数相同，均高于其他三个科技主题，且“科技畅想”与“科技故事”分数的平均数相同，但是“科技畅想”分数的中位数和众数都高于“科技故事”，所以应该选择“科技畅想”．(理由不唯一，合理即可)

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