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24.2 数据的离散程度
第二十四章 数据的分析
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
离差平方和与方差
用样本方差估计总体方差
知识点
离差平方和与方差
知1－讲
1
1. 离差
一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用 x表示它们的平均数，我们把xi－ x (i＝1，2，…，n)叫作xi关于平均数 x的离差或偏差.
知1－讲
2. 离差平方和与方差
我们把(x1－ x)2＋(x2－ x)2＋… ＋(xn－ x)2叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”. 把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“s2”. 因此s2＝.
知1－讲
3. 方差的意义
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差越大，数据的离散程度越大，即越分 散；方差越小，数据的离散程度越小，即越稳定.
知1－讲
4. 用计算器求方差的步骤
通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差s2＝ 的值.
知1－讲
特别解读
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.
知1－讲
特别提醒
一组数据中的任何一个数据的变化都可能影响方差的大小，因此计算一组数据的方差时，确保不要遗漏和重复任何一个数据.
知1－练
例 1
数据1，－3，4，－2，2 的方差为s2＝_______.
6.64
解题秘方：s2＝[(x1－ x)2＋(x2－ x)2＋… ＋(xn－ x)2]＝[x12＋x22＋…＋xn2－2 x(x1＋x2＋…＋xn)＋n x2]＝
(x12＋x22＋…＋xn2－2 x·n x＋n x2)＝(x12＋x22＋… ＋xn2－n x2).
知1－练
解：方法一 ∵ x＝＝0.4，
∴ s2＝×[(1－0.4)2＋(－3－0.4)2＋(4－0.4)2 ＋(－2－0.4)2＋(2－0.4)2]＝6.64.
方法二 ∵ x＝＝0.4，
∴ s2＝×[12＋(－3)2＋42＋(－2)2＋22－5×0.42]＝6.64.
知1－练
1－1.[中考·滨州]某年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10 株小麦，测得其麦穗长(单位：cm)分别为8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，那么这一组数据的方差为(　　)
A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.2
D
知1－练
某射击队为从甲、乙两名运动员中推荐一人参加全国比赛，对他们进行了八次测试，测试成绩(单位：环)如下表：
例 2
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次
甲 10 8 9 8 10 9 10 8
乙 10 7 10 10 9 8 8 10
知1－练
解题秘方：当两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时，常通过比较两组数据的方差来说明数据的稳定性.
知1－练
(1)根据表中的数据，计算出甲的平均成绩是_____环，乙的平均成绩是_____环.
9
9
解：甲的平均成绩为＝9(环)，乙的平均成绩为＝9(环)
知1－练
(2)分别计算甲、乙两名运动员八次测试成绩的方差.
解：s2甲＝×＝0.75，
s2乙＝×＝1.25.
知1－练
(3)你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由.
解：推荐甲参加全国比赛更合适 . 理由如下：甲、乙的平均成绩相等，说明其实力相当，但甲八次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥比较稳定，故推荐甲参加全国比赛更合适.
知1－练
2－1.每一年的中考体育测试有一个项目是垫球垫球，九年级学生赵明和何亮为了训练垫球，他们各进行了五次排球垫球训练，下面是他们每次训练的垫球个数：
赵明：25 23 27 29 21
何亮：24 25 23 26 27
知1－练
(1)求出两名同学在训练中排球垫球个数的平均数；
知1－练
(2)这两名同学谁的成绩更稳定？为什么？
知2－讲
知识点
用样本方差估计总体方差
2
1. 根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；
根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差.
正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.
知2－讲
2. 用样本方差估计总体方差的必要性
在考察总体方差时，有时所要考察的总体包含很多个体或者考察本身带有破坏性，因此常用样本方差来估计总体方差.
知2－讲
特别提醒
方差只能反映样本的稳定性，而不能反映样本的一般水平.因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差,再作出判断.
知2－练
有甲、乙两种棉苗，为了考察它们在某地区种植的适宜程度，分别从中抽出10株棉苗，测得苗高(单 位：cm)如下：甲种棉苗：13，11，11，9，14， 13，12，15，12，10；乙种棉苗：11，12，8，13，15，10，16，11，10，14.
若从甲、乙两种棉苗的长势整齐程度来看,哪种棉苗更适宜在该地区种植？
例 3
知2－练
解题秘方：本题考察的是棉苗的长势整齐程度，则可用方差来刻画. 所以首先计算出甲、乙两种棉苗苗高的平均数，然后利用方差公式求出二者的方差，最后比较大小即可.
知2－练
解： x甲＝＝12，
x乙＝＝12.
s甲2＝＝3，
s乙2＝＝5.6.
因为 x甲＝ x乙，s甲2知2－练
3－1.某生物学习小组为了研究一种药物对A，B 两种植物的促进生长作用，将两种植物各随机抽取5 株进行研究，在喷洒药物之前对所抽取的植物苗高(单位：cm)进行了测量，汇总情况如下：
A种植物的苗高：23，25，23，24，25；
B种植物的苗高：20，22，34，21，23.
知2－练
(1)分别求出抽取的两种植物苗高的平均数和方差.
知2－练
知2－练
(2)你认为该药物对哪种植物的生长作用效果更稳定？ 请你结合(1)中所求的统计量说明理由.
解：对A种植物的生长作用效果更稳定．
理由：因为 xA＝ xB，sA2数据的离散程度
定义
公式
方差
数据的波动程度
性质
作用
题型
利用“数据之间的关系”求方差
1
若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是 x＝9，方差是s2＝6，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2 的平均数是______，方差是_______.
解题秘方：紧扣平均数和方差的计算公式分析数据之间的关系是解决问题的关键.
25
54
例 4
解：3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2的平均数为
＝＝3 x－2＝3×9－2＝25；
3x1－2，3x2－2 ，3x3－2，…，3xn－2的方差为[(3x1－2－3 x＋2)2＋(3x2－2－3 x＋2)2＋(3x3－2－3 x＋2)2＋…＋(3xn－2－3 x＋2)2] ＝×9×[(x1－ x)2＋(x2－ x)2＋(x3－ x)2＋… ＋(xn－ x)2]＝9s2＝9×6＝54.
规律总结
两组相关数据的平均数、方差的关系
数据 平均数 方差
x1，x2，x3，x4，…，xn x s2
x1＋a，x2＋a，…，xn＋a x＋a s2
kx1，kx2，kx3，kx4，…，kxn k x k2s2
kx1＋a，kx2＋a，…，kxn＋a k x＋a k2s2
题型
分析数据作决策
2
[模拟·南阳]随着春节成功列入世界非物质文化遗产名录，全球范围内对春节文化的关注度日益提升，某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，举行春节文化知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩各选出5 名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，
例 5
根据这10 人的决赛成绩，制作了统计图(如图24.2－1)和数据分析表.
平 均 数 中 位 数 众 数 方
差
七年级 a 85 85 c
八年级 85 b 100 160
解题秘方：计算出平均数、中位数、方差后，根据它们的特点作决策.
根据以上信息，解答下面各题:
(1)a＝______，b＝______，c＝______.
85
80
70
详解 a＝＝85；由图可知，b＝80；c＝ ×[(75－85)2 ＋(80－85)2＋(85－85)2 ＋(85－85)2＋(100－85)2 ]＝70.
(2)分析以上数据，你认为该校七、八年级代表队中哪个年级学生掌握春节文化知识较好？请说明理由(写出一条即可)
解：七年级学生掌握春节文化知识较好. 理由如下：因为七年级和八年级的平均数相同，但七年级的中位数大于八年级的中位数，所以七年级学生掌握春节文化知识较好. (答案不唯一)
题型
分析数据作评价并提出建议
3
为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10 次实验得分，并对他们的得分情况整理如下：
①操作规范性
(如图24.2－2)：
例 6
②书写准确性：小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表
同学 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 s21 1.8 a
小海 4 s22 b 2
解题秘方：根据平均数、中位数、方差的意义分析，特别注意折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小.
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的a＝______，比较s21和s22的大小：________；
解：小青书写准确性得分由小到大排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，所以a＝＝2；
观察折线图，知s21＞s22.
2
s21＞s22
(2)计算表格中b的值；
解：b＝＝2.
(3)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由.
解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差，所以小海在物理实验操作中发挥稳定；从书写准确性来分析，小青和小海得分的中位数相同，但小海的平均分比小青的平均分高，所以小海在物理实验中书写更准确.
(4)为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
解：(答案不唯一)熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对.
解法提醒
1. 利用折线图比较方差的大小，从“波动程度”来判断，波动小的方差就小.
2. 由平均数和方差作决策，在平均数相差无几的情况下，一般是方差小的被选中.
甲、乙两班各有8名学生参加数学竞赛，成绩(单位：分)如下表：
易错点
分析数据时对方差的意义理解不透彻而出错
甲班 65 74 70 80 65 66 69 71
乙班 60 75 78 61 80 62 65 79
若75分及以上为优秀，请比较两个班学生成绩的优劣.
例 7
错解：通过计算可得s2甲＝23 ，s2乙＝67.5，
所以s2甲即甲班成绩比乙班成绩好.
正解：先计算两个班学生成绩的平均数和方差：
x甲＝×(65＋74＋… ＋71)＝70(分)，
s2甲＝×[(65－70)2＋(74－70)2＋… ＋(71－70)2]＝23；
x乙＝×(60＋75＋… ＋79)＝70(分)，
s2乙＝×[(60－70)2＋(75－70)2＋… ＋(79－70)2]＝67.5.
针对此题而言，两个班学生成绩的平均数相同，由s2甲< s2乙，得甲班的成绩比乙班的成绩波动程度小.
优秀率：75 分及以上的甲班有1 人，优秀率为12.5%，乙班有4 人，优秀率为50 %.
综上，乙班学生的成绩优于甲班学生的成绩.
诊误区：
把方差大小作为评判成绩好坏的唯一标准，这是对方差概念的误解，方差只是反映一组数据的波动情况，至于方差大好还是方差小好，则要看这组数据所反映的实际问题.就此题而言，方差不应作为评判成绩优劣的唯一标准.从优秀率这个角度来评判两班成绩的优劣才是客观的、准确的，所以并不能说方差小了就好，而是要具体问题具体分析，主要是看从什么角度去比较.
[中考·烟台]求一组数据方差的算式为：s2＝×[(6－
x)2＋(8－ x)2＋(8－ x)2＋(6－ x)2＋(7－ x)2].由算式提供的信息，下列说法错误的是( )
A. n的值是5 B. 该组数据的平均数是7
C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
考法
对方差公式的理解
1
例 8
试题评析：本题考查方差公式，由计算方差的算式得到这组数据，即可求出平均数、众数、方差.
解：A.算式中平方差项数为5，对应数据个数n＝5，正确；B. 平均数 x＝＝7，正确；C. 数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6 和8，错误；D. 加入两个7 后，方差由减小为，正确.
答案：C
[中考·泸州]某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1 分钟跳绳测试，每人10 次跳绳成绩的平均数及方差如下表：
考法
利用平均数和方差作决策
2
例 9
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
试题评析：本题考查利用平均数和方差作决策，根据平均数比较成绩的优劣，根据方差比较成绩的稳定程度．
解：从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高；从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定.
答案：B
1. [中考·广元]在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是(　　)
A．中位数是95 B．方差是3
C．众数是95 D．平均数是94
B
2. [中考·山西]下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是( )
A. 日最高气温的波动大
B. 日最低气温的波动大
C. 一样大
D. 无法比较
A
日期 气温 2月 2日 2月 3日 2月 4日 2月 5日 2月
6日
最高/℃ 12 6 10 9 8
最低/℃ 1 －2 －1 0 2
3. [中考·上海]科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，从甲、乙、丙、丁中选一种开花时间最短的并且最平稳的是(　　)
B
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A. 甲种类 B. 乙种类
C. 丙种类 D. 丁种类
4. 在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分(单位: 分)分别为：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为_______.
2.5
5. 若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则数据x1＋ 3，x2＋3，x3＋3，…，xn＋3的方差是_____.
2
6. [中考·常州]小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9 次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位：m)，此时这组成绩的平均数是20 m，方差是s21. 若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷
结束后这组成绩的方差是s22，
则s21______s22(填“>”“＝”或“<”).
>
7. 某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试. 已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 36.6
根据以上信息，解答下列各题：
(1)填空：a＝______，b＝______.
(2)学校规定测试成绩不低于85 分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.
85
87
(3)你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好(请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可)？
解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好．理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方 差，所以八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好．(答案不唯一)
8. [中考·福建] 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位：分)：
其中，甲、乙成绩的平均数分别是 x甲＝85， x乙＝85；方差分别是s甲2＝58.4，s乙2＝a．
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位：分)：
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解答以下各题：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
获奖分数线 90 89 90 89 90
(1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价.
(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从甲、乙两人中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适.
(3)若要从甲、乙两人中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？
解：选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩 中，甲整体呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适．

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