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章末核心要点分类整合
第二十二章 函数
1.常量和变量：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.
2.函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.
3.函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
4.函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法.
专题
常量和变量
1
链接中考>>在一个变化过程中，始终不变的量是常量，变化的量是变量. 常量与变量的考查一般常在章测试中单独出现，在中考中很少单独出现.
例 1
[期中·沧州河间市]水中涟漪(圆)不断扩大，记它的半径为R，周长为C，下列关于等式C＝2πR的说法正确的是( )
A. C，π，R是变量，2 是常量
B. C是变量，2，π，R是常量
C. C，R是变量，2，π 是常量
D. R 是变量，π，C是常量
解题秘方：辨析变化的量和不变的量进行判断.
解：随着半径R变化，周长C也随之变化，而2，π 不变，所以R，C是变量，2，π 是常量.
答案：C
专题
函数的概念
2
链接中考>>理解函数概念一定要注意以下三个要素：(1)在一个变化过程中；(2)变量之间的对应关系；(3)当自变量取定一个数值时，对应的函数值是唯一确定的.
[期中·北京西城区]下列图象(如图22－1)中，表示y是x的函数的是( )
例 2
解题秘方：对于一个自变量x，只有唯一一个因变量y值与之相对应，则y是x的函数，据此逐项分析判断即可解答.
解：A. 存在自变量x取一个值的时候，有多个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故A选项不符合题意；
B. 存在自变量x取一个值的时候，有两个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故B选项不符合题意；
答案：D
C. 存在自变量x取一个值的时候，有两个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故C选项不符合题意；
D. 对于每一个自变量x的值，都只有一个y值与自变量x相对应，故y是x的函数，故D选项符合题意.
专题
函数自变量的取值范围
3
链接中考>>求函数自变量的取值范围表面上是考查函数知识，其实是考查自变量出现的形式——整式、分式等知识. 一般以选择题的形式呈现. 注意当几种形式组合时，要综合考虑几个方面.
[模拟·东莞]函数y＝＋的自变量x的取值范围是( )
A. x≤3 B. x ≠ 2
C. x ≤3 且x ≠ 2 D. x<3
例 3
解题秘方：紧扣函数关系式中式子的结构特征，利用各部分式子有意义的条件确定自变量x的取值范围.
解：先分别求出使与有意义的条件，再求公共部分，即要使函数有意义，必须满足解得x ≤ 3 且x ≠ 2.
答案：C
专题
函数的图象
4
链接中考>>理解函数图象的意义是解决函数问题的根本，利用函数图象解决几何图形中的动点问题或者解决生活中的实际问题时，都离不开对关键点的意义的理解，中考中常考查从函数图象中获取信息，常见的考查形式是选择题.
[中考·成都]小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明 家、书店、体育馆依次在同一直线上)，如图22－2表示的是小明离家的距离(单位：km)与时间(单位：min)的关系.
例 4
下列说法正确的是( )
A. 小明家到体育馆的距离为2 km
B. 小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C. 小明家到书店的距离为1 km
D. 小明从书店到家步行的时间为40 min
解题秘方：本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中获取有效的信息，逐一进行判断即可．
解：由图象，可知小明家到体育馆的距离为2.5 km，故A 错误；小明在体育馆锻炼的时间为45－15＝30(min)，故B 错误；小明家到书店的距离为1 km，故C 正确；小明从书店到家步行的时间为100－80＝20(min)，故D 错误.
答案：C
专题
函数的应用
5
链接中考>>把实际问题中的有关数量通过建立函数模型用解析式、图象、数值表表示出来，再利用它们去分析、解决实际问题.
一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40 L，开始工作后，每小时耗油6 L.
例 5
解题秘方：紧扣问题情境中的等量关系“剩余油量＝原有油量－ 消耗的油量”列出函数解析式，利用函数解析式解决实际问题.
(1)写出油箱中的剩余油量W(单位：L)与工作时间t(单位：h)之间的关系式；
解：根据“剩余油量＝原有油量－ 消耗的油量”，得 W＝40－6t(0 ≤ t ≤ ).
(2)这台拖拉机工作4 h后，油箱中剩余的油量是多少？
解：当t＝4 时，W＝40－6×4＝40－24＝16.
因此，这台拖拉机工作4 h 后，油箱中剩余的油量是16 L.
(3)当油箱内剩余的油量为10 L时，这台拖拉机已工作了几小时？
解：当W＝10 时，10＝40－6t，解得t＝5.
因此，这台拖拉机已工作了5 h.
专题
数形结合思想
6
专题解读>>数形结合思想，就是在研究问题的过程 中，由数思形、见形思数、数形结合，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化的一种思想方法. 本章中从函数图象获取信息，通过计算解决问题是数形结合思想的完美体现.
[期末·宁波慈溪市]甲、乙两人沿同一跑道匀速从A地跑到B地，乙比甲先出发2 min，甲的速度为每分钟150 m，若两人之间的路程y(单位：m)与甲出发的时间x(单位：min)的关系如图22－3
所示，则A，B两地的路程为( )
A.1 800 m B.2 000 m
C.2 400 m D.2 500 m
例 6
解题秘方：先求出乙的速度，再求出当甲出发4 min 时追上乙，设甲出发m min 后，到达B地，根据此时两者距离为600 m，列出方程，解方程求出m，即可得到A，B两地的路程.
解：由题意，可得乙的速度为200÷2＝100(m/min)，
由图象，可知当甲出发的时间为a min 时，追上乙，则150a－100a＝200，解得a＝4.
因此，当甲出发4 min 时追上乙.
设甲出发m min 后，到达B地，则(150－100)×(m－4)＝ 600，解得m＝16. 则A，B两地的路程为150×16＝2 400(m).
答案：C
题型1 函数图象的判断
1. 学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动. 师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校.
类型
函数图象问题
1
设师生队伍离学校的距离为y 米，离校的时间为x 分钟，则下列图象能大致反映y 与x 关系的是(　　)
A
题型2 从函数图象获取信息
2. [中考·河南] 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化. 研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与
车速v(单位：km/h)间的函数关系
如图.
下列说法错误的是( )
A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B. 当0 ≤ v ≤ 60 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D. 若车速从25 km/h 增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
C
题型3 函数图象与几何动点问题
3. [中考·浙江] 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方. 如图①，点P是一个固定观测点，动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向
目的地B处运动. 设AQ为x(单位：km)
(0 ≤ x ≤ n)PQ2为y(单位：km2)．
如图②，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点. 下列选项正确的是( )
A. m＝12
B. n＝24
C. 点C 的纵坐标为240
D. 点(15，85)在该函数图象上
D
4. 2025 年4 月16日上午，教育部举行新闻发布会，发布和解读《关于加快推进教育数字化的意见》，该意见提出要将人工智能技术融入教育教学的全要素过程，某市为了积极响应国家政策，计划为该市各初级中学购买某种数字化教学设备，经过询问得知，这种数字化教学设备的原价为0.5万元/套，若一次性购买数量不超过100套，按原价付款；
类型
函数的应用
2
若一次性购买数量超过100 套，则不超过100套的部分仍按原价付款，超过100套的部分按原价的八折付款，设该市计划购买这种数字化教学设备x(x>100)套，购买所需的总费用为y万元.
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
解：根据题意，可得y＝0.5×100＋0.5×0.8(x－100)＝0.4x＋10，即y与x之间的函数关系式为y＝0.4x＋10.
(2)若该市对本次购买这种数字化教学设备的总预算不超过150万元，请你计算最多可购买这种数字化教学设备多少套？
解：根据题意，得y≤150，即0.4x＋10≤150，
解得x≤350.
因此，最多可购买这种数字化教学设备350套．
5. [模拟·潍坊安丘市]某地举行龙舟比赛，赛程为900 米，甲、乙两队比赛时，路程y(单位：米)与时间x(单位：分钟)的函数关系如图所示.
(1)最先到达终点的是______队，
比另一队领先_______分钟到达；
乙
1
(2)求出图中点C的坐标，并解释它的实际意义；
解：由题中函数图象，得甲的速度为900÷6＝150(米/分钟)，
乙队在第2分钟后第一次加速，其速度为(500－200)÷ (4－2)＝150(米/分钟)，
乙队在第4分钟后第二次加速，其速度为(900－500)÷ (5－4)＝400(米/分钟)．
设在x分钟时乙追上甲，
根据题意，得150x＝500＋400(x－4)，
解得x＝4.4.
150×4.4＝660.
即点C的坐标为(4.4，660)，它的实际意义为当时间为4.4分钟时，乙追上甲，此时路程为660米．
(3)假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前 进，那么甲、乙两队谁早到达终点 早几分钟？
6. 探究函数y＝的图象及性质：
(1)绘制函数图象；
①列表：请将下表补充完整；
类型
探究新函数的图象与性质
3
x … －3 －2 －1 －0.5 0 0.5 1 2 3 …
y … 1.5 2 3 4
6
4
3
2
1.5
②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象；
解：补充描出其他点如图所示．
函数图象如图所示．
(2)探究函数性质：当x＝_____时，函数y＝有最大值是______；
(3)运用函数图象及性质：根据函数图象，不等式>3 的解集是________.
0
6
－17. 小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯)．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来. 新水杯(记为2号杯)的示意图如图① 所示.
类型
函数与实践操作
4
当1号杯和2号杯中都有V mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1(单位：cm)和2号杯的水面高度h2(单位： cm)，部分数据如下：
(1)补全表格(结果保留小数点后一位)；
V/mL 0 40 100 200 300 400 500
h1/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
h2/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
1.0
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系．在给出的平面直角坐标系(如图②)中，画出这两个函数的图象；
解：如图所示．
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320 mL 水时，2号杯的水面高度与1 号杯的水面高度的差约为_______cm(结果保留小数点后一位)；
②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为______ cm(结果保留小数点后一位)．
1.2
8.6
(答案不唯一)

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