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章末核心要点分类整合
第二十三章 一次函数
1. 一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0)的函数，叫作一次函数，特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，形如y＝kx(k是常数，k ≠ 0)的函数，叫作正比例函数，其中k 叫作比例系数.
2. 一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 当k>0时，直线y＝kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即y随x 的增大而增大； 当k<0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小.
3. 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象可以由直线y＝kx平移|b| 个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移). 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.
4. 一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0)具有如下性质：
当k>0 时，y随x的增大而增大；
当k<0 时，y随x的增大而减小.
5. 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法. 由于一次函数y＝kx＋b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k和b为未知数). 解方程组后就能具体写出一次函数的解 析式.
6. 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)从“数”的角度看是二元一次方程，从“形”的角度看是直线. 一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式之间的关系都是数形结合思想的体现.
专题
一次函数的图象和性质
1
链接中考>>一次函数的图象是一条直线，它在平面直角坐标系中的位置是由函数解析式中的k 和b 决定的. 对这个知识点的考查在中考中出现的频率较高. 一般都以填空题、选择题的形式出现.
[中考·济南]若m＜－2，则一次函数y＝(m＋1)x＋1－m的图象可能是图23－1 中的(　　)
例 1
解题秘方：由m＜－2得出m＋1＜0，1－m＞0，进而利用一次函数图象在平面直角坐标系中的位置与k，b的关系解答.
解：因为m＜－2，所以m＋1＜0，1－m＞0，所以一次函数y＝(m＋1)x＋1－m的图象经过第一、二、四象限.
答案：D
一次函数y＝(3m＋1)x－2的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值：______________．
解题秘方：根据一次函数的增减性与系数的关系列不等式求解.
例 2
解：因为y＝(3m＋1)x－2的值随x的增大而增大，
所以3m＋1＞0，解得m＞－.
所以m可以为1.
1(答案不唯一)
专题
用待定系数法求一次函数的解析式
2
链接中考>>求一次函数解析式的常用方法是待定系数法，中考中常利用待定系数法求解析式并利用其解决问题.
[中考·东营]在弹性限度内，弹簧的长度y(单位：cm)是所挂物体质量x(单位：kg)的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5 cm，当所挂物体的质量为2 kg时，弹簧长13.5 cm. 当所挂物体的质量为5 kg时，弹簧的长度为_______cm.
例 3
15
解题秘方：设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k ≠ 0)，由待定系数法求出解析式，并把x＝5代入解析式求出对应的值 即可.
解：设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0).
由题意得解得故y＝0.5x＋12.5.
当x＝5 时，y＝0.5×5＋12.5＝15.
因此，当所挂物体的质量为5 kg 时，弹簧的长度为15 cm.
专题
一次函数与方程(组)或不等式之间的关系
3
链接中考>>一次函数与二元一次方程(组)或一元一次不等式之间的关系关键体现的是几个交点：(1)函数图象与两坐标轴的交点；(2)两个函数图象的交点.函数图象与方程(组)或不等式之间的关系就是数形结合的体现. 中考考查的形式多样化，填空题、选择题和解答题都有所涉及.
[中考·宁夏]在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax＋b(a ≠ 0)与y2＝mx＋n(m ≠ 0)的图象如图23－2所示，则下列结论错误的是(　　)
A．y1随x的增大而增大
B．b＜n
C．当x＜2时，y1＞y2
D． 关于x，y的方程组的解为
例 4
解题秘方：求解此类问题时，一要明确一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的关系，二要掌握数形结合思想．
解：A. 由函数图象可知，直线y1＝ax＋b从左至右呈上升趋势，所以y1的值随着x 值的增大而增大，故选项A结论正确，不符合题意；
B. 由两函数图象可知，直线y2与y轴的交点在直线y1与y轴的交点的上方，所以n>b，故选项B结论正确，不符合题意；
C. 由图象可知，当x<2时，y1D. 由图象可知，的解为故选项D结论正确，不符合题意.
答案：C
专题
一次函数的实际应用
4
链接中考>>一次函数的应用主要有两种形式：一是根据实际问题建立函数模型；二是利用函数的性质确定最佳方案. 这两种形式的纽带是函数自变量的取值范围. 它是中考的热门考点，一般都以解答题的形式出现.
[中考·南通]某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣.相关信息如下：
信息一 信息二
例 5
A型机器 人台数 B型机器 人台数 合计金
额/万元
1 3 260
3 2 360
(1)求A，B两种型号智能机器人的单价.
解题秘方：列二元一次方程组求解；
解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元.
由题意得解得
答：A型智能机器人的单价为80 万元，B型智能机器人的单价为60 万元.
(2)现该企业准备用不超过700 万元购买A，B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
解题秘方：设购买A型机器人a台. 先列不等式求出a的取值范围，再求每天分拣的件数关于a的函数解析式，利用增减性得出最佳方案.
解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人 (10－a)台.
根据题意，得80a＋60(10－a)≤ 700，解得a ≤ 5.
设每天分拣的件数为b，则b＝22a＋18(10－a)＝4a＋180，可知b随a的增大而增大. 故当a＝5 时，b取得最大值.
因此，选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多．
专题
分类讨论思想
5
专题解读 >>一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的性质由k的正负决定，若条件中无法确定k 的正负，而又要运用其性质解决方案优化问题，则必须对k 的正负进行分类讨论，使所有问题做到不遗漏.
定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫作这个函数图象的“近轴点”.若一次函数y＝mx－3m的图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为________________.
例 6
0解题秘方：本题考查了新定义，一次函数的图象和性质，正确理解“近轴点”的意义, 熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键，依据题意，分两种情况：m>0或m<0，分别画图计算边界点可解答.
解：因为y＝mx－3m＝m(x－3)，所以一次函数y＝mx－3m的图象过点(3，0).
由题意知m≠ 0，所以分两种情况：
①当m＞0 时，如图23－3 ①，
当x＝1 时，y＝m－3m＝－2m，
因为一次函数y＝mx－3m图象上存在“近轴点”，所以
－1≤－2m<0，得0②当m＜0时，如图23－3 ②，由①知直线过点(1，－2m)，
因为—次函数y＝mx－3m图象上存在“近轴点”，所以0<－2m≤ 1，所以－≤m<0.
综上，m的取值范围为0专题
数形结合思想
6
专题解读 >>利用一次函数的图象和性质解决实际问题体现了数形结合思想，分析图象获取信息，运用一次函数的相关知识和得到的信息解决问题.
领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a m/s的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6 s 时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96 m 时，进行了时长为t s的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．
例 7
甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机飞行的时间x(单位：s)之间的函数关系如图23－4所示．请结合图象解答下列问题：
(1)a＝______，t＝______.
8
20
解题秘方：根据图象计算即可求解;
(2)求线段MN所在直线的函数解析式.
解题秘方：先求得甲无人机单独表演所用时间为19－96÷8＝7(s)，得到M(13，48)，利用待定系数法即可 求解；
解：由图23－4 知，N(19，96).
因为甲无人机的速度为8 m/s，
所以甲无人机单独表演所用的时间
为19－96÷8＝7(s).所以易知M(13，48).
设线段MN所在直线的函数解析式为y＝kx＋b，将M(13，48)，N(19，96)的坐标代入，
得解得
所以线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x－56.
(3)当两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12 m ？
解题秘方：设(0，20)为点A，(6，48)为点B. 利用待定系数法分别求得线段OB、线段AN、线段BM所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解
解：如图23－4，易知线段OB所在直
线的函数解析式为y＝8x，线段AN所
在直线的函数解析式为y＝4x＋20，
线段BM所在直线的函数解析式为y＝48.
当0≤x≤6时，由题意得|4x＋20－8x|＝12，
解得x＝2 或x＝8(舍去)；
当6当13解得x＝16.
综上，当两架无人机表演训练到2 s 或10 s或16 s 时，它们距离地面的高度差为12 m.
1. [中考·陕西] 在平面直角坐标系中，过点(1，0)，(0，2)的直线向上平移3 个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是( )
A. (1，－3) B. (1，3)
C. (－3，2) D. (3，2)
类型
巧用一次函数图象的平移解决问题
1
B
2. [中考·河北] 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部(不含边界)有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点的坐标为( )
A. (，) B. (，)
C. (，2) D. (，)
A
3. [中考·安徽] 已知一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是( )
A. (－2，2) B. (2，1)
C. (－1，3) D. (3，4)
类型
巧用代入验证法解一次函数的图象问题
2
D
4. 如图，直线l1：y＝3x＋1与y轴交于点A，与直线l2：y＝mx＋n 交于点P(－2，a)，直线l2交x 轴于点B．
类型
巧用一次函数的图象解与方程、不等式有关问题
3
(1)关于x，y 的方程组的解为________；
(2)关于x 的不等式3x＋1－mx－n ≤ 0 的解集为______；
(3)若关于x的不等式组的解集是x>3，求直线l2 的解析式．
x≤－2
5. 如图，O为原点，四边形ABCD为平行四边形，C为x轴上一点，点E 为对角线AC与BD的交点，且在y轴上. 另外，BD 与x轴平行，直线AC的解析式为
y＝ax＋3(a 为常数)，直线DC的解析式
为y＝－2x＋8.
类型
巧用一次函数的图象求解面积问题
4
(1)求a 的值；
(2)求 ABCD的面积是△EOC面积的多少倍.
题型1 跨学科问题
6. [中考·陕西] 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y(单位：L)与气体温度x(单位：℃)成一次函数关系. 某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
类型
巧用一次函数解决实际问题
5
气体温度x/℃ … 25 30 35 …
气体体积y/L … 596 606 616 …
(1)求y与x的函数解析式；
(2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700 L 时停止加热．求停止加热时的气体温度．
解：令y＝700，则2x＋546＝700，解得x＝77.
因此停止加热时的气体温度为77 ℃.
题型2 方案设计题
7. [中考·眉山] 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A，B 两种食品，每份食品的质量为50 g，其核心营养素如下：
食品类别 能量/Kcal 蛋白质/g 脂肪/g 碳水化合物/g
A 240 12 7.5 29.8
B 280 13 9 27.6
(1)若要从这两种食品中摄入1 280 Kcal能量和62 g蛋白质，应选用A，B 两种食品各多少份？
(2)若每份午餐选用这两种食品共300 g，从A，B 两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g，且能量最低，应选用A，B 两种食品各多少份？
题型3 图象信息题
8. [中考·天津]已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6 km，公园离家1.8 km. 小华从家出 发，先匀速步行了6 min到书店，在书店停留了12 min，之后匀速步行了12 min 到公园，在公园停留25 min 后，再用15 min 匀速跑步返回家.
下面图中，x表示时间，y表示离家的距离. 图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
②小华从公园返回家的速度为______km/min；
小华离开家的时间 /min 1 6 18 50
小华离家的距离/km 0.6
0.1
0.6
1.8
0.12
③当0 ≤ x ≤ 30 时，请直接写出小华离家的距离y 关于时间x 的函数解析式；
(2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以 0.05 km/min 的速度散步直接到公园. 在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的妈妈离家的距离为y2，当y1解：12

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