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章末核心要点分类整合
第二十一章 四边形
1. n边形的内角和等于(n－2)×180°，多边形的外角和等于360°.
2. 特殊四边形的性质定理和判定定理都是互逆定理，它们是分别从边的关系、角的关系、对角线的关系等角度考虑的； 在判定时还要考虑是建立在什么四边形的基础上的. 各种特殊四边形的性质如下表：
特殊四边形 边 角 对角线
平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分
续表
特殊四边形 边 角 对角线
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等
菱形 对边平行，四条边相等 对角相等，邻角互补 对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
正方形 对边平行，四条边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
3. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
4. 直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
专题
多边形的内角和与外角和
1
链接中考 >>多边形的内角和与外角和是中考常考内容，近几年考查的方式多以二者相结合，利用内角或外角求多边形的边数，题型以选择题、填空题为主.
例 1
[中考·扬州] 若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为________．
解题秘方：先求出这个多边形每个外角的度数，再根据多边形的外角和等于360°求解.
解：因为这个多边形的每个内角都是140°，所以这个多边形的每个外角都是40°.因为多边形的外角和为360°，所以这个多边形的边数为360°÷40°＝9.
9
专题
平行四边形的性质与判定
2
链接中考 >>平行四边形的性质与判定都涉及边和角相等，这与全等三角形的性质与判定相吻合，所以平行四边形的性质与判定通常与三角形的全等联合考查.
[中考·武汉] 如图21－1，在 ABCD中，点E，F 分别在边BC，AD 上，AF＝CE．
解题秘方：已知平行四边形，利用其性质来判定三角形全等，再由全等三角形的性质添加条件来判定平行四边形.
例 2
证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.
∵ AF＝CE，∴ AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE.
在△ABE 与△CDF 中，
∴△ABE ≌△CDF (SAS) .
(1)求证：△ABE ≌△CDF；
解：(答案不唯一)添加BE＝CE.
(2)连接EF，请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形.(不需要说明理由)
专题
三角形的中位线定理
3
链接中考 >>三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置关系，即三角形的中位线平行于三角形的第三边；二是数量关系，即三角形的中位线等于第三边的一半. 当题目中已知三角形两边的中点时，直接利用三角形的中位线定理解题.
[中考·广东]如图21－2，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝( )
A. 20°
B. 40°
C. 70°
D. 110°
例 3
解题秘方：首先得到DE，DF是△ABC的中位线，再得到DE∥AC，DF∥AB，然后根据平行线的性质求解即可．
答案：C
解：∵点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，
∴DE，DF是△ABC的中位线.
∴DE∥AC，DF∥AB. ∴∠EDF＝∠DEB＝∠A＝70°.
专题
矩形的性质与判定
4
链接中考 >>矩形是特殊的平行四边形，主要有两个特殊点：一是内角都是直角；二是对角线相等. 考查矩形的性质和判定时，也是主要抓住这两个特殊点进行考查.
[中考·贵州]如图21－3，四边形ABCD 的对角线AC 与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条 件：①AB∥CD，②AD＝BC．
例 4
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
解题秘方：先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明四边形ABCD 是平行四边形，再根据矩形的定义得到结论即可；
证明：选择① .
∵ AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形.
选择② .
∵ AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形.
(任选其一即可)
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积．
解题秘方：利用勾股定理得到BC的长，然后利用矩形的面积公式计算即可.
解：在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4. ∵四边形ABCD是矩形，
∴ 四边形ABCD的面积＝AB·BC＝3×4＝12 ．
专题
直角三角形斜边上的中线的性质
5
链接中考 >>直角三角形斜边上的中线的性质是直角三角形的一个重要性质，是常考的知识点，它为证明线段相等、角相等、线段的倍分关系等问题提供了很好的思路和理论依据.
[中考·陕西] 如图21－4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有( )
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
例 5
解题秘方：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD＝AD＝BD，然后利用等边对等角求出相关角的度数，最后根据余角的定义判断.
答案：C
解题秘方：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD＝AD＝BD，然后利用等边对等角求出相关角的度数，最后根据余角的定义判断.
专题
菱形的性质与判定
6
链接中考 >>菱形是特殊的平行四边形，主要有两个特殊：一是四条边相等；二是对角线互相垂直. 考查菱形的性质和判定时，也是主要从这两个方面考查.
[中考· 贵州] 如图21－5，在 ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E． 延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G．
例 6
证明：∵E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC.
∴BA＝BC.
∴ ABCD是菱形.
(1)求证： ABCD是菱形；
解：如图21－5.
∵EB＝EF，CE＝CF，∴∠3＝∠2＝∠1.
设∠3＝∠2＝∠1＝α，∴∠4＝∠1＋∠2＝2α.
∵BE⊥AC，∴∠3＋ ∠4＝90°.
∴ α＋2α＝90°，解得α＝30°.
∴∠3＝∠2＝30°，∠4＝60°.
∴BC＝2CE＝2×4＝8.
(2)若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积．
∵BC＝BA，∠ 4＝60°，∴△ABC为等边三角形. ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，CD＝BC＝8. ∴∠FCG＝∠ABC，∠ECG＝∠BAC.
∴∠FCG＝∠ECG. ∵CF＝CE＝4，∴CG⊥EF.
∵∠ 2＝30°，∴CG＝CF＝CE＝2. ∴FG＝＝2. ∴ S△DCF＝CD×FG＝×8×2＝8．
专题
正方形的性质
7
链接中考 >>正方形的性质在计算中经常用到，中考中经常与平行四边形、矩形、菱形综合，有时还需要作辅助线，利用平行线、勾股定理等知识解题.
如图21－6，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F. 若AB＝1，∠EBC＝30 °，则△ABF的面积为_______.
例 7
解：如图21－6，过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足分别为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝AB＝1，∠ABC＝90°.
∴∠ABC＝∠FMC.
∴AB∥FM. ∴易知FN＝BM.
∵ S△ABF＝AB·FN，S△ABM ＝AB·BM , ∴ S△ABF＝S△ABM .
∵CF⊥BE，∠EBC＝30°，∴∠BFC＝90°,CF＝BC＝.
∴∠CFM＋∠BFM＝90°＝∠BFM＋∠EBC.
∴∠CFM＝∠EBC＝30°.
∴CM＝CF＝. ∴BM＝BC－CM＝.
∴ S△ABF＝S△ABM＝×1×＝.
专题
转化思想
8
专题解读 >>转化思想可以把不可解的问题转化为已学知识范围内可解的问题，通过转化可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单甚至模式化的问题. 转化思想在本章主要体现在求多边形的多个角的和的问题中，常通过连接两顶点或对角线转化为三角形、四边形或其他多边形来解决问题.
如图21－7，求∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠FGH＋∠H＋∠K的度数.
例 8
解题秘方：连接AG，DG，将要求和的角转化到一个五边形内.
解：如图21－7，连接AG，DG，设AK，HG
的交点为M，DE，FG的交点为N，
则∠E＋∠F＋∠ENF＝180°＝∠FGD＋
∠EDG＋∠GND，∠H＋∠K＋∠HMK＝
180°＝∠KAG＋∠HGA＋∠AMG.
∵∠ENF＝∠GND，∠HMK＝∠AMG，∴∠E＋∠F＝∠FGD＋∠EDG，∠H＋∠K＝∠KAG＋∠HGA.
∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠FGH＋∠H＋∠K
＝∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠FGD＋∠EDG＋∠FGH＋∠KAG＋∠HGA
＝(∠BAK＋∠KAG)＋∠B＋∠C＋(∠CDE＋∠EDG)＋(∠FGD＋∠FGH＋∠HGA)
＝∠BAG＋∠B＋∠C＋∠CDG＋∠DGA
＝(5－2)×180°＝540°.
专题
分类讨论思想
9
专题解读 >>有些问题的答案不止一种，尤其是题目中没有给出图形的几何题，这时需要把问题分为几种可能的情况，然后针对每一种情况给出解答，要求思考问题必须严谨、细致.
矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，E 是BC 边的三等分点，连接DE，P 是DE 的中点，OP＝3，连接CP，则PC＋PE的值为___________．
13或
例 9
解题秘方：本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，当CE>BE 时，利用三角形中位线定理易求得CE＝12，再求得矩形的边长，利用勾股定理求得DE 的长，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解; 当CE解：∵ 四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，
∴∠DCB＝90°，O是BD的中点.
又∵ E 是BC边上的点，P 是DE 的中点，
∴ BE＝2OP＝6，PC＝PE＝PD.
当CE>BE时，如图21－8 ①所示.
∵ E 是BC边的三等分点，
∴ CE＝2BE＝12 ，BC＝3BE＝18 .
∵矩形ABCD的面积是90 ，
∴ BC·CD＝90. ∴ CD＝5.
∴ DE＝＝13.
∵ PC＋PE＝PD＋PE＝DE，∴ PC＋PE＝13；
当CE∵ E 是BC 边的三等分点，
∴ CE＝BE＝3. ∴ BC＝3＋6＝9 .
∵矩形ABCD的面积是90 ，
∴ BC·CD＝90 . ∴ CD＝10 .
∴ DE＝＝ .
∵PC＋PE＝PD＋PE＝DE，∴PC＋PE＝.
综上，PC＋PE的值为13 或.
专题
构造法
10
专题解读 >>本章在运用三角形中位线定理时，往往存在中点而不存在三角形，因此需要构造三角形，为利用三角形中位线定理解题创造条件.
如图21－9，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点 M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，
则MN的长度为( )
A． B．
C．2 D．
例10
解题秘方：利用“平行线＋ 中点”模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
解：如图21－9，过点C作CG∥AD，连接DM
并延长交CG于点G，连接EG，
∴∠GCM＝ ∠A，
∵点M是AC的中点，∴CM＝AM.
又∠GMC＝ ∠DMA，∴△GMC≌△DMA(ASA).
∴CG＝AD＝4，GM＝DM.
∵CG∥AD，∠B＝90°，∴∠GCE＝180°－ ∠B＝90°.
∵CE＝3，∴GE＝＝＝5.
∵GM＝DM，点N是DE的中点，∴MN是△DEG的中位线.
∴MN＝GE＝.
答案：A
1. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4 倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引( )条对角线.
A．6 B．7 C．8 D．9
类型
多边形内角和的有关计算
1
B
2. 如图， 已知∠MON＝60 °， 正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝____° .
48
3. [期中·郑州登封市] 已知某正多边形的每一个内角的度数等于它相邻外角的3 倍.
(1)求这个正多边形的边数；
解：设这个正多边形的一个外角的度数为 x°，则与其相邻的内角等于 3x°，
则x°＋3x°＝180°，解得x＝45.360°÷45°＝8，
即这个正多边形的边数为8.
(2)若截去一个角， 求截完后所形成的新多边形的内角和.
解：截去一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．①当新多边形为九边形时，内角和为(9－2)×180°＝1 260°；②当新多边形为八边形时，内角和为(8－2)×180°＝1 080°；③当新多边形为七边形时，内角和为(7－2)×180°＝900°.
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为1 260°或1 080°或900°.
4. [中考·安徽] 在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边 AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是( )
A. 四边形EFGH的周长
B. ∠EFG的大小
C. 四边形EFGH的面积
D. 线段FH的长
类型
巧用平行四边形的性质与判定解题
2
C
5. 如图， 在 ABCD中，BC＝2AB＝8， 连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点 E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为_______．
6. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O 为对角线AC和BD的交点，且∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为________.
75°
类型
巧用特殊平行四边形的性质与判定解简单的计算题
3
7. 如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F，G，若EG＝2，EF＝6，则BE＝_______.
8. 如图，S菱形ABCD＝24，E 是AB的中点，F 是BC 上的动点. 若S△BEF＝4，则图中阴影部分的面积为_______.
10
9. [中考·滨州]如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处. 若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为________．
(10，3)
10. 如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展 开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC 交于点P．当AB′与AB，AD 中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是__________________.
82.5°或52.5°或37.5°
类型
巧用特殊平行四边形解折叠问题
4
11. 如图①，有一张平行四边形纸片ABDC，将纸片沿着对角BC线剪开，形成两个全等的三角形，已知∠A＝ 100°，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以2 cm/s的速度运动到图②中
△ DFE 的位置，
连接AF，CD.
类型
巧用特殊平行四边形解动点问题
5
(1)求证：四边形AFDC是平行四边形.
(2)若AC＝4 cm，BC＝10 cm，△DFE沿着BC的方向运动时间为 t s.
①当t为何值时， AFDC是菱形？请说明你的理由；
解：当t＝3时，四边形AFDC是菱形．理由如下：
∵t＝3，∴BF＝3×2＝6.∴CF＝BC－BF＝10－6＝4.
∵AC＝4，∠ACB＝60°，∴△ACF是等边三角形．
∴AC＝AF. 由(1)知四边形AFDC是平行四边形，∴四边形AFDC是菱形．
② AFDC 能是矩形吗？若能，求出t的值及矩形AFDC的面积；若不能，说明理由.
12.【问题情境】如图①，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM.
类型
巧用特殊平行四边形证线段和差关系
6
【探究展示】
(1)求证：AM＝AD＋MC.
证明：如图①，延长AE，BC交于点N.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.
∴∠DAE＝∠CNE. ∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE.
∴∠CNE＝∠MAE.∴AM＝MN.
易知△ADE≌△NCE.∴AD＝NC.
∴AM＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC.
(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
解：AM＝DE＋BM成立．证明如下：
如图②，过点A作AF⊥AE，交CB的延长
线于点F. ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC.∴∠ABF＝90°＝∠D.
∵AF⊥AE，∴∠FAE＝90°.∴∠FAB＝90°－∠BAE＝∠DAE.
∴△ABF≌△ADE(ASA). ∴BF＝DE，∠F＝∠AED.
∵AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE.
∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，
∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM.
∴∠F＝∠FAM.∴AM＝FM.∴AM＝FB＋BM＝DE＋BM.
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不 变，如图②，探究(1)(2)中的结论是否成立. 请分别作出判断，不需要证明.
解：结论AM＝AD＋MC仍然成立；
结论AM＝DE＋BM不成立．

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