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满分题溯源
第二十一章 四边形
重点题型 正方形中典型的几何模型
荣老师告诉你
由于正方形的边、角、对角线的性质非常特殊，所以在正方形中存在很多典型的几何模型，如“一线三垂直”模型、“十字架”模型、“半角”模型等等，利用常见模型中的结论建立常见模型解决问题是解决与正方形有关探究问题的关键.
类型
勾股弦图变形图
1
1. 一线三垂直模型
(1)一线三垂直——“L”字模型(如图1)
(2)一线三垂直——“K”字模型(如图2)
例 1
如图3，在正方形ABCD中，点E是边AB 上的一动点 (不与点A，B 重合) . 连接DE，点A
关于直线DE的对称点为F，连接EF
并延长交BC于点G，连接DG，过
点E作EH⊥DE交DG的延长线于点
H，连接BH.
(1)求证： GF＝GC；
证明：如图3，连接DF.
∵四边形ABCD 为正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°.
∵点A 关于直线DE 的对称点为F，
∴易知△ADE ≌△FDE.
∴ DA＝DF，∠DFE＝∠A＝90°.
∴ DF＝DC，∠DFG＝90°.
在Rt△DFG 和Rt△DCG 中，
∴ Rt△DFG ≌ Rt△DCG(HL).
∴ GF＝GC.
(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明.
解：BH＝AE.
证明：如图3，在线段AD 上截取AM，
使AM＝AE，连接EM.
由(1)易得∠1 ＝∠2，∠3＝∠4.
∵ 在正方形ABCD 中，AD＝AB，∠ADC＝90°，
∴ AD－AM＝AB－AE，即DM＝BE，
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°.
∴ 2∠2＋2∠3＝90°. ∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDH＝45°.
∵ EH⊥DE，
∴∠DHE＝45°＝∠EDH，∠5＋∠AED＝90°. ∴ DE＝EH.
∵∠A＝90°，∴∠1＋∠AED＝90°. ∴∠1＝∠5.
在△DME 和△EBH 中，
∴△DME ≌△EBH(SAS). ∴ ME＝BH.
在Rt△AME 中，由勾股定理得ME2＝AM2＋AE2，
∴ ME2＝2AE2.
∴ ME＝ AE.
∴ BH＝AE.
2. 十字架模型
在正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如图4 ①中的线段AF与BE，图4 ②中的线段AF 与EG，图4 ③中的线段HF 与EG )满足：若垂直，则相等.
如图5，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE，过B点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG 交CD 于点F，连接AF.
例 2
(1)求证： BE＝CF.
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴ AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵ BG⊥AE，∴∠BGE＝90°.
∴∠EBG＋ ∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠EBG.
∴△ABE ≌△BCF(ASA).∴ BE＝CF.
(2)若正方形ABCD 的边长是5，BE＝2，求AF 的长.
解：∵正方形ABCD 的边长是5，∴ AD＝CD＝5.
∵ BE＝2，∴ CF＝2.
∴ DF＝CD－CF＝5－2＝3.
在Rt△ADF 中，由勾股定理得AF＝＝＝.
类型
绕顶点旋转——半角模型
2
(1)如图6，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：
①EF＝BE＋DF；
②△CEF的周长是正方
形ABCD边长的2 倍；
③ FA 平分∠DFE，EA
平分∠BEF.
(2)如图7，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA 平分∠DFE，则EF＝DF－ BE.
如图8，在正方形ABCD 中，点E是AB上一点，点F 是AD 延长线上一点，且DF＝BE.
例 3
(1)求证： CE ＝CF.
证明：∵四边形ABCD 为正方形，
∴ BC＝DC，∠B＝∠CDA＝90°.
∴∠CDF＝90°＝∠B.
在△CBE 和△CDF 中，
∴△CBE ≌△CDF(SAS). ∴ CE＝CF.
(2)旋转图中哪个三角形可以得到△CBE ？怎样进行旋转？
解：△CDF.
将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°可以得到△CBE.
(3)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD 成立吗？为什么？
解：GE＝BE＋GD 成立. 理由如下：
由(1)知△CBE ≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.
∴∠DCF＋ ∠ECD＝∠BCE＋∠ECD，
即∠ECF＝∠BCD＝90°.
又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝45°＝∠GCE.
在△ECG 和△FCG 中，
∴△ECG ≌△FCG(SAS).
∴ GE＝GF.
∵ GF＝DF＋GD，BE＝DF，
∴ GE＝BE＋GD.
类型
正方形中过对角线交点的直角问题
3
如图9，在正方形ABCD 中，点O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上. 若∠EOF 为直角，射线OE，OF 分别与DA，AB 的延长线交于点G，H，
连接GH，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，
△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝
S正方形ABCD.
如图10，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点O 又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点 E，OC1交BC 于点F.
例 4
(1)求证：△AOE ≌△BOF.
证明： 在正方形ABCD和正方形A1B1C1O中，AO＝BO，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，
∴ ∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°.
∴∠AOE＝∠BOF.
在△AOE 和△BOF 中，
∴△AOE ≌△BOF(ASA).
(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
解：两个正方形重叠部分的面积等于a2. 理由如下：
∵△AOE ≌△BOF，∴ S△AOE＝S△BOF.
∴ S四边形OEBF＝S△EOB＋S△BOF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝
S正方形ABCD＝a2.

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