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21.1 四边形及多边形
第二十一章 四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
四边形及其相关概念
四边形的内角和、外角和
四边形的不稳定性
多边形及其相关概念
多边形的内角和
多边形的外角和
知识点
四边形及其相关概念
知1－讲
1
1. 四边形的定义：如图21.1－1，在平面内，
由不在同一直线上的四条线段首尾顺次
相接组成的图形叫作四边形，组成四边
形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点. 四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如：图21.1－1 中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”.
知1－讲
2. 四边形的相关概念
(1)四边形的对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 在图21.1－3 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为两个三角形.
知1－讲
(2)四边形的内角和外角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 如图21.1－4，∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA是四
边形ABCD的内角，∠1，∠2，∠3，
∠4是四边形ABCD的外角.
知1－讲
特别解读
如图21.1－2 ①，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.
知1－讲
而图21.1－2② 中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在的直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧. 今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
知1－练
例 1
四边形ABCD中，AC，BD交于点O.猜想AC＋BD与 AB＋CD的大小关系，并证明.
解题秘方：结合题意画出图形，利用三角形的三边关系比较线段和的大小.
知1－练
解：AC＋BD＞AB＋CD. 证明如下：
如图21.1－5 所示，
在△AOB中，OA＋OB＞AB，
在△COD中，OC＋OD＞CD.
所以OA＋OB＋OC＋OD＞AB＋CD，
即(OA＋OC)＋(OB＋OD)＞AB＋CD，
所以AC＋BD＞AB＋CD.
知1－练
1－1. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，全等三角形共有______对.
3
知2－讲
知识点
四边形的内角和、外角和
2
1. 四边形的内角和等于360°. 推导过程如下：
如图21.1－6，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
在△ABC中，由三角形的内角和定理，
得∠1＋∠B＋∠3＝180°.
知2－讲
同理∠2＋∠4＋∠D＝180°.
由此可得
∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D
＝ ∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D
＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D)
＝180°＋180°＝360°，
即四边形的内角和等于360°.
知2－讲
2. 四边形的外角和等于360°. 推导过程如下：
因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补 角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 因为四边形的内角和等于360°，所以四边形的外角和等于4×180°－360°＝360°.
知2－讲
特别解读
四边形内角和的推导利用了数学中的转化思想，即连接对角线将四边形转化成两个三角形，利用三角形的内角和求解.
知2－练
如图21.1－7，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝75°，则∠B的度数为( )
A. 90°
B. 95°
C. 105°
D. 115°
例 2
知2－练
解题秘方：紧扣“四边形的内角和等于360°”计算.
解：∵∠A＝∠C＝90 °，∠D＝75°，且四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠B＝360°－90°－90°－75°＝105°.
答案：C
知2－练
2－1. 如图所示，x的值为__________.
50
知3－讲
知识点
四边形的不稳定性
3
1. 四边形的不稳定性：四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性. 连接一条对角线后，四边形变成两个三角形，这时四边形的形状不再发生变化.
知3－讲
2. 四边形不稳定性的应用：在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图21.1－8中的活动挂架和伸缩 门；有时又需要克服四边形的不稳定性，
例如门框在未安装好之前，木工师傅
会先沿着对角线钉一根木条，以防门
框变形.
知3－讲
特别解读
三角形具有稳定性，因为三角形的三条边确定后，三个角也就确定了，形状不会发生变化.
知3－练
如图21.1－9，具有稳定性的是( )
解题秘方：关键是看各图形能否完全“分解”成三角形.
例 3
知3－练
答案：C
解：A 选项可以看成是由两个四边形组成的，B 选项可以看成是由两个长方形和一个三角形组成的，D 选项可以看成是由一个三角形和一个四边形组成的，都含有四边形，因此不具有稳定性；C 选项可以看成是由三个三角形组成的，因此具有稳定性.
知3－练
3－1. 下图中，不具有稳定性的是(　　)
D
知4－讲
知识点
多边形及其相关概念
4
1. 多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 多边形有几条边就叫作几边形.
知4－讲
2. 多边形的相关概念
概念 定义 图形
边 组成多边形的各条线段
顶点 每相邻两条线段的公共端点 内角 多边形相邻两边组成的角 外角 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段
知4－讲
多边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如上表中的五边形，记作“五边形ABCDE”.
知4－讲
3. 正多边形：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.例如正三角形、正方形等(如图21.1－10)
知4－讲
特别解读
多边形的三个必要条件：
1. 线段在“同一平面内”；
2. 线段“不在同一直线上”且条数不少于3；
3. 首尾顺次相接.
知4－讲
特别提醒
1. 三角形是最简单的多边形.
2. 多边形用表示它的各个顶点的字母表示时，字母必须按顺时针或逆时针的方向排列.
3. 若一个多边形的各个角都相等或各条边都相等，则它不一定是正多边形.
知4－练
下列说法中， 正确的有( )
①三角形是边数最少的多边形；
②等边三角形和长方形都是正多边形；
③n边形有n条边、n个顶点、n个内角和n个外角；
④六边形从一个顶点出发可以画3 条对角线， 所有的对角线共有9 条.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
例 4
知4－练
解题秘方：利用多边形的有关概念进行辨析.
解：①三角形是边数最少的多边形，正确；②等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，错误；③n边形有n 条边、n个顶点、n个内角和2n个外角，错误；④根据对角线的定义画出六边形的对角线可知，从一个顶点出发可以画3 条对角线，所有的对角线共有9 条，正确.
答案：B
知4－练
知识归纳：从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，n边形一共有条对角线.
知4－练
4－1.下列说法错误的是(　　)
A. 五边形有5 条边，5 个内角，5 个顶点
B. 四边形有2 条对角线
C. 正多边形的每个外角都相等
D. 六边形的六个角都相等
D
知4－练
4－2. 从一个多边形的一个顶点可引2 026 条对角线，则这个多边形的边数是(　　)
A. 2 026 B. 2 027
C. 2 028 D. 2 029
D
知5－讲
知识点
多边形的内角和
5
1. 多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°.
知5－讲
2. 多边形内角和公式的证明方法
证明方法 图形
证法1 从n边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线， 将这个n边形分成(n－2)个三角形， 这(n－2) 个三角形的内角和恰好是这个n 边形的内角和， 为(n－2)×180°
知5－讲
续表
证明方法 图形
证法2 在n边形内任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成n个三角形， 这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角，即可得到n边形的内角和为 (n－2)×180°
知5－讲
续表
证明方法 图形
证法3 在n边形的一边上任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成(n－1) 个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180°
知5－讲
续表
证明方法 图形
证法4 在n边形外任取一点O，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O的三角形有n个，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180°
知5－讲
特别解读
1. 由n边形的内角和公式(n－2)×180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍.
2. 多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°.
3. 多边形内角和问题常通过添加辅助线将其转化为三角形的内角和问题.
知5－讲
教你一招
1. 正多边形的内角和可以用每个内角的度数乘正多边形内角的个数(或正多边形的边数)来表示.
2. 因为正多边形的每个内角相等，所以正n边形的每个内角的度数为.
知5－练
如图21.1－11，正五边形ABCDE中，对角线AC与边DE平行，求∠BCA 的度数.
解题秘方：紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求出相关角的度数.
例 5
知5－练
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝∠D＝＝108°.
∵AC∥DE，∴∠ACD＋∠D＝180°.
∴∠ACD＝180°－108°＝72°.
∴∠BCA＝ ∠BCD－ ∠ACD＝108°－72°＝36°.
知5－练
5－1. 如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD．若∠1＝48 °，求∠2 的度数．
知5－练
知5－练
根据下列条件求多边形的边数：
(1)多边形的内角和是1 620°；(2)正多边形的每个内角均为135°.
思路导引：
例 6
知5－练
解：设多边形的边数为n.
(1)(n－2)×180°＝1 620°，解得n＝11.
因此多边形的边数为11.
(2)(n－2)×180°＝135°·n，解得n＝8.
因此正多边形的边数为8.
知5－练
6－1.已知两个多边形的内角总和为1 080°，且边数之比为2∶3，求这两个多边形的边数.
解：设这两个多边形的边数分别为2n，3n.
根据多边形内角和公式，得(2n－2)×180°＋(3n－2)×180°＝1 080°，解得n＝2.
所以2n＝4，3n＝6，
即这两个多边形的边数分别是4，6.
知6－讲
知识点
多边形的外角和
6
1. 多边形的外角和等于360°. 推导过程如下：
与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于n×180°－(n－2)×180°＝360°.
知6－讲
2. 多边形的外角和在正多边形中的应用
(1)正n边形的每一个外角都是；
(2)若正多边形的一个外角为α，则正多边形的边数为.
知6－讲
特别解读
1. 多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和.
2. 多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.
知6－练
根据下列条件解决问题：
(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；
(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数.
例 7
解题秘方：根据多边形的外角和等于360°计算.
知6－练
解：(1)设该多边形的边数为n. 由题易知多边形的各外角都相等，根据多边形的外角和为360°，得n×72°＝360°，解得n＝5．
因此该多边形的边数为5.
(2)多边形的外角和为360°，则360°÷30°＝12.
因此这个正多边形的边数为12.
知6－练
7－1.如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，若∠1＋∠3＋∠5＝150 °，则∠2＋∠4＋∠6＝_________.
210°
如果一个多边形的内角和是外角和的4 倍，求这个多边形的边数.
知6－练
例 8
解题秘方：已知多边形的内角和与外角和的关系时，可以利用多边形内角和公式与多边形的外角和等于360°建立方程求解.
知6－练
解：设这个多边形的边数是n.
根据题意，得(n－2)×180°＝4×360°，
解得n＝10.
因此这个多边形的边数是10.
知6－练
8－1. 若一个多边形的内角和与外角和共1 260°，则这个多边形的边数是________.
7
四边形及多边形
多
边
形
定义
正多边形
内角
内角和
对角线
外角
外角和
一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2 880°，则原多边形的边数是多少？
题型
求截角的多边形边数
1
例 9
思路导引：
解：设原多边形的边数为n，
将一个多边形截去一个角后图形有以下三种情况：
①当边数增加1 时，则有(n＋1－2)×180°＝2 880°，
解得n＝17；
②当边数不变时，则有(n－2)×180°＝2 880°，
解得n＝18；
③当边数减小1 时，则有(n－1－2)×180°＝2 880°，
解得n＝19.
综上可知，原多边形的边数是17 或18 或19.
特别提醒
一个多边形(除三角形外)截去一个角后，按不同的截法可得到边数不同的三种多边形，即边数增加1，边数不变，边数减少1.以五边形为例，如图21.1－12所示.
一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°，则这个多边形对角线的条数是( )
A. 27 B. 35 C. 44 D. 54
题型
求漏角的多边形边数
2
例10
思路导引：
答案：C
解：设这个多边形的边数为n，除去的那个内角的度数为x°，
则有(n－2)×180° ＝1 510° ＋x°，即(n－2)×180° ＝180°× 8＋(70°＋x°). 因为等式的左边是180°的整数倍，所以等式的右边也是180°的整数倍.又因为0°故这个多边形对角线的条数是＝＝44.
另解
设这个多边形的边数为n，除去的那个内角的度数为x°.
由题意得(n－2)×180°－ x°＝1 510°，
解得n＝＋2＝10＋.
∵n为正整数，0°＜x°＜180° ，∴x＝110，n＝11.
∴＝44.
题型
求不规则多边形的内角和
3
如图21.1－13，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
例11
思路导引：
解：如图21.1－13，连接CH，则易知∠6＋∠7＝ ∠8＋∠9. 故∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠8＋∠9＝(5－2)×180°＝540°.
特别解读
1. 有关“折线图”中求多个角的和的问题，可运用数学中的转化思想，通过作适当的辅助线，将其转化到同一个多边形中，利用多边形的内角和解决.
2. 非凸多边形多角和问题的求解思路是通过添加辅助线把图形转化为凸多边形，然后运用多边形内角和公式求解.
题型
与多边形内角和有关的探究性问题
4
(1)如图21.1－14①②， 试研究其中∠1，∠2与∠3，∠4 之间的数量关系；
例12
解题秘方：利用四边形的内角和，结合邻补角的和等于180°进行等式变形可得到角之间的数量关系.
解：∵∠3，∠4，∠5，∠6 是四边形的四个内角，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6).
∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6).
∴∠1＋∠2＝ ∠3＋∠4.
(2)如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角， 那么请你用文字描述上述的关系式；
解：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和.
(3)用你发现的结论解决下列问题：如图21.1－14 ③，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分 线，∠B＋∠C＝240°，求∠E 的度数.
解：∵∠B＋∠C＝240°，∴∠MDA＋∠NAD＝240°.
∵AE，DE分别是∠NAD，∠MDA的平分线，
∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD.
∴∠ADE＋∠DAE＝(∠MDA＋∠NAD)＝×240°＝120°.
∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝180°－120°＝60°.
特别提醒
以∠5，∠ 6 为桥梁，根据四边形内角和为360°以及邻补角的和等于180 °，建立∠ 1，∠ 2与∠3，∠ 4的关系是解决(1)的关键.
方法总结
1. 在解答本题(3)时，利用了(2)中的结论，为解题带来了方便，也是题目本身的要求. 实际上在解决涉及多问的题目时，若后面的问题没有增加条件，可借用前面所得到的结论进行解答.
2. 由此题可得出如下结论：四边形ABCD中，与∠B，∠C 不相邻的两个外角的平分线相交所成的角(如图21.1－14 ③ 中的∠E)等于180 °－(∠B＋∠C).
易错点
多边形的“截角”问题漏解
如图21.1－15，从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么这个新多边形的边数为多少？请画图说明.
例13
错解：分两种情况：(1)如图21.1－16 ①，新多边形为四边形；
(2)如图21.1－16 ②，新多边形为五边形.
综上所述，这个新多边形的边数为4 或5.
正解：分三种情况：(1)如图21.1－17 ①，新多边形为四边形；
(2)如图21.1－17 ②，新多边形为五边形；
(3)如图21.1－17 ③，新多边形为六边形.
综上所述，这个新多边形的边数为4 或5 或6.
诊误区：
多边形中截去一个三角形，有三种情况：
1. 过不相邻的两顶点截；
2.过一顶点和另一边上的一点(非顶点)截；
3. 过相邻两边上的两个非顶点截.
注意不要漏解.
[中考·江西]如图21.1－18，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为_______°．
考法
求多边形的内角和
1
例14
720
试题评析：本题考查多边形的内角和公式；根据n边形的内角和公式(n－2)×180°进行计算即可．
解：根据图形知，空白部分为正六边形，六边形的内角和为(6－2)×180 ° ＝720°.
[中考·遂宁] 已知一个凸多边形的内角和是外角和的4 倍，则该多边形的边数为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
考法
利用多边形内角和与外角和的关系求边数
2
例15
试题评析：本题考查多边形的内角和与外角和，根据多边形内角和与外角和的关系建立方程求解．
答案：A
解：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得(n－2)×180°＝4×360°. 解方程，得n＝10.
因此该多边形的边数为10.
[中考·眉山]如图21.1－19，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则
∠1＋∠2的度数为 ( )
A. 216° B. 180°
C. 144° D. 120°
考法
正多边形中的求角度和问题
3
例16
试题评析：本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键.
答案：C
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝∠E＝＝108°.
∴∠AMN＋∠ENM＝360°－108°×2＝144°.
∵∠AMN＝∠1，∠ENM＝∠2，∴∠1＋∠2＝144°.
1. 生活中处处有教学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘. 下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是( )
C
2. [中考·云南] 一个六边形的内角和等于( )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
3. 若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是( )
A. 7 B. 10 C. 35 D. 70
C
C
4. [中考·自贡] 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝( )
A. 140°
B. 150°
C. 160°
D. 170°
B
5. 如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB， BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100 °，则∠A＋∠B＋ ∠D＋∠E＝( )
A. 220°
B. 240°
C. 260°
D. 280°
D
6. [中考·菏泽]如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3∶2，则n＝_______.
7. 一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为________．
5
11
8. 一个机器人从O点出发，每前进1 m，就向右转体α(0°﹤ α﹤180°)，照这样走下去，机器人恰能回到O点. 若α＝15°，则机器人所走过的路程为_______；若机器人所走过的路程最短，则α 等于_______.
24 m
120°
9. 如图，一个多边形纸片的内角和为1 620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为_______.
12
10.[中考·长春]如图，将正五边形纸片ABCDE对折，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为_______°.
45
11. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝80 °，∠D＝140°，∠BCD的平分线CE交AB于点E，且EC∥AD，求出∠B的度数.
解：∵EC∥AD，∴∠D＋∠DCE＝180°.
∵∠D＝140°，∴∠DCE＝40°.
∵CE平分∠DCB，∴∠DCB＝2∠DCE＝80°.
∴在四边形ABCD中，
∠B＝360°－∠A－∠D－∠DCB＝60°.
12. 两个正多边形，它们的边数之比为1∶2，内角和之比为3∶8，求这两个多边形的边数.
解：设这两个正多边形的边数分别为k，2k，
则其内角和分别为(k－2)×180°，(2k－2)×180°.
根据题意列方程得(k－2)×180°∶(2k－2)×180°＝3∶ 8，解得k＝5，则2k＝10.
因此，这两个正多边形的边数分别为5和10.
13. 动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图①，在△ADC中，DP，CP分别
平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的
数量关系.
探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图②，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系.
探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF，如图③ 所示，请你直接写出∠P 与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系.

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