资源简介

(共101张PPT)
21.2 平行四边形
第二十一章 四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平行四边形
平行四边形的性质
两条平行线之间的距离
知识点
平行四边形
知1－讲
1
1. 四边形的分类：根据四条边的位置关系，如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平行，这个
四边形就是梯形.
如图21.2－1所示.
知1－讲
2. 平行四边形的定义及表示方法
定义 图示 表示方法
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用“ ”表示，如图，平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
知1－讲
3. 平行四边形的基本元素
基本元素 主要内容 图示
边 邻边 AD 和AB，AD 和DC，DC 和BC，BC和AB，共有四组
对边 AB 和DC，AD 和BC，共有两组
知1－讲
续表
基本元素 主要内容 图示
角 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠DAB 和∠ABC，共有四组
对角 ∠BAD 和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两组 对角线 AC 和BD，共有两条
知1－讲
特别解读
1. 表示平行四边形时，一定要按顺时针方向或逆时针方向依次注明各顶点.
2. 平行四边形是一种特殊的四边形，具有四边形的所有性质.
3. 平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法.
知1－练
例 1
如图21.2－2，在 ABCD 中，过点P作直线EF，GH
分别平行于AB，BC，那么图中共有______个平行四边形.
解题秘方：将平行四边形分为由一个、两个或四个四边形组成的平行四边形(即由小到大的顺序)，这样就可以做到不重不漏.
9
知1－练
解：在 ABCD 中，∵ EF∥AB，GH∥BC，∴ EF∥AB∥ CD，GH∥AD∥BC.
∴ 单独一个四边形是平行四边形的有4个： DEPH， EAGP， HPFC， PGBF；由两个四边形组成的平行四边形有4 个： DEFC， EABF， DAGH， HGBC；由四个四边形组成的平行四边形有1 个： ABCD.
∴图中共有9 个平行四边形.
知1－练
1－1. 如图，在△ABC中，D，E，F 分别是AB，BC，AC 上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，
则图中平行四边形共有(　　)
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
C
知2－讲
知识点
平行四边形的性质
2
类别 性质 符号语言 图示
边 对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC
1. 平行四边形的性质
相邻两边之和等于平行四边形周长的一半
知2－讲
类别 性质 符号语言 图示
角 对角相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°
对角 线 对角线互相平分 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD 续表
知2－讲
拓宽视野
1. 在平行四边形中，由任意一条对角线分割成的两个三角形全等.
2. 在平行四边形中，由两条对角线分割成的四个小三角形：(1)面积都相等；(2)相对的两个三角形全等；(3)相邻的两个三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形的两条邻边之差的绝对值.
3. 过平行四边形两条对角线的交点的直线平分这个平行四边形的周长和面积.
知2－讲
2. 平行四边形中的面积关系(扩展)
图示
条件 O为 ABCD 对角线的交点 P在 ABCD 的边AD上, 且不与端点重合
结论 S1＝S2＝S3＝S4＝S ABCD S1＋S3＝S2＝S ABCD
知2－讲
续表
图示
条件 P为 ABCD 内任意一点 EF经过 ABCD对角线的交点O
结论 S1＋S3＝S2＋S4＝S ABCD S四边形ABFE＝S四边形CDEF
知2－练
如图21.2－3，已知 ABCD的周长是60，对角线AC，BD相交于点O. 若△AOB的周长比△BOC的周长长8，求这个平行四边形各边的长.
例 2
周长之差转化为邻边之差
知2－练
解题秘方：紧扣平行四边形对角线、边的性质进行解答.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC.
∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，
OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，
∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8.
∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11.
知2－练
2－1.[中考·临沂]如图，在ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC， 则BD＝_______.
知2－练
如图21.2－4， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD，CB的延长线于点E，F.
求证：OE＝OF.
例 3
知2－练
解题秘方：利用“平行四边形的对边平行和对角线互相平分”为证明三角形全等创造条件.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC，OD＝OB. ∴∠E＝ ∠F.
又∵∠DOE＝∠BOF，∴△DOE≌△BOF(AAS).
∴OE＝OF.
知2－练
3－1.[期中·西安临潼区]如图， ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，EF，BD相交于点O，且OE＝OF.
求证：AE＝CF.
知2－练
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC, AD∥BC. ∴∠EDO＝∠FBO.
又∵OE＝OF，∠EOD＝∠FOB，
∴△EOD≌△FOB(AAS)．∴DE＝BF.
∴AD－DE＝BC－BF. ∴AE＝CF.
知3－讲
知识点
两条平行线之间的距离
3
1. 两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
知3－讲
三种距离之间的区别与联系
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离
示意图
知3－讲
续表
区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
联系 都是指某一条线段的长度
距离是数值
知3－讲
特别解读
一般性结论：两条平行线之间的任何两条平行的线段都相等.
如图21.2－6. ∵ a∥b，AB∥DC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD.
知3－讲
2. 性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即两条平行线之间的距离处处相等.
数学语言：如图21.2－5，
A,C是直线l1 上任意两点.
∵ l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，∴AB＝DC.
知3－讲
特别提醒
作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.
知3－练
如图21.2－7，直线a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b 上，BC＝EF. △ABC 与△DEF的面积相等吗？为什么？
解题秘方：紧扣等底等高的三角形面积相等作三角形的高进行说明.
例 4
知3－练
解：△ABC 与△DEF 的面积相等.
理由：如图21.2－7，过点A作AH1⊥直线b，垂足为H1，
过点D作DH2⊥直线a，垂足为H2.
设△ABC 和△DEF 的面积分别为S1和S2，
∴ S1＝BC·AH1，S2＝EF·DH2.
∵直线a∥b，AH1⊥直线b，DH2⊥直线a，∴ AH1＝DH2.
又∵ BC＝EF，∴ S1＝S2，即△ABC 与△DEF 的面积相等.
知3－练
4－1. 如图， 已知l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上. 设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由.
知3－练
解：∵l1∥l2，点C1，C2，C3都在直线l1上，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的边AB上的高相等，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这三个三角形同底等高，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这三个三角形的面积相等，
即S1＝S2＝S3.
平行四边形及其性质
平行四边形
定义
表示方法
性质
平行线间的距离
如图21.2－8，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是________.
题型
利用平行四边形的性质解决线段问题
1
类型1 求线段长的取值范围
3例 5
解题秘方：利用平行四边形对角线互相平分的性质和三角形的三边关系求解.
解：由平行四边形的对角线互相平分，易知AO＝AC＝ 7，BO＝BD＝ 4 ，故在△AOB中，利用三角形三边关系知AO－BO思路点拨
解决此类问题，首先根据平行四边形的性质把相应的线段转化到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系求解.
如图21.2－9，在 ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，且分别交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M.
类型2 证明线段的位置与数量关系
例 6
思路导引：
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD∥BC.
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵ AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，
∴∠DAB＝2∠EAB，∠ABC＝2∠FBA.
∴ 2∠EAB＋2∠FBA＝180°. ∴∠EAB＋∠FBA＝90°.
∴∠AMB＝90°，即AE⊥BF.
(1)求证：AE⊥ BF；
另解
如图21.2－11，分别延长BC，AE交于点P.
由AD∥BC，
AE平分∠DAB，
推出∠BAP＝∠P，得到BA＝BP.
易得BM⊥AP，即AE⊥BF.
(2)判断线段DF 与CE 的大小关系，并说明理由.
解：DF＝CE. 理由如下：在 ABCD 中，CD∥AB， AD＝BC，∴∠DEA＝ ∠EAB.
又∵ AE 平分∠DAB，∴∠DAE＝ ∠EAB.
∴∠DEA＝∠DAE. ∴ DE＝AD.
同理，CF＝BC. ∵ AD＝BC，∴ DE＝CF.
∴ DE－EF＝CF－EF，即DF＝CE.
方法技巧
“平行线＋角平分线”的基本模型：
如图21.2－10，若已知AB∥CD，CE平分
∠ACD，则易证△ACE是一个等腰三角形.这个基本模型在平行线、三角形、平行四边形等有关知识中求边、角运算时，应用非常广泛.
题型
利用平行四边形的性质解决角的问题
2
如图21.2－12，在 ABCD中，∠B＝120°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.求∠ADE,
∠EDF,∠FDC的度数.
例 7
类型1 求角的度数
解题秘方：利用平行四边形的对角相等、邻角互补可知∠ADC＝120 °， ∠A＝ ∠C＝60 °, 再由DE ⊥ AB, DF ⊥ BC 求出待求角的度数.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC, ∠A＝∠C, ∠ADC＝∠B＝120°,
∴∠A＋∠B＝180°.
∴∠A＝ ∠C＝180°－ ∠B＝60°.
∵DE⊥AB, DF⊥BC，∴∠ADE＝ ∠FDC＝30°.
∴∠EDF＝∠ADC－∠ADE－∠FDC＝60°.
另解
∠EDF＝360°－ ∠DEB－∠B－ ∠DFB＝360 ° －90 ° －120°－90°＝60°.
[中考·泸州] 如图21.2－13，在 ABCD中，E，F是对角线BD 上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．
解题秘方：紧扣“全等三角形对应角相等”，结合平行四边形的性质进行证明.
类型2 证明两角相等
例 8
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD＝BC，AD∥BC.
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE 和△CBF 中，
∴△ADE ≌△CBF(SAS). ∴∠1＝∠2．
方法点拨
证明角相等的常用方法：
1. 对顶角相等；2. 一个三角形中等边对等角；
3. 两直线平行，内错角相等(同位角相等)；
4. 全等三角形的对应角相等；
5. 同角或等角的补(余)角相等；
6. 平行四边形的对角相等.
题型
利用平行四边形的性质解决周长或面积问题
3
在 ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2 ，则 ABCD的周长等于_______.
例 9
类型1 解决周长问题
解题秘方：已知条件未给出图形，需要分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.
20或12
解：分两种情况进行讨论：
(1)当△ABC为锐角三角形时，如图21.2－14，过点A作AE⊥BC于点E，则AE＝4.∵ AB＝5，AC＝2，
∴ EC＝＝2，BE＝＝3.
∴ BC＝BE＋EC＝5.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD＝BC＝5，CD＝AB＝5. ∴ ABCD的周长等于20.
(2)当ABC为钝角三角形时，如图21.2－15，过点A作AF⊥BC，交BC的延长线于点F，则AF＝4. ∵ AB＝5，AC＝2，
∴ FC＝＝2，BF＝＝3.
∴ BC＝BF－FC＝ 1 .
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD＝BC＝1，CD＝AB＝5.∴ ABCD的周长等于12.
综上所述， ABCD 的周长等于20或12.
易错警示
分情况画出图形，易漏解：
1. 涉及三角形或平行四边形的高，画图时常常分类讨论.
2. 平行四边形的分类画图问题可通过连接对角线转化为三角形的分类画图问题.
本题不要漏掉△ ABC为钝角三角形的情况.
如图21.2－16， ABCD的周长是36，过点D分别作
DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F. 若DE＝4，DF＝5，求 ABCD的面积.
例10
类型2 求面积
思路导引：
解：设AB＝x，BC＝y.
∵ ABCD 的周长是36，∴ 2x＋2y＝36. ①
∵ DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ S ABCD＝AB·DE＝BC·DF.
又∵ DE＝4，DF＝5，∴ 4x＝5y. ②
联立①②，得解得
∴ S ABCD＝AB·DE＝10×4＝40.
详解
方程组可化为
把4x＝5y代入4x＋4y＝72，得9y＝72，解得y＝8.
把y＝8代入4x＝5y，得4x＝40，解得x＝10.
∴方程组的解为
技巧点拨
底、高搭配求面积：
平行四边形的面积＝底×高，用两种不同的方式表示出平行四边形的面积，据此构造出一个方程.
题型
利用平行四边形的性质解决点的坐标问题
4
平面直角坐标系xOy 中，点A(－3，0)，B(0，2)，以O，A，B 为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是(　　)
A．(－3，2) B．(3，2)
C．(3，－2) D．(－3，－2)
例11
思路导引：
解：设第四个顶点为点C，如图21.2－17 所示.
(1)当OA 为对角线时，AC1∥OB，AC1＝OB，
此时点B 怎么平移到点O，点A就以相
同的方式平移到点C1.
∵ O(0，0)，A(－ 3 ，0)，B(0，2)，
∴ C1(－3，－2).
(2)当OB为对角线时，BC2∥OA，BC2＝OA，
同理可得C2(3，2).
(3)当AB 为对角线时，BC3∥OA，BC3＝
OA，同理可得C3(－ 3 ，2).
综上可知，第四个顶点的坐标为(－3，－2)
或(3，2)或(－3，2).
答案：C
方法点拨
在平面直角坐标系中，已知平行四边形三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标的两种方法：
1. 利用平行四边形的对边平行且相等，结合平移求点的坐标；
2. 利用平行四边形对角线互相平分，结合中点坐标公式求点的坐标.
题型
利用平行四边形的性质解决实际问题
5
李村有一个呈四边形的池塘，如图21.2－18，在它的四个顶点A，B，C，D 处各有一棵大树．
例12
李村准备开挖池塘改建成养鱼池．要使鱼池的面积扩大一倍又想保持四棵大树不动，并要求扩建后的鱼池成平行四边形形状. 请问，李村能否实现这一设想？若能，请你设计方案并画图；若不能，请说明理由．
另解
另解1：如图21.2－19，连接BD，分别过点A，C作BD的平行线，过点B作AD的平行线，分别交过点A，C且平行于BD的直线于点E，F，延长AD，
交过点C且平行于BD的直线于点G，
则四边形AEFG即为扩建后的鱼池.
另解2：如图21.1－20，连接AC，作图方法类似于另解1，易得四边形GBEF即为扩建后的鱼池.
思路导引：
解：能实现这一设想.
连接对角线AC，BD，交于点O，过点A作BD 的平行线，过点C 作BD 的平行线，过点B 作AC
的平行线，过点D 作AC 的平行线，
四条平行线依次交于M，N，G，H
四点，如图21.2－18，
理由：易得四边形AODH、四边形AOBM、四边形BOCN、四边形OCGD、四边形MNGH均为平行四边形．
在 AODH 中，HD＝OA，AH＝DO，AD＝DA，
∴△AHD≌△DOA．∴ S△AHD＝S△AOD．
同理，S△AMB＝S△AOB，S△NBC＝S△OBC，S△COD＝S△CGD．
∴ S MNGH＝2S四边形ABCD．
题型
利用平行四边形的性质解决动点问题
6
如图21.2－21，在四边形ABCD中，AD∥BC, 且 AD＝9 cm，BC＝6 cm，点P，Q分别从点A,C同时出发，点P以1 cm/s的速度由A向D运动，点Q以 2 cm/s的速度由C向B运动，当点Q运动
到点B时，两点停止运动，求几秒后，
PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.
例13
思路导引：
解：设点P，Q运动的时间为t(s)，由题意可知t≤3.
依题意有CQ＝2t，BQ＝6－2t，AP＝t，PD＝9－t cm.
分两种情况讨论：
(1)如图21.2－22，当四边形APQB是平行
四边形时，BQ＝AP，即6－2t＝t，
解得t＝2；
(2)如图21.2－23，当四边形CQPD是平行
四边形时，CQ＝PD，即2t＝9－t，解得t＝3.
因此，2 s 或3 s 后，PQ将四边形ABCD截出
一个平行四边形.
解题通法
动点问题的求解方法：
解决动点问题的基本思路就是变“动”为“静”， 要用“静”去理解“动”.在动态问题中判定平行四边形，要在掌握平行四边形各种判定方法的基础上，根据已知的一个条件，寻找另一个合适的条件，使四边形成为平行四边形.要学会在“动”中求“静”，同时要注意分类讨论思想的应用.
易错点
因考虑问题不全面而导致漏解
在 ABCD 中，∠BAD 的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则 ABCD的周长是( )
A. 22 B. 20
C. 22 或20 D. 18
例14
错解：B
正解： 如图21.2－24，在 ABCD中，
AD∥BC，则∠DAE＝ ∠AEB.
∵ AE 平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠BAE＝∠BEA. ∴ AB＝BE.
∵ BC＝BE＋EC，∴ 当BE＝3，EC＝4 时， ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(3＋3＋4)＝20；当BE＝4，EC＝3时， ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(4 ＋4＋3)＝22.
答案：C
诊误区：
无图的平行四边形问题，常有多种可能，此题容易因考虑问题不够周密，只看到了角平分线分线段为两部分，但没有考虑到哪部分为3，哪部分为4，从而忽略了多解的情况.
[中考·贵州] 如图21.2－25， ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AB＝BC
B．AD＝BC
C．OA＝OB
D．AC ⊥ BD
考法
利用平行四边形的性质进行辨析
1
例15
试题评析：本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题关键.
解：A.平行四边形的邻边不一定相等，无法得到AB＝BC，故此选项不合题意；B.平行四边形的对边相等，故AD＝ BC，故此选项符合题意；C.平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，无法得到OA＝OB，故此选项不合题意；D.平行四边形的对角线不一定垂直，无法得到AC⊥BD，故此选项不合题意．
答案：B
[中考· 宜宾]如图21.2－26，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5. 求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．
考法
利用平行四边形的性质计算与证明
2
例16
试题评析：本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的对边平行且相等得到相等的角和边是解题关键.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，BC∥AD.
∴∠EFC＝∠EAD，∠ECF＝∠EDA.
∵点E是平行四边形ABCD边CD的中点，
∴CE＝DE. ∴△ADE≌△FCE(AAS).
∴CF＝AD＝5. ∴BF＝BC＋CF＝5＋5＝10.
1. [中考·宜宾]下列说法正确的是(　　)
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
D
2. [模拟·深圳]如图，某条楼梯及栏杆可以看作由三角形ABC与平行四边形ACDE构成, 若∠D＝59°，则该楼梯的坡脚∠BAC的度数为(　　)
A. 59°
B. 41°
C. 31°
D. 49°
C
3. [中考·遂宁]如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD 交AD于点E，连接BE，若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( )
A. 28 B. 24
C.21 D. 14
D
4. [中考·眉山]如图，在 ABCD 中，点O是BD 的中点，EF 过点O，下列结论：
① AB∥DC； ② EO＝ED；
③∠A＝∠C；
④S四边形ABOE＝S四边形CDOF.
其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C
5. [中考·浙江]如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝2．过点A作AE⊥BC交BC于点E，记BE 长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是(　　)
A．x＋y B．x－y
C．xy D．x2＋y2
C
6. 如图， ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)， (3 ，0)，(1 ，2)，则顶点B的坐标是_______.
(4，2)
7. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若AB＝AC＝5，AD＝3，则梯形ABCD的面积为_______．
18
8. 如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6 cm，则AD＝_______cm．
12
9. 在① AE＝CF；② OE＝OF；③ BE∥DF 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并完成证明过程.
已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交于点O，点E，F在AC上，______(填写序号).
求证：BE＝DF.
②
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC.
∴∠BAE＝∠DCF.
∵OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.
∴△ABE≌△CDF.∴BE＝DF.
(此题答案不唯一)
10.[中考·广西]如图，在 ABCD中，BD 是它的一条对角线.
(1)求证：△ABD≌△CDB；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC.
又∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB(SSS)．
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC 于点E，F(不写作法，保留作图痕迹)；
解：EF如图所示．
(3)连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB 的度数．
解：如图，∵EF垂直平分线段BD，
∴EB＝ED.
又∵∠DBE＝25°，
∴∠DBE＝∠BDE＝25°.
∵∠AEB是△BED的外角，
∴∠AEB＝∠DBE＋∠BDE＝25°＋25°＝50°.
11.[期末·北京海淀区]如图①，AC和BD是ABCD的对角 线，AB＝BD. 点E 为射线BD上的一点，连接AE.
(1)当点E在线段BD的延长线上，且DE＝BD时，
①依题意补全图①；
解：依题意补全图形，
如图①所示．
②求证：AE＝AC.
证明：∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.
∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵∠BDA＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠ADC.
∵DE＝BD，∴DE＝DC.
(2)如图②，当点E在线段BD上，且∠AEB＝2∠ACD时，用等式表示线段AE，BE和AB的数量关系，并证明．
解：AE＋BE＝2AB.
证明：如图②，延长BD至点F，使得DF＝BD，连接AF.
同(1)②可得△ADF≌△ADC，
∴∠F＝∠ACD.
∵∠AEB＝2∠ACD，∴∠AEB＝2∠F.
∵∠AEB＝∠EAF＋∠F，∴∠EAF＝∠F.
∴EF＝AE.
∴AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝2BD＝2AB .

展开更多......

收起↑