资源简介

(共95张PPT)
21.2 平行四边形
第二十一章 四边形
21.2.2 平行四边形的判定
21.2.3 三角形的中位线
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平行四边形的判定方法
三角形的中位线
知识点
平行四边形的判定方法
知1－讲
1
1. 判定平行四边形可以从边、角和对角线三个方面进行. 具体如下表所示.
判定方法 符号语言 图示
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) ∵ AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形
知1－讲
续表
判定方法 符号语言 图示
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD BC (或AB CD)， ∴四边形ABCD是平行四边形
知1－讲
续表
判定方法 符号语言 图示
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠A＝∠C，∠B＝ ∠D，∴四边形ABCD是平行四边形
对 角 线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD 是平行四边形
知1－讲
2. 平行四边形判定方法的选择
已知条件 证明思路
一组对边相等 (1)另一组对边相等
(2)该组对边平行
一组对边平行 (1)另一组对边平行
(2)该组对边相等
对角线相交 对角线互相平分
角 两组对角分别相等
知1－讲
特别提醒
1. 平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理，解题时要注意区别，不能混淆.
2. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. 如等腰梯形.
知1－讲
3. 两组邻边分别相等的四边形不一定是平行
四边形.如筝形，如图21.2－27.
4. 两组邻角分别相等的四边形不一定是平行
四边形.如等腰梯形.
知1－练
例 1
如图21.2－28，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，
CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
解题秘方：根据所给条件可知证三角形全等可得到证四边形ABCD是平行四边形的条件，方法不唯一.
知1－练
证法一：(证两组对边相等)∵BF＝DE，
∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF，∴AB＝CD.
∵AE＝CF, ∠AED＝∠CFB，DE＝BF,
∴△AED≌△CFB, ∴AD＝CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知1－练
证法二：(证两组对角相等)∵BF＝DE，
∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF.
∴∠ABE＝∠CDF，∠BAE＝∠DCF.
∵AE＝CF, ∠AED＝∠CFB，DE＝BF,
∴△AED≌△CFB, ∴∠ADE＝∠CBF，∠DAE＝∠BCF.
知1－练
∴∠ABE＋∠CBF＝∠CDF＋∠ADE，
∠BAE＋∠DAE＝∠DCF＋∠BCF，
即∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知1－练
证法三：(证两组对边平行)∵BF＝DE，
∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF.
∴∠ABE＝∠CDF，∴AB∥CD.
易得△AED≌△CFB，∴∠ADE＝∠CBF. ∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知1－练
证法四：(证一组对边平行且相等)∵BF＝DE，
∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF,
∴AB＝CD，∠ABE＝ ∠CDF，∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知1－练
1－1.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥ BC，点F是DE延长线上一点，连接CF.添加下列条件：① BD∥CF； ② DF＝BC；③ BD＝CF；④∠B＝∠F，能使四边形BCFD是平行四边形的是_______(填上所有符合要求的条件的序号)．
①②④
知1－练
1－2. 如图，在ABCD中，AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线.
求证：四边形AFCE是平行四边形. (至少用两种证法)
知1－练
知1－练
知1－练
证法三：(证一组对边平行且相等)
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB CD，即 EC∥AF，∴∠DEA＝∠EAB.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB.
∴∠DAE＝∠DEA.∴DE＝AD.
同理BF＝BC，∴DE＝BF，∴DC－DE＝AB－BF，即EC＝AF. ∴四边形AFCE为平行四边形．
知1－练
证法四：(证两组对边相等)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D，AB CD，∴∠DEA＝∠EAB，∠ECF＝∠CFB. ∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，
∴∠DAE＝∠EAB，∠ECF＝∠BCF.
∴∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠BCF.∴DE＝DA＝BC＝BF. ∴△DAE≌△BCF(SAS)，AB－BF＝CD－DE，即AF＝EC.∴AE＝CF. ∴四边形AFCE为平行四边形．
知1－练
[中考·徐州]已知：如图21.2－29，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF. 求证：四边形BEDF 是平行四边形.
解题秘方：由于条件都与四边形的对角线相关，因此需紧扣对角线关系判定平行四边形.
例 2
知1－练
证明：如图21.2－29，连接BD，设对角线AC，BD交于 点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD.
又∵ AE＝CF，
∴ OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
∴四边形BEDF 是平行四边形.
知1－练
2－1.如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC， E，F 分别是OB，OD的中点. 求证：四边形AFCE 是平行四边形.
知1－练
知2－讲
知识点
三角形的中位线
2
1. 三角形的中位线及其定理
三角 形的 中位 线 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线
符号语言 如图所示. ∵ AD＝BD，AE＝CE， ∴ DE是△ABC的中位线
知2－讲
续表
三角 形的 中位 线定 理 内容 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
符号语言 如图所示. ∵ DE为△ABC的中位线， ∴ DE∥BC，且DE＝BC 应用 (1)位置关系：证明两直线平行；(2)数量关系：证明线段的相等或倍分关系
知2－讲
2. 三角形的中位线与三角形的中线的区别
类别 三角形的中位线 三角形的中线
图示
符号 语言 在△ABC，∵ D，E，F 分别是BC，AC，AB 边的中点，∴ DE，EF，FD 是△ABC 的中位线(如图①)，AD，BE，CF是△ABC 的中线(如图②)
知2－讲
续表
区 别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段
S△AEF＝S△BDF＝S△CDE＝S△DEF＝S△ABC S△ABD＝S△ACD＝S△CBF＝S△CAF＝S△BAE＝S△BCE＝S△ABC
C△AEF＝C△BDF＝C△CDE＝C△DEF＝C△ABC C△ABD－C△ACD＝AB－AC，
C△CBF－C△CAF＝BC－AC，
C△BAE－C△BCE＝AB－BC
(AB>BC>AC)
知2－讲
特别解读
1. 三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.
2. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
3. 中位线具有平移角度、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到.
知2－练
如图21.2－30，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A＝ 30°，AC＝，点D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE.
例 3
知2－练
解题秘方：有三角形中位线(或三角形中两条边的中点)的条件时，若求角的度数，则考虑中位线定理的位置关系；若求线段的长度，则考虑中位线定理的数量关系.
知2－练
解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥AB，
∴∠CDE＝∠A＝30°.
∵∠C＝90°，∴∠CED＝90°－ ∠CDE＝60°.
求：(1)∠CED的度数；
知2－练
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝，
∴AB＝2BC，BC2＋AC2＝AB2，即BC2＋3＝4BC2，
∴BC＝1，∴AB＝2.
由(1)知DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝1.
(2)线段DE的长.
知2－练
3－1.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是CD边的中点，连接OE.
知2－练
(1)若ABCD的周长为36，BD＝12， 求△DOE的周长；
知2－练
(2)若∠ABC＝60°,∠BAC＝80°, 求∠ 1 的度数.
解：∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°－60°－80°＝40°.
由(1)知OE是△BCD的中位线，
∴OB∥BC.∴∠1＝∠ACB＝40°.
知2－练
如图21.2－31，已知E 为 ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BD，交于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF.
例 4
知2－练
思路导引：
知2－练
证明：如图21.2－31，连接BE.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴ AB∥CD，AB＝CD，点O 是AC 的中点.
∵ E 为 ABCD 中DC 边延长线上一点，
且CE＝DC，∴ AB∥CE，AB＝CE.
∴四边形ABEC 是平行四边形. ∴点F 是BC 的中点.
∴ OF 是△ABC 的中位线. ∴ AB＝2OF.
知2－练
4－1.如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中 点，连接DE，CD，过点E作EF∥CD交AC的延长线于点 F．求证：CF＝AC．
知2－练
平行四边形的判定
三角形的中位线
判定
平行四
边形
边的关系
角的关系
对角线的关系
三角形的中位线
定义
性质
如图21.2－32，在 ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF，试猜测AC
与EF有什么关系，并加以证明.
题型
构造平行四边形解决问题
1
类型1 连接两点构造平行四边形
例 5
解题秘方：结合图形进行猜测：AC，EF 互相平分. 紧扣平行四边形“对角线互相平分”这一特征，将证明线段互相平分问题转化为证明平行四边形问题来解.
解：AC与EF互相平分. 证明如下：
如图21.2－32，连接AF，CE.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ DC∥AB，DC＝AB.
∵ DF＝BE，∴ CF＝AE.
又∵ CF∥AE. ∴四边形AECF 为平行四边形.
∴ AC 与EF 互相平分.
另解
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ DC＝AB，CF∥AE. ∴∠CFE＝ ∠AEF.
∵DF＝BE，∴CF＝AE.
又∵ EF＝FE，∴ △CFE≌ △AEF(SAS).
∴∠CEF＝∠AFE. ∴ CE∥AF.
∴ 四边形AECF是平行四边形.
知识储备
两条线段的数量关系有相等或倍分，位置关系有平行或相交，而相交的特殊情况有垂直、互相平分.
如图21.2－33，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE 交AD 于点F，且AE＝FE.
求证：BF＝AC.
类型2 延长线段构造平行四边形
例 6
思路导引：
证明：如图21.2－33，延长AD到点G，使DG＝AD，连接
BG，CG. ∵ AD为△ABC 的中线，∴ BD＝DC.
又∵ DG＝AD，∴四边形ABGC 是平行四边形.
∴ AC BG. ∴∠1 ＝ ∠2.
又∵ AE＝FE，∴∠1 ＝ ∠3.
∴∠2＝ ∠3＝ ∠BFG. ∴ BG＝BF.
又∵ BG＝AC，∴ BF＝AC.
思路点拨
当题中有三角形的中线时，常用“倍长中线法”构造平行四边形，然后利用平行四边形的性质推出线段相等或平行及角相等.
题型
构造三角形中位线基本图形解决问题
2
如图21.2－34所示的四边形ABCD，点E，F，G，H 分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，
连接EF，FG，GH，HE，得到四边
形EFGH. 求证：四边形EFGH 是平
行四边形.
类型1 连接两点构造三角形
例 7
思路导引：
证明：如图21.2－34，连接BD.
∵点E，H 分别是边AB，DA的中点，
∴ EH 为△ABD 的中位线.
∴ EH∥BD，EH＝BD. 同理可得FG∥BD，FG＝BD，
∴ EH∥FG，EH＝FG. ∴四边形EFGH 是平行四边形.
解题策略
1. 依次连接四边形各边中点所得到的四边形叫中点四边形，所有的中点四边形都是平行四边形.
2. 利用三角形的中位线定理判定平行四边形，一般用“一组对边平行且相等”判定平行四边形.
如图21.2－35，已知AO是∠BAC的平分线，BD⊥ AO，交AO 的延长线于点D，E 是BC 的中点.
求证：DE＝(AB－AC).
类型2 延长线段构造三角形
“角平分线＋垂直”
联想到等腰三角形
例 8
思路导引：
证明：如图21.2－35，延长AC，BD相交于点F.
∵ AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠FAD.
∵ BD⊥ AO，∴∠ADB＝∠ADF＝90°.
在△ABD和△AFD中，
∴△ABD≌△AFD(ASA). ∴ AB＝AF，BD＝DF.
又∵ E 是BC的中点，∴ ED是△BCF的中位线.
∴ DE＝CF＝(AF－AC)＝(AB－AC).
解题通法
构造三角形中位线的方法:
1. 如图21.2－36 ①，若已知一边中点，则取另一边中点,并连接；
2. 如图21.2－36 ②，若已知两边
中点，则连接第三边；
3. 如图21.2-36③，若已知一边中点，则将另一边倍长，再连接第三边；
4. 如图21.2-36④，若已知一条线段与角平分线垂直，则延长这条线段构造等腰三角形，结合已知条件得到中位线.
易错点
对平行四边形的判定方法把握不准导致错误
观察图21.2－37，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是( )
A. ③
B. ②③
C. ①②
D. ①②③
例 9
答案：A
错解：B
正解：①一组对边平行，另一组对边不平行，不是平行四边形；②一组对边平行，另一组对边相等，不能判断其一定是平行四边形；③一组对边平行且相等，能判断其一定是平行四边形. 所以根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的只有③ .
诊误区：
本题易错之处在于“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形；此外，不能仅凭直观判断轻易下结论，必须要经过严格的推理论证得出结论.
[中考·湖南节选]如图21.2－38，在四
边形ABCD中，AB∥ CD，点E在边
AB上，________.
请从“① ∠B＝ ∠AED；② AE＝BE，
AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，并证明四边形BCDE是平行四边形.
考法
选择条件判定平行四边形
1
例10
试题评析：本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
解：①(或②)
证明：若选择①：
∵∠B＝ ∠AED，∴ BC∥DE.
又∵ AB∥CD，∴四边形BCDE 为平行四边形.
若选择②：
∵ AE＝BE，AE＝CD，∴ BE＝CD.
又∵ AB∥CD，∴四边形BCDE 为平行四边形.
[中考·苏州] 如图21.2－39，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE．
考法
平行四边形的性质与判定的综合
2
例11
试题评析：本题考查全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键.
(1)求证：△DAC≌△ECB；
证明： ∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB＝AB．
∵CD∥BE，∴∠DCA＝∠B．
在△DAC和△ECB中，
∴△DAC≌△ECB(ASA).
(2)连接DE，若AB＝16，求DE的长
解：∵AB＝16，∴BC＝AB＝8．
∵△DAC≌△ECB，∴CD＝BE．
又∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形.
∴DE＝BC＝8．
[中考·巴中] 如图21.2－40， ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若 ABCD的周长为12，则△COE 的周长为( )
A．4 B．5
C．6 D．8
考法
利用三角形的中位线定理求周长
3
例12
试题评析：本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，得出OE是△ABC 的中位线是解题关键.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OA＝AC，即O是AC的中点.
∵ E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，CE＝BC. ∴ OE＝AB.
∵ ABCD 的周长为1 2 ，
∴ AB＋BC＝×12＝6.
∴ △COE 的周长为OE＋CE＋OC＝(AB＋BC＋AC)＝×(6 ＋4)＝5.
答案：B
1. 如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．AB∥DC，AD＝BC
D
2. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B 两处景观之间的距离，他先在AB 外取一点C，然后步测出AC，BC 的中点D，E，并步测出DE 的长约为18 m，由此估测A，B 之间的距离约为( )
A．18 m
B．24 m
C．36 m
D．54 m
C
3. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，
AE 平分△ABC 的外角∠CAN，点
M 是AC 的中点，连接BM 并延长交
AE 于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD 是平行四边形．
证明：∵ AB＝AC，∴∠ABC＝ ∠3．
∵ ∠CAN＝∠ABC＋∠3 ，
∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴①________．
又∵∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD ≌△MCB(②________).
∴ MD＝MB． ∴四边形ABCD 是平行四边形．
若以上解答过程正确，①②应分别为(　　)
A．∠1＝∠3，AAS
B．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AAS
D．∠2＝∠3，ASA
D
4. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED 的周长为( )
A．4
B．6
C．8
D．16
C
5. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点.若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，则EF 的长是(　　)
A． B．3
C．4 D．5
D
6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形．
OB＝OD
(答案不唯一)
7. [中考·湖南]如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中 点，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为
半径画弧，两弧相交于点M，N，
直线MN交AB于点D，连接DE，
则DE的长是_______．
3
8. [中考·临沂] 如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点． 添加下列条件中的一个：① BM＝EN；② ∠FAN＝∠CDM； ③ AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE． 能使四边形AMDN 是平行四边形的是_______ (填上所有符合要求的条件的序号)．
①②④
9. [模拟·温州龙湾区]小明和小丽在探究尺规作图问题：如图①，在△ABC中，用尺规作AC边上的中线BD.
小明：如图②，以A为圆心，BC长为半径作弧，再以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于AC的右侧于点 E，连接BE交AC于点D，则BD是AC边上的中线.
小丽：为什么？
小明：可以连接AE.CE，因为……
(1)请补充小明的推理过程；
解：由作图知AE＝BC，CE＝AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AD＝CD.
∴BD是AC边上的中线．
(2)如图②，若∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝8，求BE的长.
10. 如图，在△ABC 中，点D，E 分别为AB，AC 的中点，点H 在线段CE 上，连接BH，点G，F 分别为BH，CH 的中点．
(1)求证：四边形DEFG 为平行四边形；
(2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．
11. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝ 90°，AD＝ 1，BC＝3，E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于点F.
(1)求证：四边形BDFC 是平行四边形；
证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝180°. ∴AF∥BC.
∴∠CBE＝∠DFE，∠BCE＝∠FDE.
∵E是边CD的中点，∴CE＝DE.
∴△BCE≌△FDE(AAS)．∴BE＝FE.
又∵CE＝DE，∴四边形BDFC是平行四边形．
(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积.

展开更多......

收起↑