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21.3 特殊的平行四边形
第二十一章 四边形
21.3.2 菱形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
菱形的定义
菱形的性质
菱形的判定
知识点
菱形的定义
知1－讲
1
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
图示
符号语言 如图，若四边形ABCD 是平行
四边形，且AB＝AD，
则 ABCD 是菱形
知1－讲
特别解读
1. 有一组邻边相等的四边形不一定是菱形.
2. 菱形必备的两个条件：一是平行四边形，二是一组邻边相等.两者必须同时具备，缺一不可.
3. 菱形的定义具有双重性，既是菱形的性质，又是菱形的基本判定方法.
知1－练
例 1
如图21.3－15，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F.求证：四边形DECF是菱形.
解题秘方：紧扣菱形的定义中的“两个条件”证明.
知1－练
证明：如图21.3－15，
∵ DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF 为平行四边形.
∵ AC∥DE，∴∠2＝ ∠3.
∵ CD 平分∠ACB，∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3. ∴ DE＝EC.
∴平行四边形DECF 为菱形.
知1－练
1－1.如图，在 ABCD中，点E，F 分别在AD，BC 上，且BE 平分∠ABC，EF∥AB. 求证：四边形ABFE是菱形．
知1－练
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠AEB＝∠EBF.
又EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE.
∴∠ABE＝∠AEB.∴AB＝AE.
∴平行四边形ABFE是菱形．
知2－讲
知识点
菱形的性质
2
1. 菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，如下表：
类别 性质 数学语言 图示
边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC＝CD＝AD
知2－讲
续表
类别 性质 数学语言 图示
对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ BD ⊥ AC， ∠DAC＝ ∠BAC， ∠ACD＝ ∠ACB， ∠ABD＝ ∠CBD， ∠ADB＝ ∠CDB
知2－讲
续表
类别 性质 数学语言 图示
对称性 菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴 直线AC，BD 是菱形ABCD 的两条对称轴
知2－讲
特别解读
1. 菱形的周长等于边长的4 倍.
2. 菱形的性质与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长的一半的平方和.
3. 如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.
知2－讲
2. 菱形的面积
公式由来 文字语言 数学语言 图示
菱形 的面 积公 式 菱形是平行四边形 菱形的面积＝底× 高 S菱形ABCD＝BC·AE
菱形的对角线互相垂直 菱形的面积＝对角线长的乘积的一半 S菱形ABCD＝AC·BD
知2－讲
注意 矩形与菱形的区别
(1)矩形和菱形都是建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等；
(2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形，而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形；
(3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线.
知2－讲
拓展视野
对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半.
知2－练
如图21.3－16，在菱形ABCD中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为1∶2，菱形ABCD 的周长是48. 求：
解题秘方：紧扣菱形的性质和面积公式求解.
例 2
知2－练
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD∥BC，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO.
∴∠BAD＋∠ABC＝180°.
∵∠ABC 与∠BAD的度数比为1∶2，
∴ ∠ABC＝60°，∠BAD＝120°. ∴∠ABO＝30°.
(1)菱形ABCD 的两条对角线的长度；
知2－练
∵ 菱形ABCD的周长是48，∴ AB＝BC＝DC＝AD＝12.
∴ AO＝6.
∴ AC＝12，BO＝＝＝6.
∴ BD＝12.
知2－练
解：S菱形ABCD＝AC·BD＝×12×12＝72.
(2)菱形ABCD 的面积.
知2－练
2－1.[期中·江门台山市]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF. 若EF＝3，BD＝8，求菱形ABCD 的周长和面积.
知2－练
知2－练
如图21.3－17，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上 ，且∠BAE＝∠DAF.求证：CE＝CF.
解题秘方：利用菱形的边角性质得到边和角的相等关系，为证明三角形全等创造条件.
例 3
知2－练
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，CB＝CD.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(ASA). ∴EB＝FD.
又CB＝CD，∴CB－EB＝CD－FD，即CE＝CF.
知2－练
3－1. [中考·泸州]如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE.
知2－练
知3－讲
知识点
菱形的判定
3
判定方法 符号语言 图示
边 有一组邻边相等的 平行四边形是菱形 (定义法) 在 ABCD 中， ∵AB＝BC， ∴ ABCD 是菱形
四条边相等的四边 形是菱形 在四边形ABCD中， ∵AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形
知3－讲
续表
判定方法 符号语言 图示
对角线 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形 在 ABCD 中， ∵AC⊥BD， ∴ ABCD 是菱形
知3－讲
特别解读
1. 菱形的判定定理和性质定理是互逆定理.
2. 判定菱形的常见思路:
四边形
知3－练
如图21.3－18，在平行四边形ABCD中，AB＝AD， E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE， CF，AF，CE. 求证：四边形AFCE是菱形．
例 4
知3－练
解题秘方：连接AC，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD. 由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形即可.
知3－练
证明：如图21.3－18，连接AC，设AC交BD于点O.
∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即EO＝FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
又AC⊥BD，∴平行四边形AFCE是菱形．
知3－练
4－1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD垂直平分AC，点E是OB上的一点，且∠AEO＝∠CDO. 求证：四边形AECD是菱形．
知3－练
知3－练
如图21.3－19，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E，F，G，H 分别是AD，BD，BC，AC 的中点. 求证：四边形EFGH 是菱形.
解题秘方：紧扣题中中点条件与线段相等这一特征，从证四条边相等入手判定菱形.
例 5
知3－练
证明：∵点E，H 分别为AD，AC 的中点，
∴ EH 为△ACD 的中位线. ∴ EH＝CD.
同理可得EF＝AB，FG＝CD，HG＝AB.
∵ AB＝CD，∴ EH＝EF＝FG＝HG.
∴四边形EFGH 是菱形.
知3－练
5－1.[中考·沈阳]如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，点E 在DA 的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE 交AD 的延长线于点F，连接BF，CE.
求证：四边形BECF 是菱形．
知3－练
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC.
又点E，F在直线AD上，∴EB＝EC，FB＝FC.
∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD.
∵DB＝DC，∴△EBD≌△FCD(AAS)．∴BE＝FC.
∴EB＝BF＝FC＝EC. ∴四边形BECF是菱形．
菱形
边的性质
对角线的性质
菱形
定义
边的关系
对角线的关系
对称性
性质
判定
题型
菱形中的折叠问题
1
如图21.3－20，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，
则∠DEC的大小为( )
A. 78° B. 75°
C. 60° D. 45°
例 6
思路导引：
解：如图21.3－20，连接BD.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DC∥AB，AD＝AB，∠A＝∠C.
又∵∠A＝60°，∴ △DAB为等边三角形.
∵ 点P为AB的中点，∴ DP⊥AB.
∵ DC∥AB，∴∠PDC＝∠DPA＝90°.
∵△DEC′是△DEC 沿DE 折叠得到的，
∴∠CDE＝∠C′DE＝∠PDC＝×90°＝45°.
在△CDE 中，∠CDE＝45°，∠C＝∠A＝60°，
∴ ∠DEC＝180°－45°－60°＝75°.
答案：B
技巧点拨
从主要条件入手找解法：
在解决与菱形有关的问题时，主要考虑其“边”的性质和“对角线”的性质，因为本题中没有对角线，所以应考虑其“边”的性质，即菱形的四条边相等.又因为图中有60°的角，所以可考虑构造等边三角形，利用等边三角形的性质进行求解.
题型
菱形中的最值问题
2
如图21.3－21，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝ 120°，点E是BC边上的动点，
点P是对角线BD上的动点，
若使PC＋PE 的值最小，
则这个最小值为_________.
例 7
思路导引：
解：∵四边形ABCD为菱形，∴点A，C关于直线BD对称.
如图21.3－21，连接AE，AP，
则PE＋PC＝PE＋AP ≥ AE.
当AE⊥BC 时，AE 取得最小值.
易知∠BAD＋∠ABC＝180°.
∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°. ∴∠BAE＝30°.∴ BE＝AB＝1.∴ AE＝＝.∴ PC＋PE 的最小值为.
详解
如图21.3－21，在△ APE中，PE＋AP>AE，因此当A，P，E三点共线时，PE＋AP 取得最小值，此时PE＋AP＝AE.
解题通法
求线段和的最小值的方法：
先要通过轴对称的方式将同侧两点转化为异侧两点，再通过垂线段最短求得两线段和的最小值.
题型
菱形中的规律问题
3
如图21.3－22，在菱形ABCD中，AB＝1，∠A＝60°，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；
例 8
顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；… ；按此规律继续下去，则四边形A2 026B2 026C2 026D2 026的面积是________．
解题秘方：利用已知数据求出菱形ABCD和四边形A1B1C1D1的面积，得到四边形A1B1C1D1的面积等于菱形ABCD面积的，同理可得四边形A2B2C2D2的面积等于四边形A1B1C1D1面积的，那么等于菱形ABCD面积的()2，同理可求出四边形A2 026B2 026C2 026D2 026的面积．
解：如图21.3－22，连接AC，BD，则AC⊥BD.
∵在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°，
∴易知BD＝1，AC＝.
∴ S菱形ABCD＝AC·BD＝××1＝.
∵ 顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A1B1C1D1，易证四边形A1B1C1D1是矩形，
∴ S矩形A1B1C1D1＝AC·BD＝AC·BD＝S菱形ABCD.
同理，S四边形A2B2C2D2＝S矩形A1B1C1D1＝()2S菱形ABCD，
S四边形A3B3C3D3＝()3S菱形ABCD，…，∴根据以上规律可得
S四边形A2 026B2 026C2 026D2 026＝()2 026S菱形ABCD＝×＝ .
技巧点拨
确定中点四边形形状的技巧：
中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系. 见下表：
原四边形两条对角线的关系 中点四边形的形状
对角线垂直 矩形
对角线相等 菱形
对角线垂直且相等 正方形
对角线既不垂直也不相等 平行四边形
题型
菱形中的探究问题
4
在菱形ABCD中，∠C＝60°，O为BD的中点，∠EOF＝120°，∠EOF的两边分别交直线AD，AB于点E，F.
例 9
解题秘方：三条线段的数量关系一般是和、差、倍、分关系，先通过观察、测量的方法猜测出它们的关系，再进行证明.
(1)如图21.3－23，当点E在AD上，点F在AB的延长线上 时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系；
解：如图21.3－23，取AD的中点M，连接
OM，则OM∥ AB，且OM＝AB.
∵四边形ABCD为菱形，易知∠A＝∠C＝60°，
∴易得△ABD是等边三角形.
∴OM＝AB＝DB＝OB，∠DMO＝∠A＝60°，
∠DOM＝∠DBA＝60°，
∴∠MOB＝180°－ ∠DOM＝120°.
∵∠EOF＝∠BOF＋∠EOB＝120°,
∠MOB＝∠MOE＋∠EOB＝120°,
∴∠MOE＝∠BOF.
∵∠EMO＝180°－∠DMO＝120°,
∠FBO＝180°－∠DBA＝120°，
∴∠EMO＝ ∠FBO.
在△EMO和△FBO中，
∴△EMO≌△FBO(ASA). ∴ME＝BF.
∴AE＋BF＝AE＋EM＝AM＝AD＝AB，
即AE，BF，AB之间的数量关系为AE＋BF＝AB.
(2)如图21.3－24，当点E，F分别在DA，AB的延长线上 时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系.
解：如图21.3－24，取AD的中点M，连接OM，则OM∥ AB，且OM＝AB. 由(1)可知∠EMO＝
∠OBF，MO＝OB，∠MOE＝∠BOF，
∴△EMO≌△FBO(ASA). ∴ME＝BF.
∴BF－AE＝ME－AE＝AM＝AD＝AB，
即AE，BF，AB之间的数量关系为BF－AE＝AB.
技巧点拨
解决本题的关键是利用全等变换，将线段AE，BF转换至同一直线上(补短法).
方法点拨
变化之中找不变：
探索问题(2)的求解思路时，可以类比问题(1)的求解思路，对比观察两个图形，探索问题(2)的结论.
易错点
不理解菱形的判定思路，选择判定方法时出错
如图21.3－25，给出下列各组条件：
① AC⊥BD，OC＝OA；
②∠1＝∠2＝∠3＝∠4；
③ OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD；
④ AB＝BC＝CD，AC⊥BD.
其中一定能判定四边形ABCD 为菱形的有( )
A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组
例10
答案：C
错解：D
正解：①当AC⊥BD，OC＝OA时，不能确定BO是否等于DO，故不能判定四边形ABCD为菱形.
②③④都能判定 四边形ABCD为菱形.
诊误区：
利用菱形的几种判定方法判断一个四边形是不是菱形时，一定要理解这些判定方法，按部就班，一步步推导，不要想当然地就得到结论.
[中考·福建]如图21.3－26，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F. 若OA＝2，OD＝1，则△AOE
与△DOF的面积之和为
________．
考法
利用菱形的性质和面积公式计算
1
例11
1
试题评析：本题考查了菱形的性质和面积公式，利用全等三角形进行面积的转化是解题关键.
解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝2，OD＝1，
∴AC＝4，BD＝2，OA＝OC，AB∥CD.
∴ S菱形ABCD＝AC·BD＝4，∠OAB＝∠OCD．
又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF. ∴S△AOE＝S△COF.
∴S△AOE＋S△DOF＝S△COF＋S△DOF＝S菱形ABCD＝1.
[中考·长春]如图21.3－27， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3. 求证： ABCD是菱形．
考法
菱形的判定
2
例12
试题评析：本题考查了勾股定理的逆定理和菱形的判定，熟练掌握菱形的几种判定方法是解题的关键．
证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3，
∴OB2＋OA2＝32＋42＝25，AB2＝52＝25.
∴OB2＋OA2＝AB2.
∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形.
[中考·内江] 按如下步骤作四边形ABCD：
①画∠EAF；
②以点A为圆心，1个单位长度
为半径画弧，分别交AE，AF于
点B，D；
③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；
考法
菱形的判定与性质的综合
3
例13
④连接BC，DC，BD，如图21.3－28 所示.
若∠A＝40°，则∠BDC的度数是( )
A. 64°
B. 66°
C. 68°
D. 70°
试题评析：本题考查了尺规作图及菱形的判定与性质，根据作图判断出四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质计算即可．
答案：D
解：根据作图可得AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形.
∴AB∥CD，∠BDC＝∠BDA＝∠ADC.
∵∠A＝40°，
∴∠BDC＝∠BDA＝∠ADC＝(180°－∠A)＝70°.
1. 如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1 ＝20°，则∠2的度数为(　　)
A．20°
B．60°
C．70°
D．80°
C
2. [中考·泸州]矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对角相等
A
3. [中考·湖南]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为( )
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
C
4. [中考·河南]如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为( )
A．2
B．6－3
C．2
D.6－6
D
5. [中考·河南]如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为_______.
12
6. 某种伸缩衣架是运用四边形具有不稳定性制作而成，当衣架中的菱形框架伸缩到如图所示的位置时，菱形的水平宽度AC＝24 cm，边长AB＝13 cm，则每个菱形最高点和最低点的距离BD的长为_______cm.
10
7. [中考·上海]在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，连接BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么的值为_______．
8. [中考·辽宁]如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为______.
9. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝66 °，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，求∠AOE的度数．
10. 如图，O是 ABCD对角线的交点，过点O 的直线分别交AD，BC 于点E，F．
(1)求证：△ODE ≌△OBF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB.
∴∠OED＝∠OFB.
∵O是 ABCD对角线的交点，∴OD＝OB.
又∠DOE＝∠BOF，∴△ODE≌△OBF(AAS)．
(2)当EF⊥BD 时，DE＝15 cm，分别连接BE，DF. 求此时四边形BEDF的周长．
解：由(1)得△ODE≌△OBF，∴DE＝BF.
又DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．
又EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．
∴DF＝BF＝BE＝DE＝15.∴DF＋BF＋BE＋DE＝60.
∴四边形BEDF的周长为60 cm.
11.如图，已知矩形ABCD，连接BD．
(1)用无刻度直尺和圆规在线段AB，CD上分别作点E，F(保留作图痕迹)，连接DE，BF，使得四边形DEBF是菱形 (无需证明)；
(2)在(1)的条件下，若AD＝5，AB＝12，求EF的长.
12. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE(A，P，E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化.
(1)如图①，当点P在线段BD上，且点E
在菱形ABCD内部或边上时，连接
CE，则BP与CE的数量关系是
________，BC与CE的位置关系是________.
BP＝CE
CE⊥BC
(2)如图②，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部 时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.
解：(1)中结论仍然成立．证明如下：
如图，连接AC.
易得△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠EAP＝60°.
∵∠BAP＝∠BAC＋∠CAP＝60°＋∠CAP，∠CAE＝∠EAP＋∠CAP＝60°＋∠CAP.
∴∠BAP＝∠CAE.
∴△ABP≌△ACE(SAS)．
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD.易得∠ABD＝30°.
∴∠ACB＋∠ACE＝∠ACB＋∠ABD＝90°.
∴CE⊥BC.

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