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21.3 特殊的平行四边形
第二十一章 四边形
21.3.3 正方形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
正方形的定义
正方形的性质
正方形的判定
知识点
正方形的定义
知1－讲
1
1. 正方形的定义
定义 数学语言 图示
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 在 ABCD中，若AB＝BC(或AB＝AD或BC＝CD或AD＝CD)且∠A＝90°(或∠B＝90 ° 或∠C＝90° 或∠D＝90°)则 ABCD 是正方形
知1－讲
2. 四边形定义间的关系
知1－讲
特别解读
1. 正方形必备的三个条件：(1)四边形是平行四边形；(2)有一个角是直角；(3)有一组邻边相等.三者缺一不可.
2. 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形、特殊的菱形.
知1－练
例 1
如图21.3－29，已知在矩形ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF 为平行四边形. 求证：四边形AEDF 是正方形.
解题秘方：紧扣“正方形必备的三个条件”进行判定.
知1－练
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°.
∵ AE，DE分别平分∠BAD与∠CDA，
∴∠EAD＝∠BAD＝45°，∠EDA＝∠CDA＝45°.
∴∠EAD＝∠EDA. ∴AE＝DE.
∵∠EAD＋∠EDA＋∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°－∠EAD－∠EDA＝90°.
又∵四边形AEDF 是平行四边形，∴四边形AEDF是正方形.
知1－练
1－1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC 的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. 求证：四边形CEDF 是正方形．
知1－练
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°.
又∠ACB＝90°，∴DF∥BC，DE∥AC.
∴四边形CEDF是平行四边形．
∴ CEDF是正方形．
知2－讲
知识点
正方形的性质
2
1. 正方形的性质
性质 数学语言 图示
边 对边平行，四条边都相等 ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD， AB＝BC＝CD＝AD
角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝ ∠BCD＝∠CDA＝90°
知2－讲
续表
性质 数学语言 图示
对角线 互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组 对角 ∵ 四边形ABCD 是正 方形，∴ AC⊥BD， OA＝OB＝OC＝OD ， ∠CAD＝∠CAB＝∠ABD＝ ∠CBD＝∠ACB＝∠ACD＝ ∠BDC＝∠ADB＝45°
知2－讲
续表
性质 数学语言 图示
对称性 正方形是轴对称图形， 有四条对称轴 直线AC，BD，m，n 均是正方形ABCD 的对称轴
知2－讲
特别解读
正方形的特殊性质：
1. 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形.
2. 正方形的面积＝边长的平方＝对角线长乘积的一半.
3. 周长相等的四边形中，正方形的面积最大.
知2－讲
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比
类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角
知2－讲
续表
类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形
对 角 线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直
对 称 性 共性 轴对称图形 特性 2条对 称轴 2条对 称轴 4条对称轴
知2－讲
知识归纳
平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们之间的关系如图21.3－30所示.
知2－练
如图21.3－31，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC 延长线上一点，连接BE，EF，DF，CE＝CF.
例 2
解题秘方：利用正方形的四条边相等，四个角都是直角解题.
知2－练
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴ BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°.
又∵ CE＝CF，∴△BCE ≌△DCF(SAS).
(1)求证：△BCE ≌△DCF；
知2－练
解：∵△BCE ≌△DCF，∠BEC＝60°，
∴∠DFC＝60°.
∵ CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠CFE＝45°.
∴∠EFD＝∠DFC－∠CFE＝60°－45°＝15°.
(2)若∠BEC＝60°，求∠EFD 的度数.
知2－练
2－1. 如图，在正方形ABCD 中，点M，N 分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN 与DM 相交于点P．
知2－练
(1)求证：△ABN ≌△DAM；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠DAM＝∠ABN＝90°.
∵BM＝CN，
∴BC－CN＝AB－BM，即BN＝AM.
∴△ABN≌△DAM(SAS)．
知2－练
(2)求∠APM 的大小．
解：由(1)知△ABN≌△DAM，
∴∠MAP＝∠ADM.
∴∠MAP＋∠AMP＝∠ADM＋∠AMP＝90°.
∴∠APM＝180°－(∠MAP＋∠AMP)＝90°.
知3－讲
知识点
正方形的判定
3
1. 正方形的判定方法
(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；
(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
知3－讲
(3)从矩形出发：① 有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；
(4)从菱形出发：① 有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形.
知3－讲
2. 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系
知3－讲
方法点拨
判定正方形的常见思路：
1. 从边上证明. 矩形正方形；
2. 从角上证明. 菱形正方形；
知3－讲
3. 从对角线上证明.
(1)矩形正方形；
(2)菱形正方形；
(3)平行四边形正方形；
(4)四边形正方形.
知3－练
如图21.3－32，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE 是正方形.
解题秘方：证明一个四边形是正方形，一般先证明它是矩形或菱形，再从边、角、对角线的角度出发寻找条件进行证明.
例 3
知3－练
证明： 如图21.3－32 ，过点D作DG⊥AB于点G.
∵ DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠CED＝∠CFD＝90°.
又∠C＝90°，∴四边形CFDE 是矩形.
∵ ∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，
DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴ DF＝DG，DE＝DG. ∴ DF＝DE.
又四边形CFDE是矩形，∴四边形CFDE 是正方形.
知3－练
3－1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 在对角线BD 上，且BE＝DF，OE＝OA． 求证：四边形AECF 是正方形．
知3－练
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OE＝OF. ∴四边形AECF是菱形．
∵OE＝OA，
∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC.
∴四边形AECF是正方形．
正方形
正
方
形
性质
判定
特殊的矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
特殊的菱形
一个角是直角
对角线相等
题型
利用正方形的性质求角的度数
1
如图21.3－33，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，BD 与CE 相交于点F，连接AF. 求∠AFD 的度数.
例 4
思路导引：
解：∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，
∴∠ABC＝90°，∠CBF＝∠ABF＝45°，
∠ABE＝60°，BC＝AB＝BE.
∴∠CBE＝150°，∠BCE＝∠BEC.∴∠BCE＝∠BEC＝15°.
∵在△BCF和△BAF中，∴△BCF≌
△BAF. ∴∠BAF＝∠BCE＝15°.
∴∠AFD＝∠BAF＋∠ABF＝60°.
方法点拨
在求角度的问题中，如果已知条件中没有明确给出任何角的度数，那么可通过下面几种常见的平面图形找到隐含的角度：正方形、等边三角形、等腰直角三角形等.
题型
利用正方形的性质解决线段问题
2
如图21.3－34，正方形ABCD 的边长
为1 cm，AC 为对角线，AE 平分
∠BAC，EF⊥AC. 求BE 的长.
例 5
类型1 求线段的长
解题秘方：紧扣正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理求解.
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ ∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 .
∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，∴∠FEC＝45°.
∴∠ECF＝∠FEC. ∴ EF＝FC.
∵ AE 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.
又∵∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE ≌△AFE(AAS).
∴ AB＝AF＝1，BE＝EF. ∴ FC＝BE.
在Rt△ABC 中，AC＝＝＝ ，
∴ FC＝AC－AF＝－1.
∴ BE＝(－1)cm.
方法点拨
利用正方形的性质求线段长时要把握两个关键点：一是正方形的对角线将正方形分成的三角形都是等腰直角三角形；二是灵活地运用三角形全等和勾股定理.
如图21.3－35 ①，在正方形ABCD中，E，F 分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.
例 6
类型2 证明线段相等
(1)求证：AF＝BE.
思路导引：
证明：在正方形ABCD 中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
∴ ∠DAF＋∠BAF＝90°.
∵ AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.
∴ ∠ABE＝∠DAF.
∴ △ABE ≌△DAF(ASA).
∴ AF＝BE.
(2)如图21.3－35 ②，在正方形ABCD 中，M，N，P，Q 分别是边AB，BC，CD，DA 上的点，且MP⊥NQ，MP与NQ是否相等？请说明理由.
思路导引：
解：MP与NQ相等. 理由如下：
如图21.3－35 ②，过点A作AG∥MP交CD于点G，过点B 作BH∥NQ交AD于点H.
∵ 在正方形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴ 四边形AMPG 与四边形BNQH 都是平行
四边形.
∴ AG＝MP，BH＝NQ.
在正方形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠DAG＋ ∠BAG＝90°.
易得AG⊥BH，
∴∠ABH＋ ∠BAG＝90°. ∴∠ABH＝∠DAG.
∴ △ABH ≌△DAG(ASA). ∴ AG＝BH.
∴ MP＝NQ.
方法点拨
在正方形中，证明两条线段相等的关键方法是证明两条线段所在的三角形全等.
题型
利用正方形的性质解决周长与面积问题
3
如图21.3－36，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD 上，若∠EBF＝45 °，则△EDF 的周长等于________.
例 7
类型1 解决周长问题
4
思路带引：
解：如图21.3－36，延长FC到G，使CG＝AE，连接BG.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴ AB＝CB，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°.
∴∠BCG＝90°＝∠A.
∴△ABE ≌△CBG.
∴∠ABE＝∠CBG，BE＝BG.
∴∠CBG＋ ∠EBC＝∠ABE＋∠EBC.
∴∠EBG＝∠ABC＝90°.
∵∠EBF＝45°，∴∠GBF＝45°＝∠EBF.
又 BF＝BF，∴△BEF ≌△BGF.
∴ EF＝FG＝FC＋CG＝FC＋AE.
∴△EDF的周长为DE＋DF＋EF＝DE＋DF＋FC＋AE＝ AD＋CD＝4.
将三角形的三边长进行转化，利用等量代换进行求解.
解法提醒
在正方形中出现以正方形的一边或其中一部分为直角边的直角三角形，我们经常通过延长或是旋转作辅助线，目的是通过证明三角形全等，得到需要的边、角关系.
如图21.3－37，正方形ABCD的对角线交于点O，O 是正方形EFGO的一个顶点，正方形
ABCD和正方形EFGO的边长分别为
2 cm 和2.5 cm，两个正方形重叠
部分的面积是________.
例 8
类型2 解决面积问题
1 cm2
解题秘方：设EO 交AB 于点M，GO 交BC 于点N. 根据题意得出△AMO ≌ △BNO，则两个正方形重叠部分的面积＝
S△ABO＝S正方形ABCD.
解：如图21.3－37，设EO 交AB 于点M，GO 交BC 于点N.
∵四边形ABCD 和四边形EFGO 都是正方形，
∴ AO＝BO，∠2＝∠5＝45°，∠1 ＋∠3＝
∠3＋∠4＝90°.
∴∠1＝∠4.
在△AMO 和△BNO 中，
∴△AMO ≌△BNO(ASA).
∴ S△AMO＝S△BNO.
∴ 两个正方形重叠部分的面积＝S△BMO＋S△BNO＝S△BMO＋S△AMO＝S△ABO＝S正方形ABCD＝1 cm2.
技巧点拨
特殊位置法：
求证在某种规律变化的条件下，有着不变的结论产生(如定值、定点、定长等)，这类问题统称为几何定值问题，解决几何定值问题通常用特殊位置法. 如本题可将正方形EFGO绕点O顺时针旋转到OG与OB，OE与OA分别重合的特殊位置，易发现 S重叠部分＝S正方形ABCD，然后根据该猜想进行一般性结论验证即可.
题型
利用正方形的性质解决线段的最值问题
4
如图21.3－38，边长为4的正方形ABCD，P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC＝1，则PC＋PE 的最小值是________.
例 9
5
特别解读
将军饮马模型的两个特点：
(1)两定点在定线的同侧；
(2)定线上找点到两定点的距离和最小.
一个关键：
作定点关于定线的对称点，确定和最小时动点的位置.
思路导引：
解：如图21.3－38，连接AP，AE，AE 与BD 交于点P′.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴点A，C 关于直线BD 对称.
∴ PC＝PA. ∴ PC＋PE＝PA＋PE ≥ AE.
∴当点P与点P′重合时，AE的长即为PC＋PE
的最小值.利用勾股定理求得AE＝5.
详解
∵ CD＝4，CE＝1，
∴ DE＝3.
在Rt△ADE中，AE＝＝＝5，
∴ PC＋PE的最小值为5.
易错点
解答与正方形有关的动点问题时找不出规律而出错
如图21.3－39，正方形ABCD的周长是4a，四边形EFGH的四个顶点E，F，G，H分别在AB，BC， CD，DA上滑动，在滑动的过程中，始终
有EH∥BD∥FG，且EH＝FG，那么四
边形EFGH 的周长是否可求？若能求，
求出它的周长；若不能求，请说明理由.
例10
错解：四边形EFGH 的周长不可求. 理由：由EH∥FG，EH＝FG 可知四边形EFGH 是平行四边形，但HG，EH 的长未知，因此无法求出四边形EFGH 的周长.
正解：四边形EFGH的周长可求.
∵ EH∥BD∥FG，且EH＝FG，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
∠AEH＝∠ABD，∠AHE＝∠ADB.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD，∠ABD＝∠ADB＝45°.
∴ ∠AEH＝∠AHE＝45°. ∴ AE＝AH.
同理，CF＝CG.
易证△AEH ≌△CFG，∴ AH＝CG. ∴ HD＝GD.
设AH＝x，HD＝y，则AE＝AH＝x，GD＝HD＝y.
∴ EH＝ x，HG＝ y.
∵ x＋y＝a，
∴ 四边形EFGH 的周长为
2(EH＋HG)＝2(x＋y)＝2(x＋y)＝2a.
诊误区：
因为正方形的四个角都是直角，所以在一些图形中常常出现求周长或面积的题目. 虽然本题中HG，EH的长是不确定的，但是从图中可以发现四边形EFGH与正方形ABCD之间有某种特殊的关系，只要找出这种特殊的关系，就可以求出四边形EFGH的周长.
[中考·浙江]【 问题背景】
如图21.3－40，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．
考法
利用正方形的性质解证明和计算问题
1
例11
试题评析：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.
又BE＝BE，∴△ABE≌CBE(SAS).
(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的 度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°.
∵DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA.
∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°.
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.
[中考·重庆]如图21.3－41，正方形ABCD的边长为 2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G.∠ADG和∠DAG的平分
线DH，AH相交于点H，连接GH，则
△DGH的面积为( )
A. B. C. D.
考法
正方形中的折叠问题
2
例12
试题评析：本题考查了正方形与折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程求得GB的长是解题的关键．
解：如图21.3－41，连接GE.
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴ ∠ B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90 °，
AB＝BC＝CD＝DA＝2.
∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE＝1.
∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE，
∴∠EFD＝ ∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2.
∴∠GFE＝GBE＝90°.
∵GE＝GE，∴Rt△EFG≌Rt△EBG. (HL)
∴GF＝GB.
设GB＝GF＝x，则AG＝2－x，DG＝2＋x.
根据勾股定理可得AG2＋AD2＝DG2，
即(2－x)2＋22＝(2＋x)2，解得x＝. ∴DG＝，AG＝.
∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，
∴点H到AD，AG，GD的距离相等.
∴ S△GDH＝·S△ADG＝×××2＝.
答案：A
1. [中考·成都]下列命题中，假命题是( )
A. 矩形的对角线相等
B. 菱形的对角线互相垂直
C. 正方形的对角线相等且互相垂直
D. 平行四边形的对角线相等
D
2. [中考·河北]如图，在Rt△ABC中，AB＝4，M是斜边BC 的中点，以AM为边作正方形AMEF. 若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝(　　)
A．4
B．8
C．12
D．16
B
3. [中考·青岛]如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE 为等边三角形． 若AB＝2，则OE的长度为(　　)
A．
B．
C．2
D．2
B
4. [中考·泸州] 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E，F 分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF 与DE交于点O，M 是DF 的中点，G 是边AB 上的点，AG＝
2GB，则OM＋FG的最小值是(　　)
A．4
B．5
C．8
D．10
B
5. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，请添加一个条件：________，使得菱形ABCD为正方形．
AC＝BD
(答案不唯一)
6. [中考·枣庄]如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，E 为BC 上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF 的周长为32，则OF的长为________.
7. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为______dm2．
2
8. [中考·内江]如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1，0). 点E在边CD上. 将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处. 若点F的坐标为(0，3).则点E的坐标为________．
9. [中考·广安]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
(2)若四边形AECF的周长为4，求EF的长．
10. 如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点 B，C为圆心，AC，BD 长为半径画弧，两弧交于点 P，连接BP，CP．
(1)试判断四边形BPCO 的形状，并说明理由.
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
10.如图①，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，E 是AC 上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F.
(1)求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA.
又AM⊥BE，
∴∠BEO＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE.
∴∠BEO＝∠AFO.
∴△BOE≌△AOF(AAS)．∴OE＝OF.
(2)如图②，若点E 在AC 的延长线上，AM⊥BE 交EB 的延长线于点M，交DB 的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
解：OE＝OF还成立．证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA.
∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE.
又∠MBF＝∠OBE，
∴∠E＝∠F.∴△BOE≌△AOF(AAS)．∴OE＝OF.

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