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4.1 函数
第四章 一次函数
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
学习重点
学习难点
掌握函数的概念以及表示方法
掌握函数的概念以及表示方法
会求函数的值，并确定自变量的取值范围
学习目标
新课导入
早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，
说明__________随______的变化而变化.
高处不胜寒，说明 ____________随____________的变化而变化.
天气温度
时间
高山气温
海拔高度
新课导入
万物皆变，大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢
讲授新课
典例精讲
归纳总结
讲授新课
函数的概念及表示方法
想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
情景一
讲授新课
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
h（米）
t（分）
讲授新课
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
h（米）
t（分）
讲授新课
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
37
h（米）
t（分）
讲授新课
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
37
45
h（米）
t（分）
讲授新课
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
37
45
h（米）
t（分）
讲授新课
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
37
45
h（米）
t（分）
讲授新课
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
37
45
h（米）
t（分）
讲授新课
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
t/分 0 1 2 3 4 5 …
h/米 …
(1)根据左图填表：
(2)对于给定的时间t ，相应的高度h确定吗？
11
37
45
37
3
10
讲授新课
瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？
层数 n
物体总数y
唯一一个y值
情景二
讲授新课
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
（2）给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
230K、246K 、273K、291K
唯一一个T值
解：当t=-43时，
T=-43+273=230（K）
情景三
讲授新课
上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③摄氏温度t 、热力学温度T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
讲授新课
归纳总结
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
函数
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
讲授新课
表示函数
的一般方法
列表法
图象法
关系式法(解析式法、表达式法)
情景一
情景二
情景三
讲授新课
讨论：
1.y与x 的图象如图所示，问y是x的函数吗？
x
y
o
1
2
-2
讲授新课
2.下列各图中，x是自变量，则y是x的函数吗？为什么？
y是x的函数
y不是x的函数
讲授新课
总 结
理解函数的定义，在平面直角坐标系中，对于自变量x
在允许取值范围内每确定一个数，在曲线上是否有唯一
y的值与之对应：若对应的y值只有一个，则该曲线
表示y是x的函数，否则就不是.
讲授新课
例题
下列关于变量x ，y 的关系式： y =2x+3； y =x2+3； y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．

一个x值有两个y 值与它对应
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
方法
讲授新课
例题
已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，
则三角形的面积S＝ ×12·h，即S＝6h.在
这个式子中，常量和变量分别是什么？
导引：根据常量和变量的定义分析．由于三角形的面
积是边长与该边上的高的长度的乘积的一半，
已知边长，因此可以得出常量是边长的一半，
变量是高和面积．
解： 常量是6，变量是h和S.
讲授新课
总 结
判断一个量是常量还是变量的方法：看在这
个量所在的变化过程中，该量的值是否发生改变
(或者说是否会取不同的数值)，其中在变化过程
中不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量．
讲授新课
自变量的取值范围
问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
自变量t的取值范围:__________
t≥0
情景一
讲授新课
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
层数 n
物体总数y
情景二
罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
自变量n的取值范围：_________.
n取正整数
讲授新课
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
情景三
自变量t的取值范围：___________.
t≥-273
讲授新课
1.函数自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量
的取值范围，其确定方法是：
(1)当关系式是整式时，自变量为全体实数；
(2)当关系式是分母含字母的式子时，自变量的取值
需保证分母不为0；
讲授新课
(3)当关系式是二次根式时，自变量的取值需使被开
方数为非负实数；
(4)当关系式有零指数幂(或负整数指数幂)时，自变
量的取值需使相应的底数不为0；
(5)当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值
需使实际问题有意义；
(6)当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有
式子同时有意义．
讲授新课
求下列函数中自变量x的取值范围.
(1) y＝3x＋7； (2) y＝ ；
(3) y＝ ； (4) y＝ .
导引：紧扣确定自变量取值范围的方法求解．
解：(1)函数式右边是整式，所以x的取值范围为一切实数；
(2)由x -4≥0，得x≥4 ，所以x的取值范围为x≥4 ；
(3)由x+2≥0，x ≠0得x≥-2且x ≠0 ，所以x的取值范围是
x≥-2且x ≠0；
(4)由2x -1≥0，1-2x≥0得x = ，所以x的取值范围是x = .
例题
使函数解析式有意义的自变量的全体.
讲授新课
做一做：下列函数中自变量x的取值范围是什么？
.
0
.
-1
.
-2
-2
x取全体实数
x取全体实数
讲授新课
总 结
　 常见函数自变量取值范围的确定
类型 取值范围
整式型 全体实数
分式型 使分母不为0的实数
偶次根式型 使根号下的式子的值大于或等于0的实数
零次型 使幂的底数不为0的实数
综合型 使各部分都有意义的实数的公共部分
讲授新课
汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子.
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x表示的意义是什么？
叫作函数的关系式
例题
讲授新课
（2）指出自变量x的取值范围；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　
得　0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
归纳
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
讲授新课
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
当 x = 200时,函数 y 的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L
讲授新课
函数值
T(K)与 t(℃)的函数关系： T= t+273 （T≥ 0），
当t=1时，
T=1+273
=274（K）.
那么，274就是当t=1时的函数值.
情景三
讲授新课
函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．
即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值．
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的变量的值．
归纳总结
讲授新课
已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
解：（1）当x=2时，y= ;
当x=3时，y= ;
当x=-3时，y=7;
（2）令 解得x=
即当x= 时，y=0.
把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值.
例题
讲授新课
某年初，我国西南部分省市遭遇了严重干旱．某水库
的蓄水量随着时间的增加而减小，干旱持续时间t(天)
与蓄水量V(万立方米)的变化情况如图所示，根据图
象回答问题：
(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？
(2)根据图象填表：
(3)当t取0至60之间的任一值时，对应几个V值？
(4)V可以看作t的函数吗？若可以，写出函数关系式．
干旱持续时间t/天 0 10 20 30 40 50 60
蓄水量V/万立方米
例题
讲授新课
导引：(1)通过读图可知，横坐标表示干旱持续时间，纵坐标表
示水库蓄水量，因此它表示的是干旱持续时间与水库蓄水
量之间的关系；(2)根据图象信息确定每个特殊点的坐标即
可；(3)观察图象即可得解；(4)可根据函数的定义来判断．
解：(1)这个图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关
系．
(2)填表如下：
干旱持续时间t/天 0 10 20 30 40 50 60
蓄水量V/万立方米 1 200 1 000 800 600 400 200 0
讲授新课
(3)当t取0至60之间的任一值时，对应一个V值．
(4)V可以看作t的函数．
根据图象可知，该水库初始蓄水量为1 200万立方米，干旱
每持续10天，蓄水量相应减少200万立方米，
由此可得出函数关系式为：
V＝1 200－ t＝－20t＋1 200(0≤t≤60)．
讲授新课
总 结
本例通过“形”，即图象中的信息，用列表及
关系式这个“数”来表示说明，三种函数表示方法
之间有互补性，是可以相互转化的，体现了数形结
合思想的应用．
当堂练习
当堂反馈
即学即用
当堂练习
1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量，
是变量， 是 的函数.
60
s=60t
t和s
s
t
2.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 ，自变量t的取值范围是 .
当堂练习
3.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
C
4.小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20 min到达距离家800 m的公园，他在公园休息了10 min，然后用30 min原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离s（单位：m）与离家的时间t（单位： min）之间的函数关系图象大致是（ ）
D
当堂练习
5.求下列函数中自变量x的取值范围：
.
1
.
0
.
-1
x取全体实数
当堂练习
6.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
解：（1）当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4.
当堂练习
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？
为什么？
当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
课堂小结
归纳总结
构建脉络
课堂小结
函数
定义：自变量、因变量、常量
函数的关系式：三种表示方法
函数值
自变量的取值范围
THANKS
侵权必究

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