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4.2 认识一次函数
第四章 一次函数
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
学习重点
学习难点
掌握一次函数、正比例函数的概念
掌握一次函数、正比例函数的概念
能根据条件求出一次函数的关系式
学习目标
新课导入
情景引入
新课导入
如果设蛤蟆的数量为x，y分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？
y=x
y=2x
y=4x
y=kx
讲授新课
典例精讲
归纳总结
讲授新课
一次函数与正比例函数
在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子
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(2)你能写出y与x之间的关系吗？
y=3+0.5x
情景一：某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所
挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
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情景二：某辆汽车油箱中原有油60 L,，汽车每行驶50 km耗油6 L.
(1) 完成下表：
汽车行使路程x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余油量y/L
60
54
48
42
36
30
(2) 你能写出y与x的关系吗
y=60－0.12x
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上面的两个函数关系式:
(1)y=3+0.5x
(2) y=60－0.12x
若两个变量 x，y之间的关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
当b=0时，称y是x的正比例函数.
大家讨论一下,这两个函数关系式有什么关系
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下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
练一练
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方法总结
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
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写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的 一次函数,也是x的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得y=πx2,
y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
例题
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解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而 y=15+5x,
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
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例题
已知函数y＝(k－2)x|k|－1(k为常数)是正比
例函数，则k＝________．
导引：根据正比例函数的定义，此函数关系式应满
足：(1)自变量x的指数为1，即|k|－1＝1，
所以k＝±2；(2)比例系数k－2≠0，即k≠2.
综上，k＝－2.
－2
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变式训练
若 是正比例函数，则m= ；
-1
m-1≠0，
m2-1=0，
∴ m=-1.
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已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2 －(m＋n－8)．
(1)当m，n为何值时，函数是一次函数？
(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1时的函数值．
导引：紧扣一次函数定义的三大特征及函数值的求法求解.
解：(1)由题意，得n2－4＝0，m－2＝1，2n－4≠0.
所以m＝3，n＝－2.
所以当m＝3，n＝－2时，函数是一次函数．
(2)由(1)得此一次函数关系式为y＝－8x＋7.
当x＝1时，y＝－8×1＋7＝－1.
例题
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例题
已知函数y＝(m－1)x＋1－3m.
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
解：(1) 根据一次函数的定义可得：m－1≠0，所以
m≠1，即当m≠1时，y是x的一次函数．
(2) 根据正比例函数的定义可得：m－1≠0且
1－3m＝0，所以m＝ ，即当m＝ 时，
y是x的正比例函数．
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总 结
根据一次函数定义求待定字母的值时，要注意：
(1) 函数关系式是自变量的一次式，若含有一次以上
的项，则其系数必为0；
(2) 注意隐含条件：一次项的系数不为0.
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例题
写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：
y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程
y( km )与行驶时间x (h)之间的关系；
(2)圆的面积y（cm2)与它的半径x (cm)之间的关
系；
(3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水，进水
速度为5 m3/h, x h后这个水池内有水ym3.
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解：(1)由路程=速度×时间，得y = 60x，y是x的一次函
数，也是x的正比例函数；
(2)由圆的面积公式，得y= πx2, y不是x的正比例函
数，也不是x的一次函数；
(3)这个水池每时增加5 m3水，x h增加5xm3水，因
而y=15 + 5x, y是x的一次函数，但不是x的正比
例函数.
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例题
我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.
解: y=0.03×(x-3 500) (3500讲授新课
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
解:设此人本月工资是x元，则
19.2=0.03×(x-3500),
x=4140.
答:此人本月工资是4140元.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
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某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使
用者先缴50元月租费，然后每通话1 min，再付话费
0.4元；“神州行”使用者不缴月租费，每通话1 min，
付话费0.6元(均指市内通话)．若一个月内通话时间为
x min，两种通讯业务的费用分别为y1元与y2元．
(1) 分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2) 一个月内通话时间为多少分钟时，两种通讯业务的
费用相同？
(3) 若某人一个月的话费为200元，则选择哪种通讯业
务比较合算？
　　
例题
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导引：这是一道实际生活中的应用题，解题时务必对这两种不同的
通讯业务仔细分析、比较，方可得出正确结论．
解： (1) y1＝50＋0.4x(x≥0)；y2＝0.6x(x≥0)．
(2) 令y1＝y2，则50＋0.4x＝0.6x，解得x＝250.所以一个月内通
话时间为250 min时，两种通讯业务的费用相同．
(3) 当y1＝200时，有200＝50＋0.4x，解得x＝375.
当y2＝200时，有200＝0.6x，解得x＝333 .因为375＞333 ，
所以若某人一个月的话费为200元，则选择“全球通”通讯
业务比较合算．　　
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例题
如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
解: (1)∵BC边上的高AD也是BC边上的中线，∴BD= .
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
即
∴h是x的一次函数，且
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（2）当h= 时，求x的值.
（3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？
解:
（2）当h= 时，有 .
解得x=2.
（3）∵
即 ∴S不是x的一次函数.
当堂练习
当堂反馈
即学即用
当堂练习
1.下列说法中正确的是(　　)
A．一次函数是正比例函数
B．正比例函数不是一次函数
C．不是正比例函数就不是一次函数
D．不是一次函数就不是正比例函数
2.若函数y＝(6＋3m)x＋n－4是一次函数，则满足________；若该函数是正比例函数，则满足________________；
若m＝1，n＝－2，则函数关系式是______________．
D
m≠－2
m≠－2且n＝4
y＝9x－6
当堂练习
3.已知函数y=(m－1)x｜m︱＋1是一次函数，求m的值；
4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值；
解：根据题意，得∣m∣=1,
解得m=±1，
但m-1≠0,即m≠1,
所以m=-1.
解：根据题意，得m2-9=0,
解得m=±3，
但m-3≠0,即m≠3,
所以m=-3.
当堂练习
5.已知y-3与x成正比例，并且当x=4时，y=7，求
y与x之间的函数关系式.
解：依题意，设y-3与x之间的函数关系式为y-3=kx，
∵当x=4时，y=7，∴7-3=4k，解得k=1.
∴y-3=x，即y=x+3.
当堂练习
6.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.
（1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时）之间的函数关系式；
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
解：（1）y=0.5x；
（2）把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x.
解得x=20，即收割完这块麦田需要20小时.
当堂练习
　7.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其
速度每秒增加2 m/s．
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：
s）的函数解析式;
解：小球速度v关于时间t的函数解析式为v=2t.
当堂练习
（2）求第2.5 s 时小球的速度；
（3）时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
解：
(2)当t=2.5时，v=2×2.5=5(m/s).
(3)时间每增加1 s，速度增加2 m/s，速度增加量不随着时间的变化而变化.
课堂小结
归纳总结
构建脉络
课堂小结
一次函数
一次函数的概念
正比例函数的概念
函数关系式的确定
THANKS
侵权必究

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