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21章一元二次方程新题型（教师卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
设，根据题意得出，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案．
【详解】解：设，
∵四边形是正方形，
，
∵点为中点，
，
又∵，
，
∴在中，由勾股定理，可得，
即，
整理可得，
解得：(舍去)，
，
故选：D．
2．硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的一般式，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题；
设一元二次方程为，构建方程组求出，，即可求解；
【详解】解：设一元二次方程为，
由题意得：，
，
方程为，
，
或，
解得：，；
故选：C
二、填空题
3．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．
【答案】否
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，直接开平方法解一元二次方程，无理数大小估算等知识点，求出长方形纸片的长并与大正方形的边长进行比较是解题的关键．
先利用算术平方根的实际应用求出大正方形的边长，然后设长方形纸片长为，宽为，依题意得到一元二次方程，解方程即可求出的值，再用长方形纸片的长与大正方形的边长进行比较即可得出结论．
【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积，
大正方形的边长，
设长方形纸片的长为，宽为，
依题意可得：，
解得：或（不合题意，故舍去），
，
因此，若将此大正方形纸片的局部剪掉，不能剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，
故答案为：否．
三、解答题
4．如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答）
【答案】这个最大的数为16
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这个最大的数为16．
5．已知长方形甲的长、宽、周长C 和面积S分别如图1所示
(1)长方形乙的长为x，宽为y，它的周长和面积分别是甲长方形的周长和面积的一半，即，请求出x，y的值．
(2)是否存在长方形丙，周长和面积分别是长方形乙的一半，即满足若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)不存在符合条件的长方形丙，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设长方形乙的长为x，宽为y，则，，整理得到，在求解一元二次方程即可；
（2）设长方形丙两条邻边长分别为x和，，由于，则不存在．
【详解】（1）解∵，
∴，
∵设长方形乙的长为x，宽为y，
∴，
∴，即
代入得，
解得，或（因y是宽小于长，故舍去）
∴，；
（2）解：不存在符合条件的长方形丙，理由如下：
要使成立
则，
∴设长方形丙两条邻边长分别为x和，
，
，
∴方程无解
不存在符合条件的长方形丙．
6．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米．
(1)用含x的代数式表示y；
(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？
(3)能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2
(3)不能围成，理由见解析
【分析】（1）根据各边长度间的关系可得出BC=（30-3x）米，再利用矩形的面积计算公式，即可用含x的代数式表示y；
（2）根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）不能围成面积为78平方米的花圃，根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-4＜0，可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为78平方米的花圃．
【详解】（1）∵AB=x米，
∴BC=（30-3x）米，
∴y=x（30-3x）．
即．
（2）当时，，解得，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．
（3）不能围成．理由如下：
若y=78，则，整理得，
∵，
∴该方程无解，故不能围成．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示y；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
7．如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米．
(1)求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）．
(2)若饲养场的面积为平方米，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、一元一次不等组的求解，根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解合理取舍是解题的关键．
（1）由得，即可得出答案；
（2）根据矩形的面积等于长宽建立方程，求解并检验即可．
【详解】（1）解：由图可知，,
长米，
米，
，
，且，
．
（2）解：饲养场的面积为平方米，
则，
即，
解得，
，
舍去，
．
8．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，如图所示，两个场地各留一个1米宽的门（不用木栏），通道的宽也为1米（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设木栏的长为x米，解答下列问题：
(1)________米．（用含x的代数式表示）
(2)若饲养场（矩形）的面积为189平方米，求边的长；
(3)饲养场（矩形）的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，见解析
【分析】（1）直接根据图形计算即可；
（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；
（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算．
本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，熟练掌握矩形的性质，根的判别式，一元二次方程的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：设木栏的长为x米，根据题意，得竖直方向围墙需要栅栏长度为，
∵建成后木栏总长45米，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：设木栏的长为x米，则矩形的长米，依题意，得：，
即，
解得：，，
当时，，舍去，
当时，，符合题意，
答：花园面积是，此时边的长为21米．
（3）解：饲养场（矩形）的面积不能达到240平方米．理由如下：
设木栏的长为x米，则矩形的长米，
依题意，得：，
即，
∵，
∴没有实数根，
∴饲养场（矩形）的面积不能达到240平方米．
9．如图，一张桌子的桌面长为，宽为，将长方形桌布铺在桌子上；四边垂下的长度相同（四个角除外），桌布的面积为桌面面积的倍，求桌布垂下桌边的长度．

【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设桌布垂下的长度为，由题中描述的等量关系列出方程，因式分解法解一元二次方程即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列一元二次方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：设桌布垂下的长度为，
则由题意得，
整理方程得，
，
解得（负值，舍去），，
答：桌布垂下的长度为．
10．已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（3）若AB的长为3，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
【答案】（1）见解析；（2），2；（3）10
【分析】（1）利用方程根的判别式求出△=进而得出答案；
（2）利用菱形的性质得出，由两个根相等得出及一元二次方程的解法得出答案；
（3）将AB＝3代入方程解得m＝2，进而得出x的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论m取什么数，方程总有两个实数根；
（2）解：∵是菱形，
∴，
∴当时，
即时，是菱形，
把代入已知方程可得：，
解得：；
∴这时菱形的边长为：2；
（3）∵，
∴，
解得：，
把代入已知方程，可得：，
解得：，，
∴的周长是：．
【点睛】考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键．
11．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”．
根据所获信息解决下列问题：
(1)以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号）
①，②；
(2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
(3)若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”．
【答案】(1)②
(2)0
(3)
【分析】（1）据倍根方程定义判断即可；
（2）根据是倍根方程，且，得到或，从而得到或，进而得到；
（3）根据题干信息得出，根据在一次函数的图象上，得出，求出m、n的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：①，
，
，，
∴方程不是倍根方程；
②，
，，
∴方程是倍根方程；
（2）解：由得：
，，
∵方程是倍根方程，
∴或，
∴或，
∴或，
∴；
（3）解：∵关于的一元二次方程是“倍根方程”，
∴根据题意得：，
∴，
∵在一次函数的图象上，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴此倍根方程为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
12．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
(1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m；
(2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键．
（1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长；
（2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米；
（3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题．
【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：
解得：或，
又距院墙7米处，规划有机动车停车位，
，将代入得：，满足题干条件，
自行车车棚的宽为：，
自行车车棚的长为：；
（3）解：不能，理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得：
，
整理得：，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
13．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法可求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根．
（2）解：，
即，
解得：，．
当为直角边时，，
解得：；
当为斜边时，，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为或
14．已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
(1)当为何值时，四边形是菱形；
(2)若的长为，那么平行四边形的周长是多少？
(3)若关于的方程的两个实数根和满足，，求的取值范围．
【答案】(1)的值为
(2)
(3)
【分析】本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出的值是解题关键．
（1）根据菱形的性质可得出，由根的判别式即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；
（2）将代入一元二次方程可求出的值，再根据根与系数的关系即可得出的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形的周长；
（3）先根据根与系数的关系得，，则利用，得到，即，所以，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：∵当平行四边形的两边时，四边形为菱形，
∴关于的方程的两个实数根．
∴，
解得，
即的值为；
（2）把代入方程0得，
解得，
∴原方程为，
∵，
∴平行四边形的周长；
（3）根据根与系数的关系得，，
∵，，
∴，，
∴，
即，
∴，
解得．
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试卷第1页，共3页
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21章一元二次方程新题型（教师卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
3．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．
三、解答题
4．如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答）
5．已知长方形甲的长、宽、周长C 和面积S分别如图1所示
(1)长方形乙的长为x，宽为y，它的周长和面积分别是甲长方形的周长和面积的一半，即，请求出x，y的值．
(2)是否存在长方形丙，周长和面积分别是长方形乙的一半，即满足若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由．
6．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米．
(1)用含x的代数式表示y；
(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？
(3)能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由．
7．如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米．
(1)求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）．
(2)若饲养场的面积为平方米，求的值．
8．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，如图所示，两个场地各留一个1米宽的门（不用木栏），通道的宽也为1米（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设木栏的长为x米，解答下列问题：
(1)________米．（用含x的代数式表示）
(2)若饲养场（矩形）的面积为189平方米，求边的长；
(3)饲养场（矩形）的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由．
9．如图，一张桌子的桌面长为，宽为，将长方形桌布铺在桌子上；四边垂下的长度相同（四个角除外），桌布的面积为桌面面积的倍，求桌布垂下桌边的长度．

10．已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（3）若AB的长为3，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
11．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”．
根据所获信息解决下列问题：
(1)以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号）
①，②；
(2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
(3)若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”．
12．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
(1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m；
(2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
13．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值．
14．已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
(1)当为何值时，四边形是菱形；
(2)若的长为，那么平行四边形的周长是多少？
(3)若关于的方程的两个实数根和满足，，求的取值范围．
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《21章一元二次方程新题型（教师卷）》参考答案
题号 1 2
答案 D C
1．D
【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
设，根据题意得出，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案．
【详解】解：设，
∵四边形是正方形，
，
∵点为中点，
，
又∵，
，
∴在中，由勾股定理，可得，
即，
整理可得，
解得：(舍去)，
，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的一般式，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题；
设一元二次方程为，构建方程组求出，，即可求解；
【详解】解：设一元二次方程为，
由题意得：，
，
方程为，
，
或，
解得：，；
故选：C
3．否
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，直接开平方法解一元二次方程，无理数大小估算等知识点，求出长方形纸片的长并与大正方形的边长进行比较是解题的关键．
先利用算术平方根的实际应用求出大正方形的边长，然后设长方形纸片长为，宽为，依题意得到一元二次方程，解方程即可求出的值，再用长方形纸片的长与大正方形的边长进行比较即可得出结论．
【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积，
大正方形的边长，
设长方形纸片的长为，宽为，
依题意可得：，
解得：或（不合题意，故舍去），
，
因此，若将此大正方形纸片的局部剪掉，不能剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，
故答案为：否．
4．这个最大的数为16
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这个最大的数为16．
5．(1)，；
(2)不存在符合条件的长方形丙，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设长方形乙的长为x，宽为y，则，，整理得到，在求解一元二次方程即可；
（2）设长方形丙两条邻边长分别为x和，，由于，则不存在．
【详解】（1）解∵，
∴，
∵设长方形乙的长为x，宽为y，
∴，
∴，即
代入得，
解得，或（因y是宽小于长，故舍去）
∴，；
（2）解：不存在符合条件的长方形丙，理由如下：
要使成立
则，
∴设长方形丙两条邻边长分别为x和，
，
，
∴方程无解
不存在符合条件的长方形丙．
6．(1)
(2)当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2
(3)不能围成，理由见解析
【分析】（1）根据各边长度间的关系可得出BC=（30-3x）米，再利用矩形的面积计算公式，即可用含x的代数式表示y；
（2）根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）不能围成面积为78平方米的花圃，根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-4＜0，可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为78平方米的花圃．
【详解】（1）∵AB=x米，
∴BC=（30-3x）米，
∴y=x（30-3x）．
即．
（2）当时，，解得，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．
（3）不能围成．理由如下：
若y=78，则，整理得，
∵，
∴该方程无解，故不能围成．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示y；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
7．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、一元一次不等组的求解，根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解合理取舍是解题的关键．
（1）由得，即可得出答案；
（2）根据矩形的面积等于长宽建立方程，求解并检验即可．
【详解】（1）解：由图可知，,
长米，
米，
，
，且，
．
（2）解：饲养场的面积为平方米，
则，
即，
解得，
，
舍去，
．
8．(1)
(2)
(3)不能，见解析
【分析】（1）直接根据图形计算即可；
（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；
（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算．
本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，熟练掌握矩形的性质，根的判别式，一元二次方程的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：设木栏的长为x米，根据题意，得竖直方向围墙需要栅栏长度为，
∵建成后木栏总长45米，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：设木栏的长为x米，则矩形的长米，依题意，得：，
即，
解得：，，
当时，，舍去，
当时，，符合题意，
答：花园面积是，此时边的长为21米．
（3）解：饲养场（矩形）的面积不能达到240平方米．理由如下：
设木栏的长为x米，则矩形的长米，
依题意，得：，
即，
∵，
∴没有实数根，
∴饲养场（矩形）的面积不能达到240平方米．
9．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设桌布垂下的长度为，由题中描述的等量关系列出方程，因式分解法解一元二次方程即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列一元二次方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：设桌布垂下的长度为，
则由题意得，
整理方程得，
，
解得（负值，舍去），，
答：桌布垂下的长度为．
10．（1）见解析；（2），2；（3）10
【分析】（1）利用方程根的判别式求出△=进而得出答案；
（2）利用菱形的性质得出，由两个根相等得出及一元二次方程的解法得出答案；
（3）将AB＝3代入方程解得m＝2，进而得出x的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论m取什么数，方程总有两个实数根；
（2）解：∵是菱形，
∴，
∴当时，
即时，是菱形，
把代入已知方程可得：，
解得：；
∴这时菱形的边长为：2；
（3）∵，
∴，
解得：，
把代入已知方程，可得：，
解得：，，
∴的周长是：．
【点睛】考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键．
11．(1)②
(2)0
(3)
【分析】（1）据倍根方程定义判断即可；
（2）根据是倍根方程，且，得到或，从而得到或，进而得到；
（3）根据题干信息得出，根据在一次函数的图象上，得出，求出m、n的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：①，
，
，，
∴方程不是倍根方程；
②，
，，
∴方程是倍根方程；
（2）解：由得：
，，
∵方程是倍根方程，
∴或，
∴或，
∴或，
∴；
（3）解：∵关于的一元二次方程是“倍根方程”，
∴根据题意得：，
∴，
∵在一次函数的图象上，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴此倍根方程为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
12．(1)
(2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键．
（1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长；
（2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米；
（3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题．
【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：
解得：或，
又距院墙7米处，规划有机动车停车位，
，将代入得：，满足题干条件，
自行车车棚的宽为：，
自行车车棚的长为：；
（3）解：不能，理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得：
，
整理得：，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
13．(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法可求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根．
（2）解：，
即，
解得：，．
当为直角边时，，
解得：；
当为斜边时，，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为或
14．(1)的值为
(2)
(3)
【分析】本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出的值是解题关键．
（1）根据菱形的性质可得出，由根的判别式即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；
（2）将代入一元二次方程可求出的值，再根据根与系数的关系即可得出的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形的周长；
（3）先根据根与系数的关系得，，则利用，得到，即，所以，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：∵当平行四边形的两边时，四边形为菱形，
∴关于的方程的两个实数根．
∴，
解得，
即的值为；
（2）把代入方程0得，
解得，
∴原方程为，
∵，
∴平行四边形的周长；
（3）根据根与系数的关系得，，
∵，，
∴，，
∴，
即，
∴，
解得．
答案第1页，共2页
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答案第1页，共2页(共24张PPT)
21章一元二次方程
（新题型）
D
C
.
否
.
5.
.
(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？
(3)能围成面积为78平方米的花圃吗？
若能，求出AB的长，若不能，
请说明理由．
.
(3)饲养场（矩形ABCD）的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边BC的长；若不能达到，请说明理由．
.
.
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
2
二一载自
A
D
G
B
E
C
F
2024年11月
年
月
周
日
日程
日
一
二
三
四
五
六
1
2
十月
初二
3
4
5
6
7
8
9
初三
初四
初五
初六
立冬
初八
初九
10
11
12
13
114
15
16
初十
十一
十二
十三
1十四
十五
十六
17
18
19
20
21
22
23
十七
十八
十九
二十
1廿一
小雪
廿三
24
25
26
27
28
29
30
廿四
廿五
廿六
廿七
感恩节
廿九
三十
24
4
甲
C甲=56
Sp=96
A
B
D
B
C
A
60m
D
B
C

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